Arithmetica

51쪽

ARITHMETIO A. habebit majorem rationem quam adm-

r. Ec duo numeri habuerint ad euadem rationem inaequalem, qui habuerit

majore erit major, ad que autem idem habuerit majorem raetionem, erit minor.

2 o. p. s. ivt; dc sunt inaequales, & ad et majorem

rationem habet,nempe duplamiquam 3 adeundem,nempe sesquialteram: item 1 ad 3 majorem habet rationem,nempe sesquialteram, quam ad subduplam . Conversem patet in eodem e emplo, Cap. 8. de inventione proportionalium per . multiplicationem, deq; reduistione partium ad cognomines & proportionales.

s. Minores aeque majoribussunt

proportionales. Ii p.I.

Ut 1 ad A,sic s ad s. Antecedentes enim dimidii sunt consequentium: datis alitem minorbbus, majores proportionales inveniuntur multiplicatione. . M

. Si numerus numeros multiplicet,

52쪽

facti erunt proportionales multipsicanti

It et multiplicet 3 & , facti erunt6 dil. 8 pro portionales multiplicatis 3 dc g. Item 3 & multiplicenta, facti iidem g& 8 erunt itidem proportionales multiplicantibus,3 dc A, quia utrobique aequ8 majores sunt minoribus, Reductio partium ad cognomines & proportionales e proximo multiplicationis theoremate deducitur, atq; ut proportionales ipsi addantur, subducantur,dividantur necessaria. Proportionales enim partes sunt eaedem quatumlibet te minis dissimiles,ut et , i ,

6. Partium reductio ad c omines proportionales partes , e multiplicatio nominis , numeri per altem nomen.

IItinu, multiplica a&3 per , item 3 dc per 3, facies cognomines de proportionales partes et , , proportionales quidem,quia numerus idem duos multiplicavit: cognomines vero& aequalium nominum, quia sunt e duobus numeris inter se multiplicatis.

r. Nomina reductione eadem se ad dirisionem nihil attinent.

Nam cum reduxeris partes ad-l, a, b

dicere - toties h siubduci nihilo plus ostquam dicere S toties a'. Itaque nominum inter

53쪽

so ARITHMETICAE

se multiplicatio hic in divisione omittitur. I t si series reducendatu partium longior fuerit,binae reducedae sinit, ut in v t, prima reductione atque hinc additione facta habebis deinde eum ' reductae sunt qa-,

8 .Eadem via re tu honis, cognoscemr elim partibus ut sint majones.

Itet sunt majores quam a. quia facta reductione habebis E pro H: At habebis tantum pro a.

s. Eadem via termini rationum Fra-Hii ad integros proportionales redeunt, si

numeri multiplicetur per nomen unarum partium.

Sic multiplicatae per g, redeunt adret, id est ad 1 & et integros, & eadem rationem habentes quam habent ad Si majores terminos proportionales requiras,multiplica xursus per nomen rum, facies &,id est, g 8,vel multiplica per c, facies id est ir& ir integros proportionales datis fractis et a. Idem erit, si cum integris fracti misceantur, ut si pro 3 & -- quaerantur integri propo tionales, multiplicabis3 pera, facies : deinde multiplicabis per idem nomen, facies 8 v, neque dum habes ambos integros, sed alterum tantum, Eadem itaque via quaeratur alter: igitur per

54쪽

per reliquum nomen 3, multiplica 8 facies a d v, unde colliges 16,tandemque habebis ri reas integros proportionales 3 - - . Cap. p. de inventione proportionlilium per divisionem, deque reductione ad minimos. Datis vero majoribus numeris, minores inventu tur regula divisionis per contrariam e lege multiplicationis deducta

so. Si numerus diviserit numeros, quo-ti erunt proportionales diri his.

Itoe dividat 8 & quoti &3, erunt pro pottionales divisis 8 dcs: At &3 dividant et , quo-tic& 8,erunt proportionales divisis sed contrario genere inaequalitatis. Non enim ut ad 3, sic cad 8, illic enim cst ratio sesquitertia, hic sesquialtera, sed ut ad 3, sic S ad s. proportionales fiunt division e non solum minores divisis, sed minimi proportionalium.

si. Si numeri fuerint minimi propo, tionalium, erunt primi interse. 23 p. p.

si. Et si fuerint primi inter se, erunt

minimi proportionalium. 2 p.T.

Ut 3 dc et fiunt primi & minimi sesquialtero-riini,& quia sunt minimi proportionalium, ic-

55쪽

s1 ARITHMETICAE

circo sunt primi.

33. Si maximus communis ditabor di viseerit datos , quoti erunt minimii ropo tionales datis.

II t hic,

maximus divisor cum diviserit S & 11, quoti r& 3 eriit proportionales minimi, unde etiam se

quitur.

s . Si duo numeri fuerint minimi proportionalium , divident sibi proportionales aequaliter, majormajorem, et minor

minorem. M . . Ut patet in eodem exemplo: 3 dividit ipsumaea quater, & et dividit ipsium 8 toties. Habet a tem ista ad minimos reductio usum tam necessarium,quam est facile pares numeros prae magnis numerare. Itaque providendum semper est, ut primi numeri & minimi perpetuo proponantur, aut si composividati sint, protinus reducantur ad minimos per maximum communem diviso rem . Serviet etiam superiori proportionalium reductioni reductio ad minimos terminos, ut postea reductorum terminoru alia reductio prolixior evitetur. Sed reductio ista per species numerationis est etia quaedam specialis

56쪽

s s. In additione , subdu hone mini mus si nominibis divi us esia sumendus

pro communi nomine O numeri multipli candi alterne per partes cognomines.

sg In multiplicatione numerus di no

men alterius reducuntur. Quia sunt multiplicatores, idemque est multiplicare et per 3, &per . Itaque tanquam a rediges ad , & pro I , facies

s . Si numerus nomini alterno fuerit aequalis,reliquus numeris reliquo nomini superi situs multiplicationem aso in

It in , omissis 3 & 3,habes , id est, . Quin si longa hic series fuerit, aequalibus omni

bus omissis, reliquus numerus cum reliquo nomine multiplicationem ab luet,ut hic, A ZEId 3

s8. In divisione numeri interse, eliso-mina inter se, vel utraque heparatim rinis D iij

57쪽

s ARITHMETICAE

ducuntur. Ut sit dividantur per D pro a & , sumes & 2,& quota pars erit et, vel 1 m. Item si dividas , per sumes et & 3 pro ' & & facies ,,vel 1 t. Item si s per l, sumes & a pro A, & 8 proyd et , Id , quota pars erit T. Cap.IO. de regula aurea proportionis disjunctae,& inde quarti proportio natis inventio C. Proportio est prima aut conjunis a.

Sp. Proportio prima, est proportio dis

jund la tantum,aut continua tantum.

6o. Proportio disiuncta essi, quando quae ratio est primi termini adfecundum, eadem es tertii ad quantum.

Ad proportionem disiunctam prima erit inventio quarti proportionalis per multiplicationem simul & divisionem, quae inventio propter singularem excellentiam vulgo aurea regula no

minatur,

cir. Si quatuor numeri simi proportionales ,factus ab extremis erit aequalis f

Ego si mediis: re si Aectus ab extremis sit

equali uecto a mediis,quatuor numeri e

runt

58쪽

LIBER II, rim roportionales. Is . Z.

It in , a, 3, factus 12 ab extremis & s,est aequalis idi facto a mediis et 8c 6. Ideoque etiam numeri quatuor positi sunt proportionales. Hinc sequitur.

gr. Si datis tribis numeris primus dbri serit fasium a secundo di tertio, quo

tus erit quartus proportionalis. Is .ct.

Itin et, A, C quartus proportionalis est 12.

63. In hujus regulae quasionibus 'rincipue ste fiandus est ordo terminorum.

Ut nempe primus primo loco sit, &cceteri suo. Itaque si confusius, ut solet, quaeratur, redi, gantur tamen in ordinem termini: It,quot horae fiunt in s diebus,ctim in s sint a Hic quaestio est: tertii termini,quaestionisque proportio sic expedietur 3, T2, 6, I l.

6 . Si confundantur res heterogeneae,

reducendae sunt prius ad idem genus.

Ut si quaerati ir,hebdomada horas habet Ic8, dies A quot horas habent i Pro hebdomada ponantur dies,& tum dic, dies dant horas dies, quot horas dabunt i repeties

Si termini rationis comprehendantur dato nomine rationis, ante fiunt em

plicandi,

D iiij

59쪽

ARITHME TI C AEUt ad quem numetum re est quintuplus Epo- ne pro primo & secundo termino terminos minimos quaesitae rationis s dicito,ut s ad I, sic ra agri. Atque hoc modo cuilibet termino terminus rationalis, qua voles rationis specie re- perietur . Sic enim idem Ia sesquiquattus erit ad pisiuperbipartiens tertias, ad duplus sesquiquartus,adsi, id est, T, duplus supertripartiens quintas ad Aeti. Exempla sunt cum specie rationum terminos includente: sic,s,. J, I, 12, a

Si quid antecesserit quassonem,

ante explicandum est.

Centum libras emi io aureis,vendidi i a. quatum lucri fuisset ex aureis ioo Primo videbis lucrum Io aureorum esse aureos a. Tum igitur per auream regulam dicito: io dant 1, ergo Ioo dabunt dio. Item si libra 3 aureis empta, venderetur tantum a,quanta essetjactura ex aureis Ioo EHic cum videris jacturam in s esse I, tum dices 3 perdunti: ergo Ioo perdunt 3 set. Sic saepe multarum rerum additio facienda, priusquam proportio concludatur: uti piperis pondo Iooo in Lusitania empta sunt nummis Ioo oo, proque his

60쪽

his vectigal pensitatu nummis Ioto, naulum per Rhotomagum usque fuerit 3oo. Ibi deinde vectigal soo, vectura roo: accesscrit ministrorum impensa Eooo, vis in singulas libras lucrari A , id est, pro tota summa gooo Adde illa omnia, summa erit 18o oo. Iam dicito,Io oo pondo dant impensas I So oo : ergo I dat I S. Putearius quidam puteum brachiorum 3 redemit effodiendum libris Eo cum victu geminarum operarum. Effossis autem brachiis Eo,aegrorare coepit, patremque familias naercede debitam rogavit, quanta igitur ea est 3 Hic victui nihil variat, sed arithmeticae progressionis usus hic est ante proportionis geometricae conclusionem. Nam secundum brachium laborem primi continet & tertium utriusque, dc sic deinceps rithmetica gradatione labor crescit. Itaque siumma integrae progressionis brachiorum est sys. At summa progressionis s , et o brachioru est Ero, Jam ad proportionem conclude,ut sys adso, sic

aio ad ri it, vel

Cap. II. de reductione qua diu plici ex inventione quarti proportionalis. Ex aureae regulae consectario quadruplex r ductio oritus partium ad datum nome, integro rum ad partes, partium ad integros, particul rium ad partes.