장음표시 사용
51쪽
ex singulis multiplicationibus numerum sub ipsis multiplicatis diuisoris figuris sic ponamus , ut si notis pluribus scribendus erit, primam earum scmper sub multiplicata figura , reliquas post
eam suo ordine collocemus: easque a figuris diuidendi supra 1e locatis,& a reliquo,quando occurret,subtrahamus et delentes semper
prius ipsas diuidendi figuras a quibus fit deductio. & quod ex singulis subtractionibus reliquum lupererit, supra ipsas diuidendi
figuras in quibus repertum est, prius deletas scribamus eo modo quo ante diximus de Unica praecipientes nota. Quandocunque autem in quovis reliquo aliqua nota retro manet nondum per subtractioncm exhavita , praecedenique eam diuidendi figura, ex qua post subductionem nihil reliquum manlii, Integre deletur: supra ponatur circulus, Ut retro adhuc restantis reliqui nos admoncat,simulque eius augeat significationem. U O D cum peractum crit,singulae diuisoris notae deletis prioribus, per num locum promoueantur in dextram: & vltima diuisoris sub pcnultima diuidendite; usque penultima sub diuidendi antcpcnultima, & sic deinceps locetur. Iterumque de diuisoris notis ivladucendis eOdcm modo con*derandum ellaeodem modo facicndum Hucmadmodum iam dictum est. Rursusque subdu.ctione peracta, per unum locum promouendus est diuisor, atque eadem ob avanda sunt, donec prima diuuoris nota iub primam diuidendi venerit .vbi finietur opuS.
a x A Q. v E si post subductionem quicquam remanserit quod minus sit quam diuisor : quia partitio finita csti supra diuisorem stantem linea interposita notctur, ut inde nobis appareat quota pars diuisoris sub linea subiecti sit iplum reliquum iupra positu.
SI VERO reliquum ipsum maius sit quam diuisor et quoniam error inter partie dum certum est interuenisse: opus totum de nuo repetendum est.
PRAETEREA quotiescunque post unam omnium diuisoris notarum subductionem usque ad hnem operis diuisor ipse diu dendi notis supra se locatis maior reperituI,ut ab his no possit tintus subduci: toties circulus inter parallelas est reponendus.& singulae diuisolis notae nulla facta subductione per unum locu transferendae si ni in dextra. Relictae autem illae diuidedi figurae in proxima sequeti diuisoris subductione debent exhauriri. Atque ideo si post consummata subtractionem in numero diuidendo cucu tus ad dextiam superest: is inter parallelas a dextra collocetur.
52쪽
i i x v D quoque etiam in hac partitione quae per pIures fit diauisoris notas perpetuo seruandum est, Vt si aliqua diuisori; nota sepius quam novies in diuidendi figuris supra se reperiatur, nouem tantum inter lineas sint reponenda. quemadmodum in dis uisione per unicam diuisoris notam facienda supra dictum est. ET Q. v ONIAM auspicantibus praecepta sine exemplis obstacra videri solent,exemplis illustremus ea quae iam dicta sunt. DIVIDA Mus bis millena millia noningenta quindecim millia,quadringenta decem, per quadraginta septem . Scriptp statim numero diuidendo supra parallelas, sub parallelis diutiorem statuamus.& quia sub ultima diuidendi nota binaria,vltima diuisoris nota quaternaria poni non poterit,quod haee illa sit maiora sub penultima diuidedi quae nouem cotinet,quatuor reponamus, dc a dextra septem. Deinde partiturus eiusmodi quae sequuntur,secum
tacitus mussitet, Quatuor in figuris diuidendi supra positis quae
viginti nouem denotant,septies reperio. septies enim quatuor, viginti octo creant, & adhue unum superest. verum si septies sumpsero quatuor,& Vnum reliquum fecero alteram diuisoris notami tenariam per septem multiplicatam in figura diuidendi supra se posita,& reliquo quae Undecim continent, toties non reperiam. sumo igitur sexies quatuor ex viginti noue,& quinque facio reliqua: Vt utraque diuisoris nota toties in supra se locatis reperiatur: reponoque sex inter lineas. & per ea multiplico quatuor,sic fiunt viginti quatuor. igitur sub multiplicata figura quaternaria prius deleta repono quatuor,& binaris nota quae viginti significat, post eam sub ultima diuidendi colloco. Deinde quatuor a nouem supra positis demo: quinque autem reliqua supra nouem noto: duoque etiam a duobus subduco, & utrasque notas transfigo . Iterum multiplico sex inter lineas posita,per septe alteram diuidendi notam: dc procreo quadraginta duo,quom duo sub multiplicata figura septenaria repono: quaternarisque figura quae quadraginta significat, post ea a sinistra, prius septe deletis, statuo. Deinde quia' i
53쪽
μ DR PARTITIONE duo ab uno demere n5 possum,assumo deee mutuo:& duo ab undecim tollo,supersunt noue reliqua: quae supra verticem signo.&quoniam decem mutuo sumpsi, sequentem notam quaternariam uno augeo. sic quinque illa iam facta a quinque supra se repositis subtraho,delcbque utrasque notas. Atque ita post primam subductionem totius diuisoris per numera partitionis multiplicati, V- tranque diuisoris ipsius nota per Vnum locu in dextram promoueo. Ibi diuisoris notam quaternaria in nouem reliquis bis reperio, & tamen unu supererit: quod cum quinaria diuidendi figura supra septe locata satis erit ad septem bis subtrahenda. duo igitur inter lineas depono. per ea multiplico quatuor, posteriorem diuisoris nota: & fiunt octo. ea subducuntur a noue. Vnum superest: quod supra nonariam diuidendi figuram prius deletam notatur, deleta simul etiam nota diuisoris quaternaria. Rursus septe mul tiplico per duo: fiunt quatuordecim horu notam quaternaria submultiplicata figura septenaria,unitatis aute notam, quae dece indicat, post eam sub uno reliquo statuo. deinde quatuor a quinque,& unu ab uno reliquo supra se reposito aufero: atque utrisque notis deletis,unu ex quinque relictum supra verticem noto. Rursusque post totius diuisoris multiplicati subductione utranque eius notam per unu locu in dextra promoueo. Vbi supra quatuor,Vni ratis notam in diuidendo numero relictam:supra septem,quatuor reperio. & quia quadraginta septem in quatuordecim haberi nequeunt, nee vlla potest fieri subductio:circulo inter lineas inserto, Per unum locum rursus diuisorem ad dextram trassero. ibi supra quaternariam diuisoris notam in diuidendo numcro quatuor, &ex priore reliquo unum quod decem denotat,comperio. sic in quatuordecim ter quatuor habentur, & duo erunt reliqua pro altera diuisoris nota subducenda. tria itaque inter lineas depono, & per ea multiplico quatuor: fiunt duodccim. horti notam binariam sub figura quaternaria multiplicata, Unitatem autem decem denotan tem sub reliquo subsigno. statimque ea subduco a quatuordecim deletis: & duo supersunt. multiplico deinde septem per tria: unde creantur viginti unum. horum unitatis notam sub figura septenaria multiplicata, notam autem binarii a sinistra sub reliquo pono iatque ea subtraho u supra positis diuidedi figuris,uidelicci ab unitatis nota & duobus reliquis. sic nihil omnino superest. atque ita .utraeque diuisoris & diuidendi notae delcntur. Vcruntamen quanquam omnes numeri diuidendi significantes notae per subtractio.
54쪽
tiem sui exsaustae: tame quia in eo superest adhuc Areulus,& paralitio plene peracta no est, propterea quod nodum prima diuisori, nota sub prima diuidendi successerit: circulus ipse inter lineas ad dextram recondatur. Ita numerus partitionis inter lineas compsrietur,Sexaginta duo millia.& triginta. 1 ψ 1
6Sv v v M explicauimus pro rudibus exemplum c ubi duabus notis scriptus erat diuisor. alterum aggrediamur,in quo tres notas,pOstremamque haru minimam, reliquas anteriores maiores habeat cuiusmodi exempla dissicilius explicantur, quam si postrema di uisoris nota maior anterioribus esset. Diuidamus itaque novies millena millia,septingenta quadraginta millia,quingenta sexaginta tria , per trecenta octoginta novem. Et quum notas diuidendi& diuisoris scripserimus,duxerimusque parallelas: sub his diuis rem ita statuamus, ut ultima eius nota sit sub ultima diuidendi, penultima sub penultima,antepenultima sub antepenultima. Deinde consederemus quoties ternariam notam ultimam diuisoris a nonaria diuidendi ultima possimus subducere t ut pro caeteris di uisoris notis,quae maiores sunt,subtrahendis,satis supersit. R bis id fieri posse deprehendemus. duo igitur inter parallelas poni 'mus. per quae tria multiplicamus: fiunt sex. ea subducimus a nouem. tria manent reliqua. ea supra postremam diuidendi deletam notamus, simul deleta etiam diuisoris postrema. Iterum per duo multiplicemus mediam diuisoris octonariam notam:surgunt sexdecim. sex sub octo deletis, reponimus, unitatssque notam post octo sub postrema diuisoris . deinde & sex a septem demimus, xv num reliquum supra scribimus . unitatis autem notam a tribus,. quae ex priore reliquo supersunt,extrahimus,& duo relicta signa mus supra Verticem .delenturque figurae,iam quae subductae sunt, quam a quibus fit subductio. Rursus tertiam diuisoris notam non d. iiij.
55쪽
ό D E PARTITIONE nariam per duo multiplicemus , & fiunt decem & octo. quorum octo sub nonaria deleta reponimus :Vnitatis notam pro dece pro. ximo sequenti loco. Et quia octo a quatuor supra positis subducere no possumus,decem mutuo sumptis, octo a quatuordecim subducimus. ita deletis notis,sex relicta signantur supra verticem. pro illis autem decem assumptis unum addimus ad sequentem unitatis nota quae est sub diuisore: & duo illa, quia ab uno supra se reposito auferre non licet,decem mutuantes ab undecim tollimus. rursusque deletis notis, nouem relicta signamus supra verticem. Et quoniam decem iterum sumpsimus: iterum sequenti loco unua duobus supra signatis demimus: Unumque quod superest notamus,deleta nota binaria. Et quoniam semel omnes diuisoris notasu supra positis multiplicatas abstulimus. eas per unum locum singulas in dextram promovemus. Ibi iterum consederamus,quoties
tria a decem & nouem supra positis extrahi possunt. ut tamen satis ad caeterarum diuisoris notarii subductionem supersiti id quinquies fieri posse coperimus . quinque igitur inter lineas supra tria reconduntur. per ea,tria multiplicantur,& fiunt quindecim. quorum quinque sub multiplicata figura ternaria reponuntur:& vnitatis nota pro decem loco sequenti. deinde quinque subducuntura nouem supra se positis: & quatuor reliqua supra stribuntur. vnitatis autem nota ab uno reliquo tollitur. delenturque figurae. Multiplieatur deinde se da octonaria diuisoris nota per quinque. inde surgunt quadraginta. circulus itaque sub octo locatur. & quaternaria nota quae quadraginta significat,post eum. ea subtrahitura quatuor supra positis :& utraque nota traffigitur obelisco. postea multiplicatur tertia nonaria diuisoris nota per quinque: & erescunt quadraginta quinque. quorum quinque sub noue collocantur: & loco sequeti quatuor pro quadraginta.sic quinque,quia ei culus supra se notatur,a dece mutuo sumptis ause tur, & quinque manent:quae supra circulum deletum annotantur. Et quoniadecem sunt assumpta, Vnu ad sequentem quaternaria notam additur,atque ita quinque a sex supra se locatis deducutur. deIetssque figuris, unu quod relictu est signatur supra vertice. Sie omnes diuisoris notae per quinq; multiplicatae,& a supra positis subductie
per unu locu singulae transferutur in dextra.Et quia diuisoris notae in diuidendi figuris supra se positis haberi nequeunt, circulus inter lineas inseritur. rursus per unu locu singulae diuisoris notae in dextra procedui. Ibi cosyderamus quoties diuisoris vltima ter
56쪽
naria adiuidendi notis supra se locatis quae designant quindecim, tolli queat. & quanuis quinquies id fieri possit, semel tame minus
subducimus:ut sequentium diuisoris notaru habeatur ratio, quatuorque inter parallelas locamus. per ea multiplicamus tria, & fiunt duodecim. quorum nota binaria sub tribus multiplicatis locatur:& unitatis nota pro decem in sede sequenti. Deinde duo sub ducuntur a quinque , & tria reliqua manent. ea supra scribuntur. unitatis autem nota tollitur ab Uno supra Verticem posito: stat sin. que deletur notae,ia quae subductae sunt,quam a quibus fit sub duactio. Multiplicatur deinde octonaria diuisoris nota per quatuor& orititur triginta duo. hora duo sub octo recodutur: ternaria nota loco sequenti. Deinde dito illa demuntur a quinque: tria vero quae ex his supersunt, in vertice notantur. ternaria autem diuisoris nota a tribus quae supra notantur,aufertur: delenturque utraeque notae. Postea tertia diuisoris nota nonaria per quatuor multiplicatur: inde surgunt triginta sex. hom sex sub noue multiplicatis ternaria nota loco sequenti subnotatur. ea a supra se repositis auferu-tur: nempe sex a sex,& ternaria nota a tribus. Deinde per unum locum in dextram singulae diuisoris notae rursus procedunt. Et quia
prima diuisoris nota sub prima diuidendi successit,nihsique in diuidendo numero praeter tria superest unde fiat subductio i atque eapropter diuisor in diuidedo non reperitur: circulus inter lineas ad dextram reponitur . tria aute illa quae partitione finita supersunt supra diuisore stantem,linea interposita notantur. Ita partitionis numerus inter lineas surgit,Viginti quinque millia & quadraginta,atque in reliquo tres trecetesimae octogesimae nonae parates. Hactenus exempla exposuisse sufficiat, in quibus diuisor plures habet notas. per hare enim intellecta facile sese quiuis explieare potest, etia si diuisor quatuor,aut quinque,pluresve habeat notas. cuiusmodi exemptu mete cosyderandii sub oculis subiecimus
57쪽
s DE PARTITIONE IN OMNI autem sectione quotiescunque intre partiendu post subductioncm facta diuisor in dextra promouedus est: si reliquis, quod in diuidendi notis supra diuisoris vertice signatis,ex ea suta
ductione superest,maius reperitur quam totus diuisor r error omanino admissus est.& frustra Vlterius in ea partitione progredien-lendum esset,nisi quis operam perdere mallet. Quamobrem iteru a capite repetendu est opus. Nam non solum post peracta tota partitione reliquu quod superest toto diuisore minus erit si recte processit opus tu cru etiam in medio opere,quandocunque in dextram promouedus est diuisor,ide euenire debet. Quae res,si bene animaduersa fuerit, non mediocre compendium, cum in omni partitione tum praecipue in immensis summis diuidendis asseret.
x L L v D obseruare est operaeprecium . Maior numerus minorem non diuidit,quippe quum in minore maior no contineatura
id quod huius capitis initio admonuimus. Caeterum ratio iniri potest qua maior numerus etia minore diuidere recte possit. id quod fiet, si de rebus a minore numero numeratis , prius una in species sub se colentas ducatur: ut earu productus numerus diuisore maior factus, eius sectione serat. Veluti si inter septe viros tres aure los partiri volumus , Quandoquide in numero ternario numerus septenarius no habetur , soluamus aurcu unum in centum num iam os sestertios,quibus aestimatur. centenariumque numeru per ternarium multiplicemus.& enascentur treceta. quae deinde si in septe partiamur: numerus sectionis prodibit quadraginta duo,& sex septimae. Itaque si inter septem viros tres aureos,centum nummis singulos aestimatos, distribuamus:unusquisque consequetur qua
draginta duo, nummos,& praeterea unius nummi sex septimas. AD HAEc maior numerus minorem frangere in minutias potest. id quod sequenti libro de minutiarum partitione praecipien
QUIS VIS experiri cupit an numeros recte diuiseriti nil merum partitionis per diuisorem multiplicet.& si ex ea multipli' catione atque ex reliquo,siquod superest,numerus diuidedus exibit: nihil errauit sectio. Caeterv si alius ex ea multiplicatione numerus, quam diuidendus redibit: propter admissum in calculo errorem partitio tota dinuo repetenda est. idque ita esse Ierum natura monstrat. Nam quemadmodum si partes quae ab aliquo toto demptae sunt iteru componantur, idem totu redeat necesse est rita si ex partium earundem instaurata compositione aliud totum
58쪽
prodeat quam anes fuerit vel partes alienas per errorem esse sumptas,vel easdem male item coniunctas esse oportet. Cum itaque ex
numero diuiso per crebram diuisoris subductione exhausto, peram diuisione nihil aliud supersit quam partitionis numerus.&reliquum si quod fuerit: si numcrus ipse diuisor ad numerum partitionis restantem toties iterum addatur quoties anter subductuqest id quod facile fit,si numerum partitionis per diuisorem multiplicemus,adiungamusque reliquum, si quod remanebita numera ante dissectum denuo instaurari necesse est, quia & omne totu custis partibus consentit,& pars quae dissentit,aliena est a toto. DIMi DIATIO numerorum nihil aliud est, quam eorum per duo sectio quae certe & prima, & longe omnium facillima est species partitionis. Et quan uis non magni reserat nulla de ea praecepta separatim dare, cum ea quae iam dicta sunt,abunde sussiciant
quia tamen minore tum linearum apparatu , tum consederatione species haec partitionis eget quam caeterae:quae,cum sint innumerabiles,tum omnes hac dissiciliores:oper pretium esse putauimus fatilitatis eius compendium auspicantibus enarrare. Neque
enim duabus parallelis est opus. Unica tantum linea sub diuidEdonumero ducatur. Deinde numerum quentiis per medium sectu. rus quispiam a sinistra incipiens per omnes notas in dextram tendat. & si vitimus diuidendi numeri charamr nota sit unitatis,a penultimo sectione ordiatur:singulorumque locorii paribus numeris per mediu sectis,ipsum dimidiu sub linea locis singulis subiiciat. Sin impar occurrit numerus,Vnitate depta,reIiquum numerii
per medium secet: dimidiumque sub linea reponat. unitas autem ipsa pro dece computata,memoriaque recondita ad sequentem sectione seruetur: ut vel denariu numerum creet,si circulus ad dextram proximus estruel ex denario & primario compositum , si alia occurrit nota. Isque numerus, si par est, per medium secetur. si impar Unitate rursus d pta,atque ad sequentem sectionem cuti iam dictum est seruata , relictus numerus per medium diuidatur. Si vero in diuidendo numero priusquam ad primam notam ventum erit, unitas occurret. si nihil superest mcmoria retetum quod es adiugatur: sub linea ponatur circulus:vnitasque ipsa ad sequentem sectionem seruetur. semper autem dimidium sub linea recondatur. Ita progrediendum est in dextram, usque ad primam nota: quae si cireulus fuerit, & proximus ei numerus par repertus est: sub linca ponatur. Sin proximus ei numerus impar cosatus est,
59쪽
ό DE PARTI Tio NE R duo dempta Vnitas mente retenta manet: cireulus ipse eum unitate iunctus decem denotabit: ὶuorum quinque quae sunt dimidium, sub linea reponentur. Sin Vnitatis fuerit nota s demarius in '': eae memoria ei adiungitur,nitate dempta,decori sunt secanda Si quinaue sub linea recondenda ipsa autem Unitatis nota pro totius sectionis reliquo,supra diuisorem stantem linea interposi- notetur di sie scripta nius integri Partem denotabit secundam, quae dimidium capit. Itidem in reliqui locum transferetur unitas, etiam si nullus denarius numerus memoria retentus superest qui cum ea iungatur. Numerus autem partitionis sub linea diuidendo numero subiecta surgens apparebit. Uxe quanuis propter facilitatem emplo nihil egeant, unum in men pro rudibus adiungendum esse duximus.
INVEsTI GEMus itaque dimidium in millenis millibus, centum quadraginta & unis millibus,atque triginta Vno . Scripto suis notis numero dumque sub eo linea, quia Vmtas minitio asinistra occurrit, incipimus a penultima, bi etiam altera unitas est. Itaque quoniam ibi undecim habentur,vmtate pro denario adsequentem sectionem seruata , decem relicta per medium secamus,& quinque sub linea reponimus . Progredimur deinde ad p imum locum:vbi quatuor reperimus quibus denariu memoria depromimus,ut fiant quatuordecinti horum dsub linea locamus . Rursusque progredimur . Ibi occurrit Vmtas quae secari non potest: ideo sub linea cuculus ponaturi & Vnitas seruetur in sequentem locum. In quo quia cuculus O , unitas adiuncta decem faciunt,quinque sub linea
nuo progredimur. ibi tria occurrunt. quorum
est impar, dempto,duo minus:& horum
dimus. denario numero mente In ImuC L Rursus ad dextram progredimur ad primam Vnitatis notam e cui decem ex memoria adiuncta creant undecim. Vnitate itaque d-
pta,decem per medium secamus, & horum quinque sab linea reponimus. unitatem autem illam supra diuisorem stantem lineam. terposita signamus, ut unius integri partem secundam signilicet. Ita partitionis numerus sub linea manebit,Quingenta septuagin ta millia,quingenta quindecim.
60쪽
DE PROGREsa IONE ROGREss Io arithmetica est numerorum inter se ἡ- P qualiter distantium in unam iummam collectio,& veluti compendium quoddam eos numeros numerandi qui paribus interuallis distant. Eius autem duae sunt species: Altera est in qua naturali numerorum serie seruata,numerus quilibet seques sola unitate praecedentem superat,sicuti In hoc exemplo, i. 2.3. q. s6. 7 8.'. Alicra in qua numeros quonibet omittentes, & paria seristiantes interualla,longam numerorum seriem connectimus. veluti,I. .s.7.9.al. I . in Utraque autem specie idem est pcr compendium numeros colligendi modus. Is autem hac bimembri constat regula . Si numelorum inter se aequaliter distantium , atque ordine continuo dispositorum series par occurret: eorum primus numerus iungatur cum postremomumerusque ex eis aggregatus per dimidium numeri loca seriei numerantis multiplicetur. Ita fiet,ut numerus ex hoc productus lummam omnium commonstret .veluti in hoc exemplo,i. a. .4. S. 6. . 8.primus numerus 1,ad postremu8 addatur,& fient 9. Cumque in tota serie sint octo loca,ducamus y in eorum dimidium, di prodibunt 36,quae omniu est summa. bimiliter si excmpli causa pioponantur, . . . .'. u.primus numerus ad postremu addatur, & fient u.& cum in tota serie sint sex loca,ducamus Ia in eorum dimidium,nempe 3. sic surgent 36, quae summa est uniuersorum. Quod si numerorum a se aequaliter distatium atque ordine continuo dispositorum series erit impar, tunc numerus indicans quot loca sunt in serie, non in eum numerum
ducatur qui indicat quotus locus est in serie medius , sed in eum
numerii qui in serie medius reperitur , atque ab Utroque extremo aequaliter distat. Ita numerus procreatus omnium summa patefaciet. sicuti in hoc exeplo, .2.3.q. s. 6. 7.quia loca seriei sunt septem,& medius numerus est 4:7.m 4 ducamus,& fient 28. quae summa est uniuersoru . Itidem si exempli causa sumantur, .q. . Io. I . quia
loca seriei sunt quinque: & medius numerus est γ:s in 7 ducamus& fient M. quae summa est Omnium. Alia regula datur magis generalis di & tamen non minus certa quam est illa prior. ea autem est huiusmodi, In omni progressi ne Arithmetica, siue series par siue impar fuerit, numerus ab extremorum additione collactus in numerum indicantem quot IO-
ea sunt in serie,multiplicetur . numerusque productus postea di