장음표시 사용
31쪽
qui iunctus ad minorem illu primarium superioris ordinis num tum, ad cuius accersitur auxilium, magnitudinem superabit illius maioris numeri qui prius a minori non potuit subduci. Quocirca eum denarium aliquem numerum ab Vlteriori sede petimus, illius notam se dum praeceptionem nostram ibi relinquentes intacta, si nihil ad inferiorem illius loci figuram unde decem sumpsimus,
adderemus, quod denarii numeti commodati notam adhuc restantem exhauriret, decem ibi redundarent, quae ante memoriter fuissent illine deprompta. Quamobrem,Vt illa decem sumpta mutuo, quorum adhuc figura nihil mutata ibi manet, eum ad illum locuvetum erit,exhauriamus, Vnitatem semper ad sequetis loci inferiorem numeru qui subducendus est, addimus, quae numerum illum denarium ibi redundantem subducat. Idque fit per omnes numerorum sedes, quoties decem vel ad circulum, Vel ad alium primarium assumimus.
Siquis experiri vult an recte subductio facta sit id quod summae
reliquum est,ad numerum subtractum addat.& si ex illa numerorum adiunctione maior numerus a quo minorem subduximus,lterum surget: tum necesse est subtractionem recte peracta esse. Quod si alium numerum quam eum a quo prius minorem abstulimus, additio illa producet: errorem calculi interuenisse pauis est. Nam quemadmodum totum omnibus suis partibus seiunctis par est ita partes omnes compositae suo toto sunt pares . Cum itaque maior
numerus totus a quo subductio facta est,minorem qui subtractu gest,& reliquum quod superest,partes suas habeat: eisque par sit: fieri no potest quin partes illae rursus compositae suum totum, id est
primum numerum a quo minorem abstulimus, denuo procreent. Et si partes illae simul positae alium numerum creant: error mani festus est. nam omnes partes collectiis,a suo toto diffidere reru natura no patitur. Usum autem subductionis esse iam ante diximus, ut indicet quid sit reliquum , & quantum maior numerus minore superet. Quod quum per praecepta quae tradidimus inuentum suerit,simul deprehensum erit quantu ipsi numeri inter se distabunt. Nam quantum alter numerus alterum superabit,iantu inter se distare coperientur,ut quot Vnitatibus minor a maiori superatus fuerit quod semper ipsum reliquum indicabit totidem distent. Verbi gratia: sume duos numeros,alterum septem alterum tria. demetria a septem,reliqua sunt quatuor. septem enim tria superant qlla tuor unitatibus. distant igitur inter se totidem. Quod si duos nu-
32쪽
meros aequales sumas, & alterum demas ab altero: quia nihil erit reliquum,nihil inter se distabunt. Itaque si perscrutari velis quantum duo quiuis numeri inter se distabunt : postquam altero ab altero subducto,comperisti reliquum:Vna opera differcntiam deprehendisti.
Qv o D s I varij generis numeri subduccdi sunt:dcscriptis in sua as classes uti in additione diximus eorum generibus, veluti aureis valentibus singulis denarios 2s denari s valentibus singulis sestcrtios 4,sestertiis valetibus singulis duos asses & semissem:cuiusmodi sunt vetera nummismata Romanam umeroru subductio a dextra sumat mitium:subtrahanturque numeri primae nummotu classis inferiores a 1 uperioribus,si id fieri potest. Caeterii si id fieri nequit,u proxima denariorum classe sumptus mutuo denarius, & in sestertios retolutus,numerum sestertiorum superioris numeri augcattvt tum demum inferioris subductioni sufficiat & quoties numerus aliquis mutuo sumetur, toties ad classis sequentis proximunumerum subducendum unitas est addenda. Similiter si denariorunumerus subducendus maior sit,quam ut a superiore demi possiti aureum mutuum a proxima sinistra classe petamus i ut is in denarios 2s resolutus, numerum denariorum,a quibus fiet subductio, augeat.& eum ad illam classem ventum erit:ad numem proximusubducendum unitatem adiungamus. Itidem fiat de quibuscuque
variis nummismatum generibus cuiusuis nationis subducendis, Veluti aureis,denariis, di nummis vilioribus. Exeplum hic subnotauimus quod solus facile sine praeeunte explicabis. Aurei Denaris Sestertis
VLTIPLICATIO numerorum est unius in altem duri ictu tertii numeri maioris procreatio qui toties numerum multiplicatum contineat quoties numerus multiplicans capit Unitatem . Et ut apertius dicamus, Numeiorum multiplica tio est maioris numcri procreatio per alicuius numeri ad seipsum Dequentem accumulationem,crebramque additioncm toties r petitam quoties numerus multiplicans continet unitatem. Vsus eius
33쪽
34 DE N VL TIPLICATIONE no modo Astrologis pro reductione signora ad gradus, graduum ad minuta,minutoru ad dimidia,& sic deinceps,uem etiam ad viatam humanam degendam mercatoribus, & omnium hominum conditioni pernecessarius est: Verbi gratia , Si quis centum tritici
modios, decem nummis Vnumquenque aut cetum vini dolia,decem aureis singula emit:& scire cupit quid ei pro uniuersis sit sol.
uendum. In multiplicatione peragenda tres omnino numeri requiruntur, Primum numerus multiplicandus,quem per altu multiplicare destinamus. Deinde numerus multiplicans,qui toties eunumerum quem multiplicare decrevimus,colligat, quoties in seipso continet Vnitatem . Nihil aut refert an minor numerus multiplicet maiorem,an d conuerso minorem maior. Nam ex eorum mutuo in se ductu idem utrobique numerus semper surget.' Sicut ter septem,& septies tria,eundem numerum creant. Facilior tamen longe multiplicandi modus est, cum numerus minor multiplicantis partes occupat,& numerus maior multiplicandi. quam cum cotra fit. Tertius numerus quem requirimus,ex numeri multiplicantis in eum qui multiplicandus est, ductu, velut amborum scelus procreatur,per multiplicationem nobis inuestigandus. Numerus is qui multiplicat,ab eo quem multiplicare Volumus,eo dinoscitur , quod numerus multiplicans per adverbium semper ex primitur, multiplicandus autem per nome. Vti si ter septem dicas, ternarius numerus multiplicas est:septenarius,multiplicandus. Illud in primis animaduertendum est Unum nee seipsum neque alium numerum multiplicare. Nempe semel unu nihil est nisi v nurquatuor semel, nihil amplius sunt quam quatuor. Et ut facillima
qua que primum expediamus: Si quis aliquem numerum per decem multiplicare velit, unum solum circulum a dextra ei praeponat,qui sequentem numerum augebit in decuplum . Si numerum quenuis per centum multiplicare Voles,duos a dextra praepone ei circulos, & numerus qui sequitur , augebitur in centuplum . Sin per mille numerum quemlibet multiplicare cupimus: tribus a dextra adiectis circulis, auctus est in millecuplu. Atque itidem siquis per cum numerum, quem aliquIs quantumuis ulterior numerorulocus significat,alium numerum multiplicare destinat: is totidem eidem ascribens circulos,quot locum illum repraesentare possunt, multiplicationem absoluet. Principio ad numeros omnes expedite multiplicandos non parum nobis coducet in memoria reconditum habere,quem nume
34쪽
L I A. r. nrtim singuli primarii infra decem, alius in alium ducti procreentrid quod ex numerorum velut in tabula depictorum quadam descriptione facile deprehendi potest. Ea autem est huiusmodi A si
nistra ab uno incipiens , ac naturali numerorum serie in dextram progrediens,singulos primarios usque ad decem,modicis interuallis scribe. Deinde ab illo ipso uno ad sinistram posito,velut a quo
dam vertice iterum incipies,eandem numerorum seriem,deorsum versus tendedo modicis & paribus interuallis distingue singulos que primatios usque ad decem ita scribe , Vt numerorum utraque series velut Pythagorae normam angulum rectum facientem nobis depingat. Postea sub prima serie,quae a laeua in dextram tendit,a binario numero incipiens, aliam decem numerorum seriem eontexe in qua singuli numeri,qui in dextram progrediuntur,binarii incrementum accipiant. ea series desinat in viginti. Tertius rursus ordo decem numerorum a ternario numero ad sinistram exordium sumens desinat in triginta,singulique numeri in dextra protensi ineremento temaria augeantur . Quartus itidem ordo aquaternario initium capiens , atque per decem numeros in dextra
progrediens, singulis auctis adiiciat quaternarium, desinatque in quadraginta. Quinta similiter series a quinario procedens per decenumeros quinario quenque auctos,finiatur in quinquaginta. Sex . tus ordo a senario ad laruam orsus,per dece numeros senario queque auctos ad sexaginta perte dat. Septima quoque series a septenario exorsa,singulis auctis numeris septenaris incremetu adiiciat,in septuaginta desinens. Octauus ordo ab octonario ad octoginta perueniat octonarii augmetum ad singulos auctos numeros accomodans. Nona series similiter a novenario progrediens ad nonaginta, per numeros decem novenario quenque crescentes protendatur. Decimus ordo a denario procedens sequentes numeros idenario singulos augeat, desinatque in centum . Deinde numeris ita scriptis, lineae parallelae inter singulos ordines directe sie ducantur,tam a summo Vertice ad imum cadentes,quam trasuersae a laeua in dextram, ut eiusmodi linearu ductu singuli numeti quadra tis Iocellis ubique concludantur.
35쪽
D8Osci IooN ΑΕ c numerorum figura mira quadam proprietate primariorum numerorum multiplicatione nobis ante oculos e Vettigio demonstrat. Nam si icire cupis qucm numcrum duo quilibet primaris in se ducti creentiprimum illorum alterum in scite suprana a sint stra in dextram protensa perquire. deinde alterum Vestiga In prima ad sinistra scrie delacndente. quos ambos cu inueneris, ab altero intcr paralicias lineas rccta sc mita descendens, ab altero in transuersum parallelas duces sequens, progredere: donec ad linearum in quadragulare torma coeuntiu locellu angulare peruenias: in quo numeru quem requiris, ex amboiu in se ductu procreatumdcprehcndes. Verbi gratia,si vis scire quem numerum septies octo procreent: in altera serie septem , in altera octo quaere: parallelaiaque V triuique numeri, alicias defccndcntes , alteras tiansuersas , elut duces sequere, donec in quadrangularem coeant figuram . in cuius angulari locello quinquaginta lex notata inucnieS. Atque itide in reliquis numeris primariis. Ucrutame,ut ante dixi,qui sine Vlla mora num ros multiplicare velit,ptimatioui inta se multipli
36쪽
eationem in memoria,Velut in numero,reeonditam habere debet, ut expedite, cum res poscet,singulos numeros ex primariorum in se ductu generatos, tanquam ex thesauro depromat: id quod paucis horis quiuis vel infirma memoria facile potest ediscere . Alio qui si ad numerorum figuram supra nobis depictam identidem respiciendum erit: quid fiet quando librorum non adest copia s Ne igitur in leviculis semper sit haerendum :paucarum horarum industria longi temporis tedium deuoret: vi quoties usus postulabit,
numerorum primariorum multiplicationem mente prius repositam memoria suppeditet. Id quod ad numerorum quoque partiti onem no minus coseret: Vti latius dicemus quado eo votum erit. Qv o D si cui est animus eiusmodi numerorum figuram in ta- tam amplitudinem dilatare,Vt magnos etiam numeros per linearum inspectionem copendio quodam multiplicare possit: Ab uno exorsus, quemadmodum ante diximus, naturalem numeroru seriem,quantum ei libuerit, quantumque in immensum velit,iam asinistra in dextram progrediens, quam a vertice deorsum descendens extendat:singulosque contexens ordines illud semper obieris uet, ut a quo numero initium series noua capiet, illius incremento singuli eius numeri sequentes augeantur. Praeter caeteras quoque egregias huius figurae dotes ab Arithmeticis traditas,quas nunc altius attingere nostri instituti non est illa insignis habetur: Quod si ab uno,qui numerus ad Iamam summus est, ad centu qui ad dextra habetur imus,per angulos oppositos linea ducaturmumeri omnes quos secabit, quadrati reperientur,qui ex cuiusque eorum in seipsum ductu procreatur . id quod eueniret,si quantumuis in immensum pertenderet figura. Ad ha evbicunque occurrunt numeri quadrati, idem ex ductu anguloruoppositorum in oppositos producetur,ut si tria per tria multiplicentur,perinde sit acsi Unum in nouem ducatur. quod quia ad radicum in numeris inuestigatione, de qua suo loco dicturi sumus pernovisse est utile .hic degustasse,non alienum est visum. Q. v I de numerandi scripserui arte,de simplicibus numcris inter se multiplicandis,certam hanc dederunt regulam. quae sane &breuis est,& supputationem auspicatibus admodum utilis:Vt duo quiuis numeri primari, multiplicandi sumantur maiorisque numeri , si alter maior fuerit, a denario distantia capiatur. Deinde
quot in ea distantia reperientur unitates, toties minor numerus a
suo denario quem ipse denominat, subtrahatur: dc numatis reli-
37쪽
ctus eritis quem quaerimus.Verbi gratia,Scire Volens quotu numera componat quinquira septem: sume tria distantiam septenaris, qui maior est numerus. ac ter aufer quinque, numerum minorem, a denario, que denominat,hoc est a quinquaginta. supersunt triginta quinque:quae ex horum in se ductu procreantur. Sin numeri aequales fuerint Inihil refert utrius a denario distatia assiimas rvt quot in ipsa distantia deprehedas unitates,toties a denario, quealter denominabit,altem numerum demas. vii si octies octo multiplicandi sunt: sume duo, distantiam utriusque a denario: bssque
aufer octo ab octoginta. reliquu erit sexaginta quatuor. is est numerus quem requirimus, ex illorum in seductu generatus. Alij autem ad multiplicatione numeroru primariorum,quorum duo quiuis additi maiorem denario numerum procreant, alia docuerunt regula : Vt uterque numerus ad sinistra,alter sub altero scribatur.
deinde utriusque a denario distatia e regione ad dextram ponatur: distantiaeque altera per alteram multiplicentur:& quod productuerit,sub linea ducta notetur. Deinde alicrutrius distantia ab altero subtrahatur:& prius adiecto, siquid memoria seruatsubscripto numero,ex distantiarn in se ductu procreato,a sinistra locetur. vii si sexies octo multiplicare velis: supra octo, infra sex repone. Postea cotra octo oppone pro distantia ad dextram duo. cotra sex oppone quatuor. duc postea duo in quatuor: fiunt octo. ea subscribatur. Exime deinde per oppositos angulos, vel duo a sextvel si ma uis,quatuor ab octo. supersunt quatuor . ea a sinistra numeri prius subscripti locentur. Quod si numeri primaria simul additi numerudenarium non trascendat hi aute sunt omnes minores infra sex eos sine ullo praecepto pueri plerique omnes multiplicare sciunt.'NvMERos multiplicaturi, supremo loco eum scribamusque
multiplicare destinamus : tum deinde inserius alterum per quem multiplicare superiorem Volumus, ita reponamus,Vt primaris numeri illius ordinis primarijs superioris,deni denis, centeni cente nis, & sic deinceps respondeant. Et si numeri sint inaequales:maior semper supra pro multiplicando ponatur,minor infra pro multiplicante. Quo fiet,ut multiplicationis modus sit expeditior. Postea sub ambobus numcris a laeua in dextram calamo 423
linea ducatur. I 2Deinde prima nota multiplicantis numeri in prima multi 3plicadi ducatur:& si id,quod ex multiplicatioe proueniet, in φfra decem crit,ad dextram primo loco sub linea reponatur. 6
38쪽
Si vero surgat numerus aliquis ex denis eblieaus subserisa sturcirculus:&denom illorum denominatio memoriae eom. qmendetur,ad sequentis Ioci multiplicationem addenda. os IN PRODEAT numerus aliquis ex denis & primariis eompositus primarius primo loco deponatur,denorumque de- snominatio mente recondatur: ut ad sequetis loci numerum sex multiplicatione procreandum coniungi possit. ς Iterum nota prima numeri multiplicantis ducatur in multipli eandi secudam:& quod inde creatum erit, postquam ei additum fuerit id quod mente retetum est , si quid tale ex prio- et e re loco transaltim superest, secundo loco subscribatur.' Rursus eodem modo in tertiam,quartam, & reliquas quantum Iibet ulteriores multiplicandi numeri figuras eade prima nota numeri multiplicantis ducatur : & quod ex ipsis in se ductis creabitur,eisdem locis sub linea reponatur quibus enatum crit. Demum prima illa multiplicantis nota,quae suum peregit 2 opuscne amplius turbam faciat, obelisco transsi Post haec secunda numeri multiplicantis nota in primam multiplicandi,& deinceps in omnes reliquas,eo ordine, demque m do ducatur quo de prima nota fieri debere diximus. Et numeri ex eorum in se ductu prouenietes ita sub linea & sub figuris ex priore multiplicatione productis ponantur, Ut primus eorum sub seeunda multiplicantis nota, secundus sub tertia, tertius sub quarta,& sic deinceps in sinistram procededo locetur. Et quan uis pauciores notae numeri multiplicantis, quam mul- 2 I 2 stiplicadi fuerint:semper tame progressus in lae- i
uam a secunda nota multiplicantis exorsus,mi- 6 3 P nimum per totidem seruetur locos, quot figu 2 et 2 srae fuerint in numero multiplicando . postea secunda nota suum enixa foetum calamo transfigatur. Tertia deinde & quarta ac reliquae omnes, quotquot suerint multiplicatis numeri notae in singulas multiplicandi numeri eodem modo ducendae sunt: numetique ex multiplicatione nascentes sub linea & lub ordinibus ex priore multiplicatione procreatis ita reponendae,Vt tertiae notae multiplicantis scelus a tertio loco, quartae a quarto,& sic deinceps, progressionis in sinistram ca-gatur
39쪽
4ODE M ULTIPLIe ITIONE. piat exordium :per totidemque notas minimum protendatur , quot reperientur in numero multiplicado. Singulaeque notae, postquam officio sunt functae, obeliscis inductie calamo transsigantur. 2 I 2 I
Peracta demum figurarum omnium multiplicatione,rursus sub omnibus numerorum ordinibus ex multiplicatione procreatis altera linea a larila in dextram ducta, ad primum locum pertendat. a I
Deinde a primo loco exorsi,omnes illos numeros ex figurarum in 1e ductu natos simul addamus, numerosque ex locis singulis collectos eisde locis lub linea subteribamus. Ita numerus sub linea repositus is erit que multiplicatio nobis procreabit.
De circulis autem illud pretemonendum putamus ,ut quoties innumero multiplicante nobis occurrit circulus,toti- I E 3 de sub linea circulos reponamus quot fuerint figu- I orae numeri multiplicandi. Ο Quod si numerus multiplicandus circulum aliquem habeat,is etiam sub linea tuo ponatur Iococ nisi ali- I o 2 Io Φquid in memoria retentum supersit quod et 3 illic deponi debeat. N v N c EA quae diximus, illustremus exemplis. Multiplicemus septcm milia noninis genta straginta tria, per mille octingeta quinquaginta duo. Postquam numeri 1cripti, iubiectaque linea fueriti sic nobiscu tacite meditemur, Primo loco bis tria creat sex. ea sub linea primo loco notamus. Iterum bis sex fa- a 474 4 6 ciunt duodecim. duo sub linea secundo loco ponimus: unum prodenaris denominatione mente retincmus. Rursus bis nouem procreat dece & octo. quibus unum ex memoria addimus i fiunt decedc nouem. nouem igitur tertio loco lineae subdimus:vnum mente recondimus . Demum bis septem producunt quatuordecim, quae quum augentu uno ex memoria deprompto,fiunt quindecim. siequinque quarto loco reponimus; unitatem in quintu locum tran
40쪽
serimus: atque ita primam illam notam multiplicantis numeri, quae suum peregit opus, obelisco transfigimus. Postea secundam multiplicantis notam,nempe quinque, in primam multiplicandi
ducamus,intra nos ita mustilantes, Ter quinque creant quindecim. quinque secundo loco sub linea ponimus: unum mente seruamus. Iterum,quinquies sex faciut triginta. quibus Unum ex memoria depromitur, fiunt triginta Vnum. ex his unum tertio loco reponimus. tria mente seruantur. Rursus, quinquies nouem producunt quadraginta quinque. quibus tria ex memoria addita,quadraginta octo faciut. ocho quarto loco subscribimus quatuor mete retentis. Demum quinquies septem sunt triginta quinque. his ex memoria quatuor adi ungantur : fient triginta novem . ea sub linea ponantur ad sinistram. ita secunda multiplicantis nota suum enixa foetum obelisco signatur. Tertiam deinde multiplicantis figuram assumentes, sic ducimus in primam multiplicandi, octies tria sunt viginti quatuor. quatuor tertio loco lineae subdimus: duo me te retinem'. Iteru,octies sex sui quadraginta octo.ad quae duo bus ex memoria additis fiunt quinquaginta. circulus igitur quarto loco subscribitur: & quinque memoria seruat. Rursus, o snouem sunt septuaginta duo:quibus memoria sumministrat quinque, sic fiunt septuaginta septem .subnotantur septem loco quinto,depositis apud memoriam septem. Denique octies septem sunt quinquaginta sex: ad quae quum septem ante reposita iunguntur,
proueniunt sexaginta tria. ea sexto & septimo loco subscribuntur: transfigiturque ita calamo tertia multiplicantis figura. Tandem ventum est ad quartam & postremam multiplicantis notam: quae eum sit unitas,& nullum numerum multiplicare possit, nes figurae numeri multiplicandi,eo ordine quo sunt scriptae,semel sub reliquis enatorum numerorum ordinibus sic ponantur, ut prima quarto loco sub ipsa Vnitate notetur : reliquique omnes in sinistram, nempe secunda In quintum locum,tertia in sextum, quarta in septimum,promo antur. His ita peractis, ac sub omnibus enatis numeris linea a mira in dextram ad primum usque locum perducta,uniuersorum numerorii ex multiplicatione prouenientium summa collecta sub linea deponatur. ea erit, Quater decies millena millia, septingenta quadraginta septem millia, quadringenta septuaginta sex.sED quoniam in hoc exemplo quod iam explicauimus, nulli interuenerunt circuli: alterum adiungamus,in quo tam in nume-