장음표시 사용
101쪽
a. fa - z gordo hic erit, a Cireuli proprietatibus, salva homogeneitatis lege desumptus. Describatur Coordinatis invicem perpendicularibus per communem Analysin Cartesianam Circulus, euius aequatio localis est D - Σ' - ζ'- , supposita recta BHAF axe abscissarum, et puncto es earum numerationis initio . Sit eius centrum O, et in diametro producta ex parte es assumatur OB - --rg. Circulus iste secet axem illum in punctis A, H, quae valores extremos uri, in variabilis E desinient, ultra quos vel ex parte τη Η diminuta, vel ex adversa Faucta variabili et imaginaria fieret Formula integranda Ia I). Semiaxe transverso 'I- οῦ, ac coniugato. qui sit ad transversum in ratione BA ad BF, describatur Quadrans Ellipsis conicae Quibus omnibus paratis, erit pro quolibet valore ri z H et si ede aliis valoribus arguendum eadem semper constructione servata
-r dum a m par erit duplo areus Elliptici ε 3 vel areui UfΣ - Σ' g inp, ac demum si Σ - - , postremo eius variabilis valori . peraequabit sive ειεξ, semiperimetrum Ellipseos descriptae. Quod Integrale' ' V E fuerit intim ete. , typum etiam habet geometri '
eum elegantissimum in Circulo dato ac nuper descripto ad eius constr etionem oculis obiiciendam. Punctum etenim B Hatum est ex praemissis, et dati quoque sunt radius OA a V.C--
102쪽
Circuli semiperipheriam. Idem eontingit dum propositum Integrale fuerit
. ----. utpote quod adaequaverit ---------- .
E Σ r m. AO.' aBOI Noe Iiitegralis quaesiti cum Circuli passionibus elementaribus arctissimum Aedns, praeterquamquod animum recreet, et lucem perquam maximam dissundat mutuatam a Pasealii doctrina, admirationi etiam est quomodo Circulum non viderint Analystae ab ipsa Formula summanda eloquentissi
BD. DE etc., ac si ar. Duo tamen stimulum exeitant ad theoriae complementum. Integrale hae nova ratione repertum quum ab Ellipsi pendeat ad minorem. Axem relata, et cuius abscissae κ non ab eius Centro A, sed a puncto Onumeuntur, suspicio subest ne disserat ab Integrali, quod passim dant Analystae ab Ellipsi dependens ad maiorem Axem relata . abscissis ab eiusdem Centro computatis Iaa . Nec minus fortasse ab aliquibus dubitandunt erit de constructionis Veritate a Pasealii doetrina desumptae nisi ab ipso Integrali, retorto itinere, eam regeneratam conspiciant. Ut a pri
103쪽
miaxi maiori, veluti a in prima Formula, ne analogia perturbetur. For mularum prior, uti alibi dictum, in praesertim a 'Ρ . . Parabolam Ellipsi coniungit hoc modo Fig. ae. . Ellipsis est αULA ia in , Axe trans verso praedita Αα sta, et Centro Κ, suppositis ΚΗ - ω, AC u. G du etc.. atque Axe coniugato ua Q. , qui Coefficiens numericusg unitate minor fractionem adaequet cuius numerator fuerit Para-
meter aut Latuv- rectum Ellipseos ad maiorem Axem relatae. Parabola ero, quae a variabilium substitutione enascitur, ea est, quam Aequatio concludit a - Σ), videlicet FEDG, suum verticem prima-
rium habens in D remotum a centro K per intervallum DK AK - a.
., abscissas ΚΒ , G etc. ae, ordinatas EB, e, etc. :z. atque qarum extremas Ibi, Gae Vel Ellipseos semipara metro . Quum x itaque excrescat diminuta et, et vicissim 35ὶ, atque et inter duos valores aut valorum limites AF - - qa, et YD a comprehendatur, quibus traiectis Formula summanda imaginaria fiat, erit
-, ubi ex hypothesi I - - , prae
104쪽
etiam sponte dimanat a natura ipsa Aequationis D-Σ -g' o aut D-g'-o, in qua Coefficiens - signo tantum inverso, summae duarum Radi eum HK, HI aequalitatem servet necesse est. Accedit ex per hypothesin ΙΥ. Hisce omnibus colleetis deseribatur Semicirculus Q v. .e Semiaxe transverso RI I-q a, et coniugato X p, qui sit ad transversum
g)- -: I- - . Ellipsis concentrica sit P . quae ideo similis erit alteri Ellipsi primum delineatae si a s). Areus ergo si tes quieumque duarum Ellipsium Proportionem tenebunt Semi- axium LP ΚΑ. nimirum I-ρ aza, et simplicius Ι-q : I . Abscindatur denique Hu EB et , et iuxta ar' . erigatur normalis Auusque ad occursum Peripheriae circularis in Puncro S, quod punctii mope chordae KS coniunctum cum centro K determinabit in produetione elu, dem chordae KSL aliud punctum in Hemiperipheria QIP, a quo dueta LN perpendiculari ad Axem PQ definiet arcum Ellipticum PR, euius
105쪽
si. a. PR, videlicet post debitam redactio-
demonstrationem accepit; adeo ut in aperto nune positum sit eodem collimare, eundemque adamussim concludere arcum Elliptieum duas methodos inter se maxime discrepantes, scilicet, vulgatam Analystarum . illamque a Pascalio deductam, tametsi earum prima abscissas numeret a L ersus A . secunda a I versus Κ, prior a triangulo characteristico Ellipseos Ctν exordium sumat, altera Circulum tantum ac Rectas adhibeat, una variabilem a in Parabola GDF contempletur, dum alia in solo Axe m variabilem istam consideret. Ars autem tota consistit in relatione inter muΚΝ - IS, quae relatio ex assectionibus Cireuli primitivis Parabolam implicitam continet, nimirum eam Aequatione s. I-qὶ a a - Σὶ 3 gaudentem ac Parametro XI diametro circuli in Figura descripti . 32. Quod alterum adtinet, regenerationem nempe doetrinae Parealii ex Integrali praecognito, pene omnia parata sunt in β'. antecedente. Est
enim I ---, videlicet habetet QT.
106쪽
uti cuilibet facile est experiri. Consimiliter habetur g . e. ΑΚ
-- x hoe ipsum Integrale evadit PR vertitur in Pst , et saeta variabili Σ --
PR, nimirum evadit Theorema Pascalii rela- a' - α tum ad Circulum radii re, abscissis x a centro T computatis, et ubiem IV, atque
li -FI. PR. Haec vero reversio ad caput illud Theoriae, unde suimus digressi, magni roboris est ad confirmandam hucasque sequuti itineris veritatem, dubiumque omne de doctrinae fidelitate amovendum. Universaliter , si proponatur Integrale in Circulo quaerendum
107쪽
suppositisa, b Semiaxibus Ellipseos , cuius arcum hoc Integrale reprae sentat iuxta notos canones Analystarum, istud Integrale in Theorema Pase det si or a
- ι - b qua in expressione Radius R cireuli ad morem Pascalii est , et distantia puncti emissionis rectarum ab eius Centro seu ez
, adeo ut omnia pateant ex semiaxibus datis a et b, commodumque tribuat eximium Aequatio praedemonstrata e R a --b . Et re quidem vera postremum Integrale , quod valde involutum adparet , reductione facta idem est cum diua tionem idem cum
rema ipsum Pascalii aeque ducit ad Formulam oecumenicam inveniendam pro arca Hyperbolae conicae . Sit et enim haec ad primum Axem relata , ae veluti iubet g' . 24 φ . in Formula illa Theorematis Pascalii fiat tantam modo b bέ i. Tune Formula evaditia' - , ) a se b -- i
108쪽
Ab ista oritur post reductionem simplicior, quum praeter spem sese
nimirum arcus Hyperbolae, quemadmodum alii invenerunt. Hic igitararcus Hyperbolae originem etiam habet a Pascalii Circulo non secus atque arcus Ellipseos, hoc tamen discrimine quod R radius Circuli sit realis, nempe
- , sed punctum emissionis rectarum nulli bi exsistere possit, quia . Manet nihilominus perinsignἰs analogia, et eo magis elucescit ob e--R a uti superius. 33. Concordia autem ista itineram prima fronte discordium investigationi diverso etiam modo concinnandae inservit alterius Formulae canonicae ab arcu Hyperbolae dependentis . Expressio etenim ..--- in ς'. a M'. contemplata eadem est aea si qa - α ὶ Σ - - qaadd. Uaῆ . 'I-ar
EU- t. a a)Σ-- qaa 2 - qa -a a zz - qaa quae ita primum parari debet per regulas Analyseos videatur praesertim Pars I Institutionum Calauti Integralis Euteri in Sectione I'. p . Io8. Coroll. 24'. atque Volumen VI '. Opusculorum Alemberti pag - I4O. I. 42. ne de sexcentis loquar Algebrae scriptoribus; ad hoc, ut limites et qualitates variabilis et in oppositas convertantur. Praeterea, quum species gsit exponens rationis quadrati Semiaxis coniugati ad quadratum semitrans-Vorii, oportet ut permutetur in negativam ex dictis in calce 243 . ad hoc
109쪽
hoc, ut Formula respiciens Ellipsin ad primum Axem relatam pertineat ad Hyperbolen primo pariter Axi suo accommodatam. Quo iacto Formula evadit . , ad imagiruaria tollenda quum necesse sit
fieri variabilem et negativam, atque hoe negativum assiciat tantummodo -- ae et primum terminum qa-a Σ denominatoris, ipsumque ertat in sa - qa et, ceteris iisdem manentibus , oritur tandem ---areum infinite in parvum Hyperbolae eonicaeu Uzz - a - qaὶα - qaa repraesentans. Hinc est quod, quum a - qa possit esse positivum vel
negativum iuxta diversas Uyperbolarum specιes, το
a. Semiaxes isti quoque dimanant ab illis Ellipseos in citato β'. de-
scriptis, quum ibi semitransversus repertus fuerit --ἡ g , atque
hie, ob a' - - g' et converti debeat in is ----μ ua 4 uti superius. Discrimen unicum manet inter Formalas Semiaxiam Ellipseos et Hyperbolae analogae: namque in earum postrema signo duplici gaudere nequit --u quemadmodum in prima ostendi de - - u
iuxta 28 'R . , et discriminis ratio est svid. etiam P . 4a'-. quou' in Ellipsi geminus valor
V--u positivas sit, in Hyperbola
τδρο- negativum evadat. Hoe ipsum discrimen acu
tissimus Ealerus a diversa theoria derivavit in corollario VI . pag . AI φ . Voluminis
110쪽
Voluminis X . Novorum Commentariorum Imperialis Academiae Petropolitanar. Duobus a nativo Pascalii fonte deductis Formulis oeeumenicis Integralium rectificationem Coni - sectionum involventium . totum opus absolutum est, quum Analystae omnes in eas Formalas cardinales resolvant alias innameras expressiones Disserentiales. Veruntamen in re nobilissima ociemur ali quantisper. Eadem Formula primitiva
esea Pievident omnes quomodo extendi possit ad alias quoque inveniendas. Ins'. 26 q. admonui Integrale istud pendens a Theoremate Pascalii imaginarium fieri dum ae limites traiiciat lata, et in 3'. 29 . de limitibus illis agens adnotavi Cireulum ab ea formula contemplatum, ideoque et Ellipsin, ad quam ducit, imaginariam fieri dum Radius a imaginarius eva dat. Fingatur primum abseissas x vagari extra limites definitos in a, quod ut eveniat, τὸ - a se a -- ρυ - κ
converti debet ia; atque haec expressio ne imaginaria fiat, opus est
et deineeps versus B in infinitum excurrat. Quo in easu geometrice expressa illa Formula transfertur ad Hyperbolam aequilateram Ahim primo
Axi FAB relatam , atque idcirco '--, Vel si de
Axi FAB relatam , atque idcirco ' --, Vel
Trinomio saetores reales habente ad normam 28 L aequivalet Summae productorum ex rectis lineis, quae possint differentiam quadratorum - M , D' - - Bs , etc. in Sectores centricos negati vos infinite parvo IIyperbolicos Oi I ete. divisos per dimidium Semiaxis trans II . versi