장음표시 사용
21쪽
ra DB ADDITIONE.s I et v i s apud se scrutari velit eur hare ita se habent,ut du per
singulos locos notas addimus,easque pro primarijs computamus, numerus tamen sub linea collectus, quando Iocis sua significatio redditur,recte in uniuersum respondeat: In promptu ratio est. naquemadmodum in primo numerandi loco,primarias notas,si recte copulatae sunt,numerus sub linea collectus continet: ita necesse est ut per singulos Iocos figuras omnes, si recte colunctae sunt, numerus sub linea coaceruatus exprimat. Et siquis numerus,dum addimus,memoria retentus, a loco ubi repertus cst, in alium transertur: id fit quia maior est quam ut eo loco quo natus est,reponi debuerit:& quando in suum locu recte translatus est, velut illius loci foetus numeratur. Ad haec cu per omnes quide locos figuraruforma eade sit,significatio vero pro augmento loci longe diuersa: denominatione tamen omnes a primo loco recipiut, ut quot illic unitates singulae repraesentat,totide secudo loco dena,tertio centena,quarto millena,& sic deinceps,exprimant. Quado igitur singulis numeroru sedibus, numeru ibi collectum sub linc a stibi cimus, eade per omnes sedes ratio est quae de primo loco: ut sicut ibi
omnes numeros numerus sub linea locatus continet, ita in omnibus locis collectos numeros rcpraesentet. Et cum omnium locotu
notae denominationem a primo loco mutuentur,significationem autem diuersam singuli loci suppeditent mumerus sub linea collectus totidem secundo loco dena,tertio centena, quarto millena,&sic deinceps nobis denominabit, quot unitates locorum illorum notar,si primo loco fuissent positar,repraesentarent. SI S cIRE cupis an recte numeros collegeris, numerorum additionem recte factam esse , per deductioncm probabis. Itaque si Postquam numerorum additoru ordinem aliqvcm a summa coaceruata deduces , reliquorum ordinum non deductorum summa ex deductione surget:tune in addendo nihil est erratu. Nam cum partes complures ad cuiusuis rei compositionem coeunt, siqua earum sola sublata erit,caeteras remanere neces- 4 3 se est. Id manifestius fiet,cu de deductione prae- 3 et cepta dcderimus:ad quam nunc properamus. 7 9 x
ET Q. v o N I A M nulla natio est quae Varia numismatum genera non habeat,alia pluris pretis, alia vilioris: ideo ad tam variorum additionem faciendam, singulis & nummoru & summarum generibus suae classes in abaco designandae sunt, ut unaquaeque m
22쪽
zue summa siue pretinia quo maior est allic magis sinistram octii-pet: quo vilior,magis dextram. Veluti si in Unam summa colligendi sint aurei,valentes singuli denarios Vicenos quinos: denarii.valentes singuli 4 nummos sestertios: sestertii,Valentes singuli duo,
asses & semissem c cuiusmodi sunt Vetera numismata Romanat aurei sinistram occupent: denarii in dextram Vergentes, medium locum teneant: sestertii Vero dextram. Deinde genera haee tam varia additurus, a prima classe dextra sestertiorum incipe: numerosique omnes colligens,atque obseruans quot quaternaria reperiuntur: siquis numerus excurrit,qui quaternarium non perficit, illum ibi subsignato. Ipsos autem quaternarios memoria tenens tran set in proxima denariorum classem. continu ue memoriam exonerans, R denarios illic repertos eis adiungens, per omnes ipsius elassis numeros discurre:atque animaduerte quot viceni quini sutobuli. numem autem excurrentem,qui V no implet ibi deponito.'At viceni quini memoria reconditi, in proximam aureorum classem transserantur,eum illis primum copulandi: & numerus omnium collectus illic subnotetur . Itidem si in quavis alia natione aurei,denaris,nummi viliores illius regionis supputandi sunt, eodem modo eurandum, ut singulis sua classis detur. Viam tantum monstramus caetera facile dabit frequens exercitatio. Exemplum ante oculos spectandum hic subnotauimus, quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. Aurei Denaris
v B DV C T I o numerorum est minoris numeri a maiore.s vel aequalis ab aequale subtractio. Hac autem eandem, vel deductionem , vel subtractionem appellare Latine licet. Vsus eius est, a toto subducta parte, reliquam totius partem cognoscere: & ut apertius dicamus, duobus propositis numeris,alterum ab altero demere,ut videatur quid sit reliquum, & quantum alter aloerum superet. Uerbi gratia. sume duos numeros, alterum septem, alterum tria. si a septem tria deducas, reliqua sunt quatuor. totidem itaque Unitatibus tria superantur. Insubducti qb.iiij.
23쪽
ne necesse omnino est ut duo sint numeroru ordinest alter a quo fieri debet deductio:alter,qui summa deducendam contineat. Oportet aute semper vel minore summa a maiore, vel aequalem ab aequale subducere. nam maiorem a minore subtrahere,cotra rerunaturam est. Qui de eoputandi scripserunt arte aria praecepta de subducedis numeris dederunt:quom alii nonunqua numeri propositi notas inter subtrahendu putauerat esse delendas. Alis logis ambagibus obscura quaeda docuerat,vi pene difficilius no esset numeros diuidere,q deducere. Quae dum legeremus,& eoru probaremus nihil quod Vel tortuosos haberet anfractus,vel multis lituris figuras cofunderent:diu multumque inuestigates siquid apertius inuenire possemus, tadem Iohanis Garthi philosophi eruditissimi atq; in Arithmetica loge peritissimi auxilio,loge facillima iacertissima viam in subducaedis numeris inuenimus: qua certe numerus omnis quantuuis magnus,quatumuis intricatus,manentibus notis uniuersis,nullo negocio subduci potest. Et ne multa expectatione lectore torqueamus,ea subducendi ratio est eiusmodi Postqua maior numerus a quo fieri debet deductio,supra,& minor numerus qui deducedus est,infra ita scribetur ut loci numerorii locis respodeant, primi primis,secudi secudis,tertii tertiis,& sic deinceps uineat sub ambobus numeris a laeua in dextra perducta erit, sicut in numerorum additione supra docuimus :tum a dextra parte,ubi minimi numeri locati sunt incipietes a primo loco,pri mu numera inferioris ordinis a primo superiore,si ille ipse superior maior fuerit,subducam':& quod ex dedu 3 ctione reperietur, sub linea primo loco ponamus. 4
Si vero numerus inferior superiore maior erit,ut ab eo deduci nopossit tunc superiori numero decem memoriter adiungamus, co- putantes superiorem illum minorem numera velut ex primario &denario numero chositum: & ab eo sic aucto maiorem numeruinferiorem dedueamus. Exempli gratia. superior numerus esto tria, inserior nouem. nemo deducere nouem a tribus potM. ad tria igitur mente adiungamus decem:& noue a tro I 3 decim auferamus:tum quatuor supersunt .is est nu- 'merus quem requirimus, qui sub linea locetur. 4Quod si superior ordo circulsi habeat,ut inferior numerus,qua-tulustuque fuerit,ab eo demi no possit,illum ipsum circulum prodece memoriter numeremus, & ab eo inseriore nota,quae semper denario numero minor erit Auferamus. Exempli gratia. sit circulus
24쪽
supra, infra septem. fieri non potest ut septem a nihilo de- oducamus. circulum igitur pro decem animo copulemus,& a Idecem subducamus septem:reliqua erunt tria. . Quotiescunque aute denario numero memoriter adiecto. periorem numerum augebimus,Vt inferior qui maior est,ab eo demi possit cloties per omnes numerorum locos, Vnum ad sequentis loci inferiore numera e Vestigio memoriter addemus , illumque ipsum adiecta unitate sic auctum, a superiore eius loci nu- 4 omero si maior sit,subducemus:& quod reliquum erit,eo a ripis loco sub linea reponemus unde id subtraximus. 1 Sin minor erit illius Ioci numerus superior,quam ut ab eo demi possit numerus inserior Vnitate illa austus:rursus de- 24 onario numero adiecto augeatur numerus ille superi- i s ror i inferior ab eo abduci possit. - Idque per omnes numerorum locos semper est obseruandum. Sic primo loco expedito,ad secundum transeundum: ubi per omnia faciendum est itidem Vt in primo. Sic cum ad tertium,quartum, ulterior Ve locum Ventu erit,eadem perpetuo seruada sunt. A T s I quibusvis numeroru sedibus in inferiore demedo numero circulus, in superiore autem a quo fit subductis,nota significas reperiatur: si nihil a priore loco propter denarium nu- 432 merum mutuo sumptum memoria retetum erit quod 3 o rdeduci debeat:numerus ille superior integer subscribetur a Quando vero in utroque numerorum ordine elaeu- ΑΟΣ
Ius nobis occurret, si nihil ex memoria promi potest 3or quod subscribatur, subnotetur circulus. Vbicuque autem in quovis numerorum Ioco numerus inferior superiori aequalis erit: cum nihil sit reliquum, subscribatur esteu- Ius,p terquam postremo loco. ibi enim si numerus subducendus
ei par sit a quo fit subtractio, nihil omnino subnotari debet: quia tune per caetera peracta est subductio:& cir 3 1 3 iculus in numeris postremum locu occupa- 241 32 ore nunquam potest. I o o
Quod si superior numeroru ordo numeris aliquot & notis inseriore transcendat: postqua inferioris ordinis numeros omnes a superiore subduximus. quicquid de superiore ordine reliquu erit,eisi
dem locis & notis sub linea numeris relictis adiun 6s 4 gatur quibus supra lineam suo ordine stetit. a 36 saq
25쪽
16 DE SvBDuc TIONE Nunc exepla petamus, quae viam demostratam clarius illustrent.
QVISQVIs a quinquagies septies milenis millibus, ducentis nonaginta quinque millibus,quadringentis nonaginta, subdueere cupit quadragies octies millena millia,septingenta sexagintaquinque millia,ducenta nonagintas tem i depositis notarum ordinibus,tineaque ducta,eiusmodi quae sequuntur tacitus secum con*deret, a primis auspicando numerorum sedibus, Septem a circulo subducere non postum. computo igitur circulum pro decem: & adece demo septe:supersunt tria. ea sub linea locatur. Transeo ad socundam sedem . numerus inferior subducendus occurrit, nouem huic unum addo,quia ad circulum in primo loco assumpsi decem,& pro decem computo. ea a nouem demere non possum. mutuor igitur alia decem: & addens ea superioribus nouem , computo decem & nouem. a quibus deduco decem: reliqua sunt nouem, quae subscribo. Pergo ad tertium locum tubi quia in priore sede sum decem mutuatus, unum adiungo ad numerum inferiorem, nempe duo,& fiunt tria. ea subduco a quatuor quae supra sunt: reliquum est unum, id subscribo. Progredior ad quartum locum . numerus uterque quinque continet. & quia alter alterum exhauritc nihil erit reliquiim. pono igitur sub linea circulum. Quinto loco sex a noue subtraho. tria relinquutur:quae lineae subiicio. Sexto loco,quia septem a duobus demi non possunt: assumptis ad ea,dece,fiunt duodecim: a quibus aufero septe,& quinque supersunt,quae lineae sub do. Septimo loco, quia Io in priore sede sum mutuatus,inferiorem Numerum Octo,Vno augeo,& nouem computo:ea,quia a septe auferre non possum ad septem assumptis decem, a septemdecim aufero novem. reliqua manent octor ea sub linea depono. Propero ad postremu locum,quo memoria affert unum,quia ex superiore sede iii mpta sunt decem mutua. eo ad inferiorem numerum quaternarium iuncto, fiunt quinque. quibus a quinque superioribus demptis, nihil superest reliquu . nihil igitur omnino subscribitur. tum quia subductio iam peracta est, tum quia postremus locus circulii nunquam capit. Reliquum igitur superioris numeri,a quo inferiorem subduximus,sub linea reperietur,octies millena millia,quin-
26쪽
genta triginta millia, eentum nonaginta tria. Iterum aliud ex plum plurium locorum magis impeditum ponamus.
I 6o 23I 2Ioi 3 Primo Ioco,quia supra septem est circulus, assumantur decem raquibus septe deductis,tria supersunt. Secundo loco occurrui octo,
quae unitate ex memoria augentur: & fiunt novem . si ea a dece ad circulum assumptis subtrahantur,remanet unum. Tertio loco unusupra,infra circulus est. Vnu ex memoria promitur: quod superius
exhaurit.& quia nihil superest: subscribemus circulum. Quarto loco,quia inferius circulus est,superius septe: a quibus nihil in quod subducamus, ipsa septem subscribuntur. Quinto loco quia octo a
circulo demi nequeunt: a decem quae mutuamur, ea deducimus. duo restant. Sexto loco ad quatuor quae infra sunt unum addimus
ex priore sede memoria sumministrante:quae simul addita subducimus a decem ad circulum superiorem assumptis. remanent quinque. Septimo loco,septem Vno aucta,quia ab uno demi nequeunt, ab undecim tolluntur: sumptis decem,tria subnotamus. Octauo loco,quinque quae sunt infra,vno ex priore sede delato augemus: &sex ab octo subtrahimus. duo manent reliqua. Nono loco supra &infra circulus best, igitur sub linea ponitur circulus. Decimo loco, sublatis quatuor a decem, quia a circulo nequcut eximi: sex subsignanda sunt. Vndecimo loco, octo quae inferius sunt, uno in memoria recodito augemus.& nouem,quia a circulo non possumus,
a dece deducimus. sic Vnum manet reliquu. Duodecimo loco promimus unum ex memoria,& addimus ad quatuor. quae,quia supra circulus est,auserimus a decem:& quinque nobis supersunt rea sublinea deponimus. & quoniam Vnum adhuc superest mente reconditum,quod unitatem illam superioris ordinis postrema exhauris, circulus subscribi deberet, nisi postremus esset locus qui eum non capit. igitur nihil amplius apponitul .rquia peractum est opus. Reliqui summa est,Quingeties ledecies millies millena millia, vicies ter millena millia,quingenta viginti septem millia,& tredecim. Si quis expedite sine ulla mora numeros Velit subducerer primu memoriter ediscat quatum erit reliquu,si singuli numeri primatis minores a maioribus subducantum id quod pueri plerique omnes tenent:& rursus quid supereri si numeri simplices, maiores a mino
27쪽
tibus eu denario numero infra viginti copulatis suerint subducti
Et queadmodum in additione praecepimus,in primis in memoria recondenda esse quos numeros procrearet singuli numeri pri mari, sibi inuicem copulati, ita hic e conuerso pernecessariu putamus ut expedite quis teneat quos relinquant numeros singuli numeri primarii vel inuice a se subducti, vel a procreatis per sui additionem numeris extrasti. Quod siquis ignorat,vmus horar labor, modo intentus sit animus,id suppeditabit.Verbi gratia,dece a d cem & noue deductis,supersunt noue. nouem a dece & octo dem - ptis reliqua sunt novem. nouem a septedecim sublaris,manent o. cto si nouem tollas a sexdecim,remanent septe. si nouem demas a quindecim restantsex .si nouem auferas a quatuordecim ,supπerut quinque. nouem exemptis a tredecim,quatuor relicta sunt. si veri, nouem extrahas a duodecim,tria remanebunt. ab undecim sublatis noue duo superesse palam est. Deinde octo a septedecim tollantur: nouem remanebsit. octo demantur a sexdecim,octo relinquuntur. octo subducatur a quindecim ,septem erunt reliqua. octo auferantur a quatuordecim sex adhuc supersunt. si octo deducas a tredecim.quinque manent. si octo a duodecim extrahas,quatuor existunt reliqua. si octo tollas ab Undecim, tria sunt reliqua. Rursus septem a sexdecim tolle,nouem deprehedes. septem aufer a quindecim, octo reperies. septem subtrahe a quatuordecim ,videbis superesse septe. septem deme a tredecim,sex inuenies. septem a duodecim demptis, quinque supersunt. septem ab Vndecim sublatis, . quatuor relicta sunt. Iam sex a quindecim depla,nouem relinquut sex a quatuordecim subductis , supersunt octo . deme sex a tredecim, remanebunt septem. tolle sex a duodecim, reliqua erunt sex. . aufer sex ab undecim, quinque tamen supersunt. Age,si quinque a quatuordecim subduxeris: nouem sit peresse inuenies. si quinque a tredecim tollas, octo deprehendes. si quinque a duodecim de
mas: reperies septem . si quinque ab undecim subducas, reliqua erunt sex. Iam veto,si quatuor a tredecim deducantumrelinquentur noue si quatuor tollantur a duodecim,octo remanebunt. si quatuor ab undecim auserantur,septem erunt reliqua Rursus tria demantur a duodecim,nouem nobis occurrunt. subducantur tria ab undecim octo sese osserunt.Denique duo sublata ab undecim ,nobis relinquunt nouem - -
Haee,quae pluribus verbis edocuimus, figuris annotata sub oculis subiecimus.
28쪽
29쪽
M u L Tr qui de subtractione antehae scripsersit,praeeipius quo
ties numerus maior in aliqua numerorum sede deducendus est,' 'quam is a quo deduci debeat: statim ab ulteriori loco proximo de. cem esse petenda, delendaque esse notam Vnde fuerunt petita,& aliam Unitate minorem eius loco reponendam. Quod si circuli sint medii, iubent omnes esse delendos,& eorum loco figuras nouenarias apponedas. Sin unitas sit figura quae decem commodat, illam in circulum mutadam. Et quia non inutile ad mul- 2 y Io Iota erit quae illi produnt cognoscere: quantiis prio- , O , orcs deleant notas, eorum exempla figuris annotata i r r Isubiecimus. 1 3 9 9 Numerus superior a quo deductio fieri debeat, signetur:tria millia & decem. inferior,mille cetum & undecim. Principio quia Vnuu circulo non possunt deducere decem a secundo loco sumul:& figura Unitatis ibi deleta, circulum reponunt. ab illis decem exem pio Vno,nouem supersunt. Seeudo loco,quia unum a circulo subducere non licet,& tertius itidem locus circulum habet:ex quarto Ioco ubi tria notata sunt,decem petiit: & pro nota ternaria quam delent, binariam ibi reponunt, circulumque tertii Ioel medium in figuram novenariam mutant. Deinde unum secundo loco extrahunt a decem:& sub linea reponunt novem. Tertio loco unum adferunt a nouem. manent octo. Quarto loco unum a duobus deducunt:& unum quod est reliquum sub linea locant. Haee deducen di via quanquam certa est,ia memoriam seruadis unitatibus non onerat: numeri tamen maioris a quo fit deductio, notas confundit:ut si cui propter errorem in subducendo admissum repetedum esset opus,numerum primo datum agnosecte no posset. Alii,quo ties numerus subducendus maior eo est a quo fit subtractio,praecipiunt inserioris numeri distantiam a denario , ad superiorem a 'quo fieri debet deductio,addi: & numerum ex additione illa pro creatum lineae subdi. Et quandocunque distantiam accipiunt.sem- Per subtrahendae proximae figurae unitatem mente reconditam adisdunt: ut illa nota sic aucta deducatur ab ea, quae supra eam posita est idque per omnes numerorum locos seruant. ut si septem a quatuor essent d endar quia septem a decem per tria distant, tria ad quatuor addunt: sepi que sic procreata subscribunt: & 3 4 unum mete seruatum in proximi loci numerum inferio- ' rem,qui deducendus est transserunt. 7Si vero nota cui addendum in V num memoria retentum,noue
30쪽
Inaria suerit,quia uno aucta fit decem & nihil a decem distat numerum supra verticem positum, a quo fuisset facta deductio, integrusubscribunt Iut si nouem secundo loco, quibus Unitas ex primo loco seruata addenda est,subducenda essent a tribus in superiore ordine positis.quia nouem uno aucta fiunt decem:& nulla 3 est distatia quae capi possit:tria,quae supra Verticem sunt, y Isub linea reponunt. 3 Sin figura cui addeda est unitas, sit circulus: eu nihil sit eui ad datumeam ipsam a superiore figura auferunt,& reliquum
Si vero supra etiam circulus sit: nouem,quae distantia est a decem,lineae subdunt.
Vbicunque vero superior nota circulus est,inferior figura significans,distatiam inferioris a decem subscribunt .vt si duo in circulo deduci debeant, quia duo a decem per octo distant, octo subscribuntur.
Caetera quae tradunt, his omnino consentiunt quae nos supra praecepimus. Hic quoque subducedi modus quavis nemine fallat, tame dum frequenter aucupamur distantia, dum eam inuetam ad superiore numem addimus,diu nos moratur ,& pene plus de additione et de subtractione refert. Quamobre via per nos supra tradita magis erit sequeta:quaecum sit certissima,tum longe caeteris est di breuior,& expeditior:nec Vlla assere subduceti mora, notas quoque primas relinquit semper intactas Vt si cui .ppter errore in subtrahedo admissum ire tedu esset opus, primus numerus ante ocu-Ios praesto illi maneat. Quod siquis inuestigare pergat quare quoties dece ab aliqua numeroru sede mutuamur,toties ad inferiorem sequetis loci numeru,qui deduci debeat,Vnum addamus:cum prima facie cuiuis videri possit, unitate illa ad superiore sequetis loci numem a quo fit subtractio, poli' addi debere: ne praecepta dare videamur,quom lectori non constet ratio,causam aperiemus cur ita fieri necesse sit. Nam omnis numerus Ultra primu locum vel numeros denarios colina,vel ex denariis collectos. Vnde cum in aliquo numeroru loco maior occurrit nota in ordine inferiori,quam quae ex minori superioris ordinis deduci possit:necesse est superiore ordine ab ulteriori aliqua numerom sede eum numeru mutuari qui
sumere possiti is aute erit denari' a a,rima ulteriori classe petitus: