장음표시 사용
131쪽
s .ls. i. Etiet aten in etia Ailatatat authm Duri, orensa laterae habenissu, aequalia(quonia is ne gario sunt parallelograismoe , si in heholio propos. a d. lib. I. Euel. Osredimulas stitiis oppostii tuides se fine aequale, et Idei, eo istam hane fropositionem in tri,Musae, es Dadri alaesi, Duri, ita demonsti tibistit. Sit primum irian ium AE c, intersi Isisserimetris triangula maximum. Diea itina aequitate: uis ossa es
est aestitia erum , sed latera
132쪽
Eumo ei reuius ABC, fgura autem regularis quotcunque laterum eisio- tis , ,hurehimet a D E F.Dieo circulum A A C,esse maiorem figura D E F.Sit enim G, ditiose timee trum eireuli AAC; & H,centrum figurae DE F; Describaturq. circa cit maximusculum ABC, figura BIX C tot laterum,S angulcrum squasium, quot eon- est. titiet figura DEF,id est. Amstis silure DEF. per ea,quae edi Campano docuimus in sillogio r. propos. rcuib. Iucl. Deinde ex puncto contactus R, ad centium G, ducara r recta A G , quae perpendicularis erit ad I X . Ducatur rur- 18. . te suis A D. ad L M, perpendieularix: Diuident'. rectae G A, H D, rectasi X,L M, s . i. i. . bisaeiam , ut conflat, si s ruris BIRC, DE F, eireian scribantur cireuli. Dii eantur quoque recte G I, H L, quae diuident angulos I, S L, bisariam, ut ma nifestum est ex demonstratione propos. ir. lib. . Eucl. Q non iam igitur totiaopuli I, ct L, sunt aequales, propter similitudinem figurarum, erunt etiam ipsorum dimidia, uidelieet anguli AI G, D r Η, qqualia . Cum ergo & an- 31.3 sis guli I A G I DΗ ,snt quales, utpote recti, erunt triangula A I G, D L H,
quiangula. Quia uero ambitus sautas P IXC, maior est(per I .proposlib. r. Atehimedia de sphaera lindaeo Gibitu ei reuli ABC; Ambitus autem ei culi aequalis phnitur ambitui Agutae DE Ff etit qgoq. ambitus Agurt B IE C. reaior ambitu figuret D E p. Com illi ut Egurae sinit regulares, ct similes, erit etiam latus I Κ, latere L M, maius ideo IA, dimidium latetis I x, maius, fexi . quam L D, dimidium lateris L M. Rursus quoniam est, ut I A,ad A G. ita L D, iq. titui . ad D Hs Et est I A, maior quam L D, erit quoq. A G, reai odi quam D II. Quamobrem rectangulum contentum sub AG , is dimidio ambitu eiecti si A si G, quod(per .propos. huius)circulo AB est aequale, maius est,qii Em rectangulum contentum sub D H, & dimidio ambitu figudit DE B, hoc est,(per x propos. huius)quam area figurq D E F Circulus igitur omni lius figuris rectilineis regularibus sibi is operimetris maior est,quod ostendendum erat.
133쪽
s X Comment. in I. Cap. Sphera
COROLLARIUM... Ex omnibuSiis, quae demonstrata sunt,perspicuum est tarc - tum absolute omnium figurarum rectilineatum sibi isoperimetra
maiis eae NI ONI A M enim ex propositione s .haletur , redigarium Flatirarum rime Irartim Ompa aptara ratera continet, esse maiorem I Uut expetopo sitione D.ranseat, in or ah nea sutiris, Fbor dirat aequialia numero Diem habentes , eam maximam esse, tip petularia est:Ex hac denique I g. propositistia parspicuum es, eiretitum omnium Aurarum ij perimet rarum redigarium esse maxistim : Manissa tone duri triuia Ium absoluta aes replieiter omnium figuraram rectilinea Di Foserimetraram mo
m i. to sub perpendiculari a tiretice ad basim protracta , ct tertia parte
qualis. Si et pyramis , cuius basis quotcu nque laterum ABC DF, & uertex F. Solidum autem rectangulum CN, euiu, basi, GHIR , aequalis sit tertis paristi basis ABCDE , altitudo uero, sue perpendicularis GL, aequalis altitudini pyramidis , sue perpendie usari a uertiaee pyramidis ad eluq hasin productae Dieo solidum tectangulum G N , cquale esse pyramidi ABCDEF. Ducaniatur enim ab Oibus angulis basa GHI ad aliquod putiPum basa opposts, nimitum ad L , lines rectae, ita ut constituatur pyramis G H IX L , eandem habena basim cum solido G N, ea indem lue altitudinem & eum seodem solido G RS eum pyramide ABCDEF . oniam igitur pyramis ABCDEB , tribsa est pyramidis C H IX L , ut in geho- Iio propos. S. Iib. r 1. Eucl. demonstraui mus e Et solidum G N , triplum quoque
est , ex eoroll. propos. v. lib. I r. Euel.
eiusdem pyramidis GHI XL; erit s lidum G N, pyramidi ABC DEF,qquale . Quapropter area cuiuslibet pyramidis squalis est solido rectagulo , &c.quod erat ostendendum.
134쪽
Dan. de Sacro A mTHEOR. is. PROPOR
India esiuslibet eorporis planis superscietis contenti, O circa Flarum aliquam ae rei seripidius,hoc est, a cuius puncto est o medio omnes perpendiculares ad bases eius proaurus t aequalis , aequalis e solido rectandisi comento sub tina perpendicularitimo tertia parte ambitus com
Egro eorpus planis supelgesebus eontentum AB C D , cli ea sphaeram E F G H , euius centrum I descriptum , in quo ducantur ex i, ad puncta cD tactuum ineq rectae I E, I F, IO,l H, quae ad bases solidi erunt perpendicula- aes. Nam A v. g. per rectam I p. dueatur planum saeiens in sphaeta, per proposia. lib. r. Theod. eirculum E FG H , & in basi tectam A B , tanget ei te ulus E F G H , rectam A B, in puncto E. propterea quod sphaera basim non secat, sed tangit. Igitur I E , ad rectam A B, perpendiculatis erit. Eadem ratione.sipeae I E, ducatur aliud planum a pliori di sciens, set alius cireulus in sph ea.&alia linea recta in eadem hasi secans rectam A R, tu E, ad qua etiam I E, perpedicularis erit Ac propterea IE, ad basim solidi pedi illa, rectas ductam perpendicularis erit. No aliter ostendemus , rectas I S , I G , I H, ad alias hases esse perpendiculares . Sit quoque solidiim rectanguIum L R, euius has sXL MN, sit aequalis tertiae parti ambitus corporis ABCD s altitudo uero, siue perpendicularis L P, aequalis uni perpendicularis ex centio I, ad hases corporis ABCD, eadentiusquae omnes intersi squales sunt ex des. sphaerae. Dieo, solidum L R, corpori
ABCD, aequale esse. Ducantur enim ex centro I, ad oes angulos corporis ABC D, rects lines, ut totum corpus in pyramides, ex quibus componitur,dividatur: quarum
quidem pyramidum bases Esdem sunt,quq corporis,vertex autem communis eentrum I. Quoniam igitur( per prae eodentem proposi ) qua libet liatum pyramidum aequalis est solido rectangulo sub perpendieulari L P, quae singulis perpendicularibus corporis A BCD, aequalis ponitur, & tertia parte suae basis eontento a Si sani tot solida rectangilla , quot sunt pyramides , erunt omnia lite simus a qualia solido rectangulo h R. Si enim tectangulum XLM ia, diuidatur in tot tectangula; quot bases sunt in solido proposito , ita ut primum aequale sit tertit parti unius bas, .& secundum tertiae parti alterius,& ita deinceps , quandoquidem totum rOct gulum XL MN , aequale ponit ut tertis parti totius ambitu s lidi, intestigantatur autem super illa rectangula constitui parallelepipeda ; erum omnia fimul
aequalia parallelepipedo LR.) Cum ergo si gulo parallelepis , da singulis pyramidibus sint squalia,set propos precedentem; erunt quoque omnes pyrami
potest, mi parallelepi.pedo aequam
135쪽
roo Comment in I. Cap. Sphaera
de (nempe corpus ABC D , ex illis eompos tum ) aequales solido ted ingu-
T H E o R. a q. D ROTO S. I S. ARRA euiuslibet spham aequalis est solido rectangula comprehenso Ab semidiataetro sphaera, ct tertia parte adigitussphaerae.
Esto sphaera ABC, cuius eenitum D, semidiameter A D i Solidum au tem tectangulum Leontentum sub semidiametro A D, & tertia parte ambitus spaerar ABC. Dico eolpus E, sphaerar A B C, esse aequale. Nam si non ea di quale et sit, si seri, potest , mimum maius , sitque excessias eorporis E, supra sphqram A BC, quantitas F. Intelligatur etrea centrum D deseripta sphaera GHae , maior quam sphaera AB C , ita tamen . ut ex ressus sph rq G ΗΚ, supta sphstam A BC , non fit maior quantitate F , sed ues sequestu, uel mi-xor , hoe est , ut sphaera GHR, sit uel equalis solido E, quando nimirum ipsa eveedit sphaeram ABC, praecise quantitate F s uel minor, si nimirum ipsa exeedit sphtram ABC, minois ii quantitate , quam F. Necessario, enim aliqua sphaerae erit , quo ueI aequalis sit magnitudini E , atque adeo maior , quam sphaera AB C stitit maior quidem qua spheea A B C,
minor vero quam magnitudo E, quae maior ponitur , quam sphaera ABC. Inseribatur deinde intra sphaeranx G Η Κ, eorpus quod non tangat sphaeram ABC , ita ut unaquaeque perpendi eularium ex centio D , ad basen. illius corporis eductatum ma
tot si semidiametro A D . Si igitur
a centro, D , ad omnes angulos diacti corporis ducantur lineae rectae . Ut totum eorpus in pyramideu di uidatur, quarum hasea sunt eaedem, quae corporis G H Κ, vertex autem communis centrum D ; erit quae
libet pyramis ( per i . propos huius aequalis solido rectanguIo contento sub eius perpendiculari,&tertia parte basis; Atque ideirco solidum rectangulum content uni sub lemidiameir A D & tertia parte bafis cuiuslibet pyramidis , minus ipta Dramum erit . Et quoniam omnia solida rectangula contenta sub singet m. cularibus ex eentro D , ad bases corpo eis dicti pridi tracti et, re fingulis ter xiis partibus basium simul thalia sunt toti corpori, essiciunt autem omnes tertiae partes basium simul tertiam Parx M ambi*Rβ sv P ' ii iiiiii et
136쪽
tidum rectangulum contentum sub semidiameteo A D , di tertia parte ambiti perusati corporis inscripti intra sphaeta GH X, minus corpore inscripto. Quo-n a vero ambitus corporis inscripti maior est ambitu sphaerae A B C, ut demonstrat Archimede, lib. i.de sphaera,& cylindro propos. a . atque adeo a tertia pars ambitus dicti eorporis maior tertia parte ambitus obstae ABC, erit solidum rectangulum contentum sub semidiametro A D, is tertia parte ambitus sphaerq AB C, hoe est,solidum Et milto minurum corpore inscripto intra sphaeta G H Riposta seli autem sphaera G H X,uel aequalis lolido F , vel minot. Igitur& sphsto G H Κ, minor erit corpore sntra Ipsam descripto, totum parte, quod est absurdum. Quoei rea solidum p. maius non erit sphaera ABC.
SIT DAiNDE, s seri potest, solidum E, minis, , quam sphaera ABC,
excedat ut te a sphaera ABC, quantitate F. Intelligatur circa centrum D, sphaera de eripiti L M Numinor, tuam sphaera ABC, ita tamen , ut excessus ,
quo sphira L M N , ius erat ut es sphaera A B C , non se maior quantitate P, sed Dei aequasi , ut i iiij uot, hoe o i , ut sphaera L M di, si uesi equalis solido E,s nimi tum ipsa excedatot a sphaera A B C , quantitates F, vel maior solido E, si in delicet sphaera LM N, a sphaera ABC, superetur minori quantitate, quam p. Neees at io tinim aliqua sphaera erat, ququel aequalis si solido R. atque adeo minor, luain sphqra A B Csvel minor quidem, qu3 in sph ha A B C, maior uel si, quam magnitudo R,quae minor ponitur, quam sphaera A B C. Deseribatur deinde inita sphaetam A B C,eorpus,quod minime tangat spl)qram vet,duia L M N; ita ut unaquaeque perpendiculatium eae centro D, ad bases huius eorporis snscripti cadentium rei not iri semidiametto A D. Si igitur a centro D, ad omnes eius angulos lineae extendantur, ut totum eo us in pyramides re soluatur, quatum bases sunt e dem , quae corporis ABC, Derteae autem communis centrum D erit qualibet pyramis aequatas ( per i . propos huius)solido rectangulo eontento sub eius perpendiculari,& tertia parte hass, Et ideos sidum rectangulum contentum sub semidiametro AD,& tertia basis eviticuis pyramidis, maius et it pyramide ipse . Et quoniam omnia solida toctangula contenta sub sngulis perpendicularibus ex centro D, ad hases eorporas diam protractis, & singulis tertiis partibus hasum, simul squalia sunt toti corpori, effetunt autem omnes tertis partes halium simul tertiam partem ambitus corporissetit solidum rectanguium contentum sub semidiametro A io,& te tia pulte ambitus dicti corporis sphaerq AR C, inscripti, maius corpore rescri pio Cum igitur ambitus sphaers AB C maior sit ambitu corporis sibi inseri pii atque adeo is tertia pars ambitus sphaerae maior tertia parte ambitu, dicti eor- potis,erit solidum tectangulum contentum sub A D , semidiametro, is tertia parte ambitu sphaeri A B C,hoe est,solidum E multo maius eoiporti inseripto intra sphaeram AB C E Potiebatur autem sphaera L M N, uel aqualis soliado Ei uel maior . Igitur & iphtra L M N , maior erit colpore intra sphsiam A B C, descripto,pars toto, quod est absurdum . Non igitur solidum E, minustitit sphqra A B C. Cum ergo neque maius si ostensum , squale omnimo erit: Ae ptopterea area cuiuslibet sphaerae aequalis est solido rectangulo compre
henso sub semidiametto sphaerae,& tertia paate ambitus sphaerae, quod demon
137쪽
Comment. in I. Cap. SpharaT H E O R. I s. P R O D O S. I . Spraera m S P H A E n A omnibus corporibus sibi joperimetris, planis superfici Nisu. contineatur; circasilius haras circumscriptibiliast,hoc est,quoratri ..i om impe miliculares ad bases producis ab aliquopuncto medio sentequa
isseti piihi, E mo sphita A, euius centrum A, & semidiameter A ni solidum autem,t, is circa aliquam sphsram circum scriptibile sibi isoperimetrum C, euiuu una petaeAhbo, eo pendicularium C D . Dico sphsram A , maiorem esse solido C. Intelligatue linentur. enim eirea sphaeram A, corpus descriptum simile prorsus solido C, ita ut sin gula quoque latera contingant sphaeram A. hoc est, eius perpendieulares quarum una sit A B,sint quoque aequales, nempe semidiametti sphaerae A exi- sentes . Itaque quoniam ambitus chrporis circa sphqram A,maior est ambi tu syhaetae A, ( per ea , quq ab Archimede sunt demonstrata lib. a. de olimra, is cylindro, propos a .)e rit quoque eiusdem eorporis ambitus maior ambitu eo oris C. Quare perpendicusatia A B, hoe est iemidiametri ipsiqrae A, maior erit perpendiculari C D. Quamobrem rectangulum solidum contentum sub semidiametro AB, es tertia parte ambitus sphsrq A, quod cper praecedente propos)sphaerae A , aequale est , maius erit, quam rectangulum solidum contentum sub perpendicus ri C D, S tertia parte ambitus corporis C,hoc est,(per I f pos. huius quam eorpus C. Sphaera igitur omnibus corpohibus Abi Isoperimetris, quae planis superseitibus eontineantur, &em os est, quod erat de anonstrandum.
risti. et ongina omnlitis corporibus f hi joperimetris, S ebea alias ohs
psith si vas eireti eriptiligiltis, quae superficiebtis eoaicis contineantnr, ita tit i mettiu, M tera omnia coniecit aequali maior est.
3I,baera, At Eseto cireuius A B C D, cui eireum selibatut figura regularis T s Gn- conscripti , Ix L M, ita ut numetus late tum a quatethatici mensitetur,euiusmodi est qua iii, ii drarum,sgura a. i Lima o. an. vel dii laterum, angulorumq, squalium, &e.
138쪽
nueatur . ex augulo R, per eentrum ad angulum si tecta E I.Itaq; si eirea manentem rectam E I, immobilem circumvagatur planum, in quo est eireulus A BC D , I stura EFGHI ULM , deseribet cireulus spheram , figura
uero corpus eiica sphaeram eonteis superficiebus contentum, quatum supersi.eierum latera aequalia sunt,nempe eadem,quae figurae, ut ah Atehimede demos ratur propos dii.& Eet .sib. I. dei pla dira,& cylindro. Sitiam sphaera N, i
peti metia eorpori EFGHI XL M, eitcasphitam ABCD,descripto.Di- eo sphaeram N,dicto corpore esse maiorem . Quoniam enim ambitu u solidi EFGHIΚLM , maior est ( per propos 1 et . lib. i. Archimedis de sphaera &cylindro)ambitu sphaerae ABC D,erit quoque ambitus sphaetae N, maior ambitu sphaerae ABC D,ideoque semidiameter sphaerae N , maior erit semidiametro sphaerae A B C D . Et quia superseies sphael, quadrupla est(per pro poc3 I.lib.3. Archimedis de sphaera, & eylindro ) maximi ei reoli in sphagra , s si matureirculus O P, quadruplus eirculi maximi in sphaera N , ( quod quidem
Deile get, fi diameter o P , dupla sumatur diametri cireuli maximi in sphaera N. Quoniam enim,ut eleeuius OD, ad elieulum maximum in sphaera N , ita quadratum diametri O P, ad quadratum diametri ei reuli maximi in sphaera N,Est autem quadrati ad quadratum proportio duplieata proportionis laterum homologorum, erit quoque cireulus O P, ad ei retitum maximii in sphaera N,in proportione duplicata proportionis diametri O P, ad diametrum cireuli maximi in sphaera N. Cum igitur diametri ponantur habere proportione duplam, habebunt citculi proportionem quadruplamiquadrupla enim proportio duplicata est proportionis duplae, ut in his numeris apparet. I 1. q. rit circul uso P, aequalis ius ei selei sphaerae N.Accipiatur fursus circulus ST, aequalisciteulo O P. Statuat ut deinde supra circulum S T, contis tectus ST V, axe
139쪽
ro fi Comment. in I. p. Sphaera
V X, ia ualere habens semidiametro sphaerae Ni Item supra eirentum O P,al . tot erit, is o P s consa natur habens axem vi, equalem semidiametro sphae it A BC D;etiique maior altitudo eoni S TV, quam eonio PQ rat bases iqua
Ies erunt. Quare conus S T v, maior erit cono O P inpropterea quod coni,q alium hastam eam inter se habent proportionem , quam altitudines ,r .dahae: Quoniam si ero pharaa N, quadrupIa est eius eo ni, qui basim habet aequale maximo in sphaei a N, cireulo,&altitudinem, aequalem semidiametro sphaerae , ait demonstrauit Archimedet lib. i. de spli aera & cylindro proposis a Mutiis au tem eiusdem coni quadruplus est conurum ST V, eo quod coni candem habeo II. tim L. teg altitudinem proportionem habent, Atiam hales s erit conus S TV, sphqrae N, aequalis. Eodem pacto, quia hasa coni o Piu qualis est ambitui eorporis EFGHIEL M, quia is squali, supei scies sphaerae Ni qum eorpori illi iso- perimetra est: altitudo uero aequat, s sire id ametro sphaerae An C D,erit so- Iido E T G R I x L M, , quasi, eonus O Dipser eo, quae Archi modes sibi ciae de sphaera, & e lindro peripolr 1 o: demons havit. Quamobrem is sphaera N, Haior e=it stigido F s G H I Κ L M, eoas ei sui ei sciebus contento. Sphaera igitur omnibus corporibus sibi i operimetri , ct ei rea alias sphaeras circumscriptibilibu , , c. maior est, quod demonstrandum erat. HAEc sunt, quae mihi die enda uidebantur de figulis ita perimetti . Copio-shrem autem tractationem eadem dero , Deo volente, alio in loco edemus idiu ne ad propositam sphaeis expostionem reuertamur. .
allam /sse, NEC Issimas, quoniam se mundus esel alterius forma, uam ro- c' tu ita , macet tritaterae, uel quadrilaterae, uel multilaterae , sequerentur ne aritale. duo impossibilia, silicet quod agiquis locus estet uacuus, in corpus me ita
140쪽
A Nn eras Im Amn ita constinat ecelum esse rotundum. Coelum , ve ostensum eii, mouetur; si igitur non esset sigurae rotundae, sed multi laterae,iri- laterqui delacet, aut quadlisa tergi Dc. (nomine trilaterae figurq intellige pyramida lem,Joco vel o quadii latetq euhieam) sequerentur duo ina possibilia: unuquod esset aliquis locus fine corpore,alterum, quod daretur eorpus sne loco,
quorum utrumque pugnat eum rerum natura. Necesse est igitur coelum Phlotundum. Coniecutio manifesta eii ex eleuati odie,& depressione angulorum
gurq cuiuscunque mulis laterae, ficirca centrum moueretur. .HAsc ratio solum eo vi eludit, estum esse aliquo modo rotundum, hoe est, non angulare,ptopter illa in conuemcntia, ad quae deducit auctor, si e stet figurae angit loris 'non tamen simpliciter ex ea colligitur, caelitin esse sphset eum.Diceret enim quispiam, ipsum esse figurs oualis, seu lenticularis,eonicq uel ersio .drieae Nam si prinatur evilum eis e alicuius harum sormarum, omnia illa absurda facili negotio uitabuntur;quoniam hoc eo cesso', poterit caesimi ita circa axem suum moueti, ut continue partes partibus meisdem suecedant locis,que admodum aeeidete uidereus in corpore Phaerico seu globoso . . Attamen di- toti itis. eendum est,rationem praedictam a necessitate concludere c*lum esse persectis lut ratio a sine sphaericum,& nullo modo hahere posse alteram figuram. Caeli etenim in necessiate. seriores, ut supra suit ostensum,mouentur motu opposto motui primi mohi- iis super diuersus polos a polis primi mobilis: non possent autem hoc motu moueti, si sph elei non essent,nisi fieret penetratio corporum, uel scissio coelotarum, ut manifestum est re accuratius considerantis quorum utruq. fieri nequit. Dein consequerentur eadem absurda allata ab auctore eontra figuram, angularem. Sit enim Oualis,& superior ora
big, s sieti potest, ABC, cuius axis A D C , post A, & C, in serior uero itidem Oualis othi, si F H F G E ,
qui quoniam caesi secundum omnes philosophoes sunt uni sermes, quoad etastitiem ae spissitudinem, stuabitur secundum stum,& Ingitudinem superioris orbis, ita ut longitudines eorum habeant eandem diametrum, ut hie uides . Sitiam axis inferioris orbis G D H, circa quem ab occasu sti ortum mouetur, iam manifestum est,ad motum refer oras orbis super axe G D H, ei reumsititi. eoepit, eaelesse discindi, atque pCnetrati, traducetur enim pata E, ei rea polum G,in I, punctum,& pars sicirca polum H, in punctum X, quare relinquentur partes E,& F, uacuae, ut
cum,exco, quod uidemus omnes istellas suas semper in eadem distatilia,& Pro tum esse opinquitate ad nos moueri,& eas, quae sunt propinquiores polis,oescribere Lix tundum,aemim minores,illas uero, quae sunt remotiores, proportionabiliter maloics: ohsti umi