장음표시 사용
41쪽
ro multiplicante,quam multiplicando eirculi sint admixti. id autem sit eiusmodi. Multiplicemus sexaginta millia quingenta tria, per quatuor millia &viginti. Post numeros scriptos lineamque subiecta, primu
tiplicante circulus. totide igitur 243222 os ocirculos sub linea rcponamus quot sunt notae numeri mu Itiplicadi. Deinde secunda nota multiplicantis in primam multiplicandiducatur inde sex enascentur . ea secudo loco subscribantur. Et quia secunda figura numeri multiplicantis circulus est,ex quo nihil g gni potestiis tertio loco subnotetur. Rursus secunda multiplicantis nota in tertiam,nempe quinque,ducatur: & fient decem. subiacitur igitur quarto loco circulus, Vnumque memoriae seruadum commendatur. Et quia quarta figura numeri multiplicandi circu- Ius est, & unum adhue memoria seruat: id sub linea quinto loco reponatur. Deinde seeunda ipsa multiplicantis nota in quintam multiplicandi nempe sex ducta duodecim proueniunt ea sexto &septimo loco statuantur. postea secunda ipsa multiplicantis nota
suo functa ossicio calamo transfigatur. Iterum tertio loco in numero multiplicante alter occurrit circulus. quamobrem totidemeirculi quot reperiuntur figurae numeri multiplicandi,a tertio loco incipientes,in laeuam promouentur. Quarta nota numeri multiplicantis quaternaria in primam multiplicandi ternariam ducta duodecim producit. duo quarto loco subscribuntur: Vnum mente reconditur.& quia secunda numeri multiplicandi figura circulus est unum illud mente retentum quinto loco deponitur. Rursus quarta multiplicantis nota in tertiam , Videlicet quinque, ducitur. prodeunt viginti. circulus itaque sexto loco subditur,duobus memoria repositis . Et quia in numero multiplicando alter itidem circulus est obvius: duo illa mente recodita septimo loco sublinea locatur. Demum quarta nota numeri multiplicatis in quin tam & postrema multiplicandi ducatur:&enascetur viginti quatuor .ea octauo loco & nono deponantur. Post absolutam multiplicatione sub omnibus ordinibus linea perducatur,sub qua Vniuersorum foetuu collecta summa cotinebit, Ducenties quadragies ter millena millia,ducenta viginti duo millia,& sexaginta.
Qii aeret fortasse quispia cur ita singuli numeri ex multiplicatione
42쪽
procreati semper ad laeua oblique promoueantur:& no potius directe sub numero multiplicado collocetur. Sed quisquis multipli.
rationis natura altius con*derabit, statim mirari desinet. Na eum multiplicatio toties numeru qui multiplicatur, sibi ipsi addat atque accumulet,quoties numerus qui eu multiplicat,continet unitatem: oportet omnino alium numerum maiorem inuestigari ad quem is qui multiplicatur, Vicem habeat Vnitatis. Et quonia unitas natura primu in numeris locum tenet, sequentes autem eam numeri in ulteriores sedes secundum sui augmentum truduntur quisquis numerus Unitatis vicem occupabit,is primam itidem sedem habeat necesse est, & quae ipsum sequuntur in ulteriores sedes promoueat. Cum itaque numerus multiplicans no solum in omnes multiplicandi notas ducatur, Veruetiam ei leges praescribat quoties ad inuestigatione numeri maioris , Unitatis vicem sit subiturus mecesse est omnino & tot maiorii numerorum procrea-
dos ordines poni, quot sunt notae numeri multiplicatis: & rursus illos ipsos ordines a singulis numeri multiplicantis notis quae re. praesentandis unitatibus legem dant, nouas subinde primas sedes accipere. Atque ita si primus locus qui dux caeteris est, ab ea sede incipiet ubi nota multiplicans sita est,sive secunda, siue tertia ,siue ulterior fuerit: omnes omnino loci, qui eius ductum sequuntur,
ulteriores erunt. Et cum maiores numeri ex notarum in se ductu semper quaerantur: statim ut sunt inuenti,in sinistram, quae maiorum numerorum sedes est, Dromoueri debent. Multiplicationem recte factam esse certa ratione probabimus,si numerus ex multiplicatione procreatus per numerum multiplicantem diuidatur,& sectio nobis numerum qui multiplicatus est, . instauret. Quod si alium numerum reddat, erratum esse necesse est. Hoe autem manifestius fiet, postquam numerorum partitionem explicuerimus.. DV PLIcATIO numerorum est eorum per duo multiplicatio. Fit autem quando nota binaria posita sub primo loco numeri multiplicandi,ducitur in omnes eius figuras eo modo quo an id dictu est. de qua,cum sit species multiplicationis atque ea quidem Ioge omniu facillima, nihil attinet separatim praecepta dare. sicut quidam fecerunt mon magis quam de triplicatione, quadruplicatione,reliquisque multiplicationis speciebus, quae sunt infinitae . De quibus adhuc nemo quicquam speciatim edidit. quan quam in multis enu,quod sint difficiliores, maior videri potuisset
43쪽
44 DR PARTITIONE ratio siquis id attigisset. Veru in his omnibus quomodo multiplicatio sit facienda: ,quae iam dicta sunt,abunde sumministrant.
A R T I T I O numeroru est numeri diuidendi per num p rum diuisorem sectio in quasvis partes: quarum quaelibet toties cotineat Vnitatem,quoties numerus diuidendus capit diuisorem. Numerus autem bivisor,vel minor diuidendo,uel ci aequalis esse debet. Porro maior numerus non diuidit minore: cum in minore maior no contineatur. Et ut manifestius sectionis natura explicemus, Numerorum partitio est partium quarum uis, quotaecunque fuerint, procreatio ex numeri diuidedi sectione per numeru diuisorem, partes illas quas quaerimus, denominantem. Quantitas autem illaru partium ita deprehenditur et si a numero, qui diuidendus est,diuisorem toties subtrahamus quoties fieri potest,diligenter obseruantes quoties id faciemus . nam quoties subia tractio repetita erit, toties numerus quem quata imus, natate conia tinebit. Ita nihil aliud est numeros partiri,quam per numeri diuisoris crebram ab eo qui diuiditur,subductionem, tertium numeru procreare: qui ex tot costet accumulatis UnitatIbus, quot repetitis iterationibus diuisor numerus a diuidedo subductus est. Partitionis enim ossicium est, nobis aperire quantum qua libet pars numeri diuidendi,quotacunque sit,in se cotinet,& quoties in numero diuidendo numerus diuisor includitur. QUEMADMODUM aute in multiplicatione praediximus non mediocriter coducere siquis memoria teneret quos numeros procrearent primari, numeri in se ducti: ita hoc loco admonendum putamus, numeros partituris supra quam dici potest, consene, si sine ulla mora dicere possint quibus ex numeris compositi sint, quasque in partes soluantur singuli numeri 1ub centum. Nam sicut primariorum inter se multiplicatio numeros malores creat, quorum tamen maximus centenarium no transcendit: sic e conuerso procreatorum ex primari,s numeroru partitio ipsos in partes, ex quibus constant,dissoluit: numessisque ostendit minores, ex quibus maiores sunt accumulati. Et quanuis susticere possit ad utrunque pernoscendu multiplicationis tabula supra a nobis descripta, siquis eam ordine retrogrado con*deret,& ab imis & maXimis numeris cotemplari incipiens ad 1ummos & minimos tendat: tamen quo magis rem subiiciamus oculis, quodque pro faci-
44쪽
Iiori partitione mente cocepimus, exprimamus, aliam partitionis tabulam non absimilem,ordine tantu numerorum conuerso,describemus.quae in summa parte,& ad sinistram numeros maiores, in ima & ad dextram minores cotineat. Ea fiet ad hunc modum, Ab ima parte ab Uno incipientes,naturalique numerorum serie in laeuam progredientes, singulos primarios usque ad decem modicis interuallis scribamus. item ab illo ipso uno ad dextram reposito,velut a quada basii capientes exordium, eandem numerorum seriem ad dece vique sursum Versus ascendendo, modicis & paribus interuallis diltinguamus: ut velut norma quandam rectu ha bentem angulum Vtraque scries referat. Deinde singulos ordines struentes illud observemus,ut a quo numero initium seriei alicuius sumemus, siue binarius, siue ternarius, siue Vlterior fuerit: eius incremento singulos eum sequentes numeros in sinistra promotos augeamus. Parallelae deinde lineae inter singulos ordines ductae ta a summo fastigio ad imu cadentes,quam transuersae a larua in dextra,singulos notatos numeros quadratis includant locellis.
45쪽
6 DE PARTITIONE ITA eo NTRA quam in multiplicationis tabula deleripiunt
est,summas & sinistras partes maiores numeri statim oculis occurrentes tenebunt. Quorum siquem per minorem partiri volemus. parallelas a maiori numero diuidendo, tam ad imum marginem, quam ad dextrum latus ducentes, oculis sequamur: ubi se nobis contuendos offerent numeri ex quibus costat minores. quorum alter diuisor erit,alter qui nobis indicet quoties a diuidendo diui Ior ipse subductus eum totum exhauriat. Uerum enimuero quisquis huius tabellae descriptae vim memoria recondita tenet, Vt nosolum quos numeros generent multiplicati primaris, dicere expedite possit:sed etiam in quos primarios generati ipsi soluantur id quod plurimum bidui exercitatione euiuis licet assequi is sine vNla mora, numeros quantunuis magnos in partes quascunque Velit facile partietur. Idque ita esse argumeto est,quod qui alioqui indiuidendis numeris haerent, proposita multiplicationis tabella sese confestim explicant. quam si ordine retrogrado mente reposita haberent,nihilo facilior illis esset multiplicatio quam partitio. M O D v s autem expeditus quoscuque partiendi numeros eiusmodi est,ut primum numerus diuidedus a dextro latere scribatur.& ab eius sinistra numerus diuisor. inter quos linea cadens media ponatur. Deinde sub numero diuidedo duae lineae parallelae modico interual Io inter se distantes a laeua in dextra ducantur. sub quibus iterum diuisor numerus sie subnotetur,ut ultima nota diuiscitis ad sinistram sub ultima diuidedi,& penultima sub penultima.& sic deinceps locetur. Atque id quidem ita fiet,si totus numerus diuisor a diuidendi notis supra se repositis subduci potest. CAETER v M si maior fuerit diuisor, quam diuidendi numeri notae supra se locatae,ut ab his non possit totus subtrahi: tunc porstrema diuisoris figura sub penultima diuidendi ponatur. 13 1 c quidem numerus parallelis subiectus, diuisor ambulans non abs re dici potest: quod ad sinistram semper incipiens, post quam a diuidendo numero subductus est,figuris suis deletis pro
grediatur ad dextram . ille veru ad laeuam lineae cadentis poss-tus , diuisor stans non immerito vocatur , quod manens nos admoneat quis numerus sit diuisor . Inter parallelas vero numerusis ponatur medius, qui nobis indieat quoties in diuidendo numero diuisor continetur,ut ab illo toties huius fiat subductio. vulgus hunc numerum quotientem barbare vocat participium effingens ab adverbio. is nobis videtur apte appellari posse numerus
46쪽
partitionis,aut si mauis, numerus sectionis, quod ex maioris numeri sectione generetur. Ex v T a facillimis primum incipiamus: Si quem numerum in decem partes diuidere volemus,primam a dextra parte notam,per lineam cadentern mediam separemus a caeteris :& peracta est partitio. si in centum:duas primas seiungamus notas. si in mille: seponamus tres. si in decem millia:quatuor distinguamus. Et ut in uniuersum praecipiamus, Quandocunque maiores numeros partiri volumus, per minorem numeru unitatis nota & uno circulo aut pluribus scriptum , quem aliqua numerorum sedes significat, totidem a dextra per lineam cadentem notas separemus, quot Io- cum illum praecedunt. & absoluetur partitio. Notae autem a caeteris separatae reliquum indicabunt quod ex diuisione superesti &supra diuisorem stantem linea interposita notentur. is locus est eius reliqui,quod post partitionem peractam remanebit. Id ita esse palam est. nam si una nota ad dextram apposita sequentem numerum ultra id quod ipsa significat,augebit in decuplum, duae addine eodem modo in centuplum, tres in millecuplum , & sic deinceps illae ipsae sublatae datum incrementum omnino tollent. si v ΕRo diuisor numerus per quem partiri velis,Vnicam notam habet, is sub ultima diuidendi numeri figura, siue ipsi diuidendo aequalis, siue eo minor fuerit,ponatur. Et si diuisor ipse diuidendo numero aequalis erit:quia tantu semel ab eo subduci potest unitatis nota sub diuidedo inter parallelas inseratur. Staturique tam diuisor sub lineis , quam prima diuidendi figura calamo ranssigaturi & diuisor in dextra ambulans sub penultima diuidedi nota item reponatur. Quod si diuidendo numero minor erit diuisor, syderandu erit quoties diuidendus eum cotineat, an semel an bis,an saepius,numerusque id indicans inter lineas parallelas sub diuidendo ponatur. si semel, Vnitatis nota reponenda. si bis: nota binarii. si ter,ternarii.& sic deinceps. Tum per illum nu- metu inter parallelas repositu diuisor multiplicandus est, nume- . rusque ex multiplicatione proueniens sub parallelis infra diui
rem prius tame,ne rationes c5turbet,deletu ponatur. ssque numerus a diuidedo supra parallelas locato subducat. & siquid reliquuerit supra diuidedi figuras,a quibus fit subtractio,prius deletas ne
ratione coturbent,scribatur. Quo facto,deleatur etia numer' subductus sub parallelis reposit': & diuisor in dςxtra progredies iteri
47쪽
43 DE PARTITIONE 'ium sub penultima diuidendi figura locetur. Ubi animaduertendum erit,quoties penultima diuidendi cum toto reliquo supra vltimam diuidendi posito si quod fuerit contineat diuisorem. Ipsum autem reliquum ad respectum penultimae diuidendi,& quoties in progressu occurret,ad sequentium respectum,denarium uis rum numerum quem nota ipsum exprimens denominat, semper significabit:ut si unitatis nota in reliquo sit deccm exprimat: si binaris,uigintusi ternarii, triginta: & sic deinceps. Numerus vero ipse indicans,quoties penultima diuidendi cum reliquo capit diuisorem, inter parallelas est reponendus. Illud tamen perpetuo est obseruandum,Quandocunque diuisor in diuidendo saepius quam
novies continetur,nouem inter lineas tantum sunt reponenda.
Per numerum autem ipsum inter parallelas positum multiplicadus est diuisor:& numerus e eo prouentes,si una nota scribi pos sit sub diuisore prius deleto,ne rationes conturbet,reponatur. siti numerus ille prouemens ex denario & primatio sit copositus,vi duabus notis signari debeat . primarius semper sub diuisore ponatur: dc nain. s autum ab eius sinistra sub reliquo diuidendi,
si quod fuerit, aut sub alia ipsius diuidendi figura supra se posita
statuatur . numerusque is ab ipsis diuidendi figuris supra se positis subducatur: postea deicantur notae,iam quae subductae iunt quam a quibus fit deductio.& siquid ex hac subductione iterum erit reis liquum, supra penultimam diuidendi notetur. DEINDE diuisor in dextram obambulatis sub nota proxima penultimae diuidendi rursus collocetur i & itidem per omnia fiat quemadmodum in penultima . Atque ad hunc modum diuisor promoueri debet, donec ad primam diuidendi figuram ventum erit iubi siquid ex deductione reliquum supererit, id supra diuisorem stantem linea interposita notetur. qui locus est eius reliqui quod post diuisionem peractam remanet. quod certe semper minus erit quam diuisor, nisi in partitione fuerit erratum. Quotiescunque aute post priorem subductionem inter partien. dum cotinget diuisore maiorem esse notis diuidedi supra se loca tis vi ab his subduci no possit,toties inter lineas circulus ponatur.& per unum locum progrediatur diuisor,notaeque illae diuidendi,u quibus fieri subductio non potuit: ad respectum illius, sub qua
diuisor locatus est,uel denorum,si in secundo ab ea Ioco,vel cen tenoru,si in tertio posita fuerint: in sequenti diuisoris lubtracti
48쪽
ne semper habebutur. Et Vt magis ea quae diximus aperiam' exd-plo,diuidamus septem millia omn- L i i
genta viginti quinque per sex. Scri- 6l l g
ptis primu diuidendo & diuisore in i 3 o a parallelis mediis,eo modo quo dixi- 6 6 6 smus: sic partitur' sicu cogitet, Sex in i s septem semel tantum reperio. Vnitatis igitur nota inter parallelas repono.& quia illa Vnitas, sex non multiplicat ipsa sex subduco a septem: superest Vnu reliquum. id supra septem calamo transfixa statuo. deleoque sex diuisore: & sub penultima diuidedi iterum ea pono. Ibi occurrui in reliquo & penultima diuidedi,dece & octo. ΩΨ in his ter habentur. igitur tria inter parallelas depono: per quae multiplico sex, & fiunt dece & octo. decem sub reliquo, octo sub diuisore prius deleto statuo. deinde octo ab octo subduco,& nihil
superest. unitatis autem nota decem repracsentantcm subtraho ab
uno supra se posito reliquum signante. Iterii promoueo diuisore,& sub proxima penultimae eum colloco. ibi quia diuisor maior est diuidendo,cireuiu inter lineas insero dei coque diuisorem, ac rursus sub prima diuidedi figura eum repono. Illie in diuidendo,Vigintiquinque deprehendo. quoru Viginti ideo manent,quia diuisor proxime,cum circulus lineis est insertus,ab his subduci n5 m. tuit. in quibus,quia quater sex habentur,quatuor inter lineas scribo:per quae multiplico sex,& fiunt viginti quatuor. Itaque sub diuisore deleto,quatuor subnoto:& sub proxima diuidendi sequente pono nota binaris,quae Viginti significat. tunc quatuor a quinque in diuidedo numero supra se repositis deduco : & vnu superest. duoque a duobus demo. postea transuo calamo tam subductos numeros,quam a quibus subducti sunt Unumque quod post
diuisionem peractam manet reliquum , supra diuisorem stantcm linea interposita colloco. Ita numerus indicans, quotlcs facta sit subductio, surgit inter lineas, Mille trecenta quatuor. PRAE TERE A si diuisor numerus unicam notam significat eum uno circulo aut pluribus habeat, totidem diuidendi numeri figuras linea cadente interserta separcmus a dextra,quot circuli in diuisore nota significantem praecedunt. Deinde per illam significantem notam solam amotis cuculis, diuidcndu numem eo modo partiamur, quo cu unica nota fieri debere diximus: praeterquaquod partitio, cu ad separatas per linea figuras ventum erit,ccsabit.& siquid reliquum superest ex ea diuisoris subductione,quae a
49쪽
figura diuidendi proxime separatas praecedente facta est , id una
eum ipsis figuris separatis totius partitionis reliquum erit. Atque ideo supra diuisorem stantem, linea interposita,notetur. vo D SI diuisor numerus duas aut plures habeat significates notas, Vnumque aut plures in fine circulost totidem in diuidendo numero similiter a dextra separandae sunt figurae, quot eirculi in diuisore figuras ipsas antecedunt: & per illas significantes notas solas amotis circulis, diuidendum numerum eo modo partiri oportet, quo cum pluribus notis fieri debere mox praecipiemus.'cessetque partitio quando ad separatas figuras veniemus: quas,uti iam dictum est,ascribemus in reliquum. v A N D o autem diuisor duas aut plures significantes notas
habet: sub diuidendo numero ductis parallelis ita singulae scribantur, ut ultima diuisoris sub ultima diuidendi, penultima sub Penultima,& sie deinceps,omnino reponantur . nisi totus diuisor numerus maior esset totidem diuidendi figuris supra se Ioeatis, ut ab his subduci non posset. nam tune diuisoris vltima sub penulistima diuidendi,& penultima sub antepenultima, in initio statui deberet, sicuti anter dictum est. Quo peracto, con*derandum est Virum quoties ultima diuisoris in ultima diuidendi supra se posita reperitur , toties diuisoris penultima in diuidendi penultima,& reliquo ultimae, siquod post diuisoris subtractionem supererit,& antepenultima diuisoris in antepenultima diuidendi,& re liquo, siquod erit, & sic per exteras diuisori3 notas reperiri possit.& si id possit fieri, numerus indicans quoties diuisor continetur.
inter parallelas ponatur: & per eum singulae diuisetis notae multiplicetur,suo quaeque ordinemvmersque ex multiplicatione prouenientes sub ipsis multiplicatis diuisoris notis sic ponantur,ut si figuris pluribus scribendi erunt, prima earum sub nota multiplicata , reliquae post eam suo ordine locentur. singulique numeri a
50쪽
figuria diuidendi supra se positjs, & a reliquo,si quod eri subdua
eantur: deletis tam diuisoris quam diuidendi notis, eo modo quo
anter dictum est eum de diuisore uni- eam notam habente praeciperetur.
Aet set penultima & antepenultima & quaevis alia diuisori,
nota toties non reperiatur in diuidendi figuris supra se loeati, &reliquo earundem,si quod erit, quoties ultima diuisoris in ultima diuidendi continetur: tunc quia toties illae a supra se repositi, subduci non possunt, quoties haec ab ultima diuidendi subduca mus vltima diuisoris ab ultima diuidedi semel minus,quam alioqui subtrahi posset. & cons eremus an reliquum quod ex vitima diuidedi figura supererit, penultimae, antepenultimae & eaeteris eiusdem figuris tantum subministret quantum ad subductionem reliquarum diuisoris notarum ferendam satis erit. Quod si
post id factum singulae diuisoris notae a diuidendi figuris supra sepositis & a reliquo eiusdem adhuc subduci nequeunt: ulti lanam diuisoris bis minus, quam alioqui subduci posset ab vItima diuidendi subtrahamus: & iterum eonsyderemus an reliquum quod supererit, tantundem penultimae & caeteris diuidendi figuris suppeditabit, quantum subductionem diuisoris ferre possit. et v d D si neque bis minus subdurere lassiciati tentemus an terminus satis esse possit. Si ne id quide procedit: experiamur an quater minus deducendo proficere possimus. Atque ita rariore vitimae diuisoris subductionem subinde tentemus i donee reliquum
quod in ultima diuidendi per hoe augebitur, exteris eiusde lauaris tantu sumministret,quantum ad iustam subtractione exteram diuisoris notam ferendam sufficere possit. Ad id autem inuestiga dum partitionis tabella qua supra descripsimus inspecta plurimsi rudes iuvabit: ut quoties ipsam rariorem subductionem in ultima diuidendi eosyderant,semper interiores ab ea & dexteriores paral-Ielas duces,quadrangularem forma minorem contrahentes, inspiciant. quarum extremi in marginibus locelli facile indicabunt, quis numerus sit sumendus,qusdque futurum reliquum. C v M vero consederando deprehenderimus quoties ultimae diuisoris subductio fieri debeat,ut exterae eiusdem notae a supra positis similiter subtrahi possint numera id indicantem inter parallelas supra ultima diutoris notam apponamus. & per illii numerum qualibet diuisoris notam multiplicemus: prquenientemque d. ii.