장음표시 사용
111쪽
versi - - - atque iterum per e --a; et idem dicendum de tribus aliis
Hyperbolae ramis. Hi sectores ita divisi nihil aliud sunt ex Elementis
lorem non mutat, sed eliminatis tantum imaginariis Summam quadratorum rectarum ad Circulum in hane summam vertit imaginariam, seu Dis. serentiam realem quadratorum ad Hyperbolam sae' - a' - e-xὶ .
Circulique arcum minimum -- - , --- convertὲt In eius Inverse ιmagma.
Quod et Formula ipsa demonstrat a primitiva derivata
112쪽
ab arcu unius El- Σ--Σ' - - lipseos resolvatur: quod paradoxon in consideratione signi - inhaerentis expressioni dijerentiali, sive uti alias Oeeurrit extra haud satis animadvertisse Geometras memini . Eadem ratione alterum Integralec - -- arcum ipsum Hyperbolae unicum significat prouti
ὐ ι'isD-zz lato quemadmodum passim docent Algebrae Auctores. Videatur signanter liouga in villius num'. CCIX. Voluminis I . . Ad signorum vim ulterius inspiciendam proponatur so
113쪽
s di dum e repraesentet arcum Ellipseos, quorum omnium usus insta patebit. Radio praeterea assumpto cessat Theorema Pascalii, sed nihilominus quod hae in hypothesi a Formula primitiva oritur integrale
V non sit impossibile, quinimo quum ab Arcu. imaginariae Curvae . in quem vertitur ille Ellipseos realis PR, dueto
in Coesscientem mixtum realem - imaginarium c - - si integrationem recipiat , nil obstat quominus reale sit , uti passim in Algebra exempla habentur, et per doctrinam sequentis includat Arcum realem realis Ellipseos, et Arcum realem Hyperbolae conicae la8J. Quod ne coniectura tantum, sed veritate sirmetur aliunde nota, substitutioni solitae, Proa
ti in stet M'. , loeus fiat τοῦ
convertatur in alteram, homologam illi a do-
ia9 . Haec Formula, quum possit esse vel positivum vel negativum propter e vel maius vel
minus a. neglecto Coessiciente a Uue, Armam acquirit universalem Trinomio tamen Faetores imaginarios habente , quodUΣΣ--M isja Integrale illud est iuxta eommunes Analyseos Seriptores a rectificatione simul Ellipseos et Hyperbolae pendens tr o . Revera si ad hoc illustran-
114쪽
arcu Ellipseos primo Axi relatae diviso per qui a reus ita divisus generat expressionem integrabilem ope a reus Elliptici simul et Hyperboli. ei. quemadmodum fusius declarabo in 43' . Fructus ergo ipsius doctrinae Pasealii est etiam inventio Integrat s huiusce sermae, cuius originem si graphice contemplari mens fuerit, non e Ionginquo petenda, sed a proprietatibus elementaribus derivanda Hyperbolae aequilaterae . quae vicem gerit Circuli imaginarii. Videndum ergo in Hyperbola aequi latera Fig . aa' . quid indieet expressio - a'-2cae , ab scissis x a eentro I super Axem .secundum AB numeratis, et Semiaxe OI a. In Axe secundo fiat IC e, a quo puncto, eodem semper ma nente, egrediantur rectae innumerae CO, CE, CF etc. ad perimetrum usque quatuor ramorum descriptae Hyperbolae, uti ad Circuli circumferentiam in doctrina Pascalii. Quod in doctrina Pase alii erat pro Circul GONP recta quaelibet CL potentia aequalis summae Quadratorum CL, ,
convertitur pro Hyperbola in rectam, quae possit dimerentiam Quadratorum G, ΚΜ, nimirum se-x ' - .s -- Α' , quum Hyperbolae aequi laterae proprietas sit ΚM EO, GE GO, HF m etc., unde oritur, evolutis Quadratis, reeta aequalis . e ' a'-2cx . Quod autem in Cir-
culo erat ---. nempe elementum Arcus Circuli Ly, sive Seetoris
dupli Lu per Radium Io, seu a divisi, est in Hyperbola --- , nimirum elementum dupli Sectoris pariter centrici MIQ per ipsam rectam N, aut a Semiaxem transversum divisi si i . Theorema igitur in Hyperbola omnino analogum Theoremati ad Circulum pertinenti obtinetur si Summae Quadratorum Disserentia locum sumat, et vice Sectoris circuli Sector Imperbolae subeat. Dum itaque exponeretur doctrina Pascalii, as sumpto primum in Axe AB ad alterum OP perpendiculari puncto C aut c ubi libet sito extra centrum I. et ab eo numeratis abscissis, ae positis ordinatis orthogonalibus is Samma productorum, quae fiant a rectis inna meris, quae possint summam Quadrilorum Coordinatarum orthogonalium is a Pan-
115쪽
is a puncto quovis C vel Q numeratarum in Cireulo dato et a rectis in- is finite - parvis, quae oriantur a divisione Sectorum centralium minimo- ,, runt per Circuli Semiaxem semissem, aequalis est uni Rectangulo rectaeis datae se Faὶ in arcam datum Ellipseos in casu analogo sie exponi deberet is Summa productorum, quae fiant a rectis innumeris, quae possintis differentiam Quadratorum Coordinatarum orthogonalium a puncto quovis, . G vel c numeratarum in Hyperbola aequilatera data et a rectis in sinite- ,, previs, quae oriantur a divisione Sectorum centralium minimorum pet, , Hyperbolae Semiaxis semissem, aequalis est uni Rectangulo imaginariae rectae datae te--a, Ti) in arcum dattim Curvae datae, sed imagina- riae , quae Ellipsis spuria huiusmodi est, ut eius Semiaxis coniugatus c -a--i in vel
potius sormam habeae Et sane, substitutionibus rite saetis in Formula Ellipseos conicae g/. 2 V. . consequitur arcus A qui eum e- producit reale Rectangulum . veluti quilibet poterit experiri. Qua analogia, inter uberrimos fructus Pascalii Theorematis enumeranda , nihil aptius, neque praestantius ad meditandum quomodo sit in veritate adserenda semper sibi constans Analysis tr a .a . Ceteroquin Formula ipsa met ' --. Geometram spon-
te revoeat ad Hyperbolam aequi lateram, utpote quae, ad instar Circuli in β'. an '. , denominatore suo signifie et Aequationem localem et 'em --b' et γ' ad Hyperbolam aequi lateram pertinentem, cuius Semiariis sit Q 6 f , abscissis z super secundum axem computatis , ac centro ita Posito, ut distet a principio abscissarum Σ per intervallum aequale
. Valores isti cum Gessicientibus comparati Formulae pramgentae de Uxdeterminantur hoc modo. Semiaxis
. a, quod denotat in hγpothesi assumpta nunquam imaginarium
116쪽
narium fieri posse. Revera se eetur Axis AB in Η ita, ut sit III - - - - quo iacto, initium abscissarum Σ ea det in puncto H, et palam est ob figuram Hyperboli eae Curvae ROFUPT abscissas et ordinatas omnes a centro I uti x, ), vel a puncto II uti et, γ), etiam in infinitum excurrentes, semper esse reales. Quid sit autem e sermula ipsa
patefacit, nimirum aequalis b is v, unde facillima enascitur determina tio puncti C aut σὶ emissionis rectarum sine numero CO, CH, CE, CFerc. ad perimetrum Hyperbolae, a quibus in aperto ponitur et subiicitur oculis analogia atque cognatio intima superioris doctrinae Pascalii . Omnia diligentius rimari. quae nee dissicilia sunt, nec iis dissimilia in az q. 28 . 29''. 3O '. 3I '. 32ήφ. dum de Circulo agebam explicatis, superva caneum censeo , neque immorabor in easu considerandΟ----- ima ginarii sive aequalis quum et facta hypothesis permutetur, et uni. ea subeat variatio ab aequatione Hyperbolae aequi laterae x' relatae ad secundum axem AB, ad aequationem Hyperbolae eiusdem aequi laterae α' - a' γ' ad piamum axem relatae, prouti est in Shemate delineatum. Unam duntaxat silentio praeterire nefas esset quod, quum
, ideo doetrina Pascalii nos perduxerit ad demon- pendere simul sexceptis ea sibus supradietis in
aa''. a rectificatione Ellipseos et Hyperbolae praeter quantitates algebraicas aut rectas Lineas, quas Summa illa complectatur. Namque J est eius Armae, quae ex praemissis ab arcu tantum μυ-γ'-g Elliptico integrationem recipiat. Et a modo arguendi in g'. 33 L adhibi
117쪽
to ceterae partes diversa forma gaudentes f - ,-- ad arcu I v υ is uυ - πιtantum Hyperbolico pendent. Haec deductio. dum consentit mirifice cum vulgatis canonibus Calculi Summatorii, foecunditatem etiam adauget Theorematis Pascalii, quippe quod non solum ab eo directe fluat Integrale
VisIz-z -gtors o. Quum vero in Formula universali Semiaxis coniugatus Hyperbolae, uti in Ellipsi ad 3μ . 28 φ . , sit g, ac Semiar eransversus a resolutione derivari debeat aequationis ethfΣ--Σ' - o, nempe In hypothesi facta Σ' - ρ' - o, hic etiam erit g . Inde est quod FG mula singularis summetur ope arcus Hyperbolae aequilaterae quemadmodum habet Maelaurinus. Idem aliter, sed fictitie, derivaretura Formula Semiaxium Hyperbolam respicientium , nimirum ab
. Formula mediate prostait iuxta 3a'R . a I UEL D-g' - Pasealii Theoremate. Si etenim fuerit f o, et Formula evadat deo Semiaxes I'. e'. universaliter expressi g ac in π sunt ambo aequales g, ideoque Pares inter se, ae pertinentes aequ laterae Hyperbolae. Similiter ope iacillimae substitutionis, qua .u i
118쪽
sunt Commentatores Neruloni e Minimorum semilia in Num . CCLXV ID. Partis P . Esementorum Castuli Integralis, α - ccxsurgit aliud Integrale
ti M. g - ti' u g - ω pars quum integrationis algebraicae capax sit, altera neeessario ab arcu Hyperbolae aequi laterae dependebit. Imerim patet ex omnibus hactenus demonstratis veram Formulam primitivam huius e Ie minus nO-
. f. peciei Ineglectis coefficientibus , dummodo C A , Quae tantopere differt a Formula ope reeti sieatio.
nis circuli aut Ellipseos aequilaterae iamdudum resoluta , ut vix eredibis te sit priorem pendere a reetificatione Conicae Ellipseos. Eadem ex preis ioc das A - Re
formam facile acquirit του f--- ---um
rum . bimiliter I -- ----. directa expressio est arcum Uuper bolae significans. In quarum comparatione denuo adnotandum a primum esse, ac b secundum Semiaxium, priore nique Formulam in alteram verti sacto b bU i, reluti in a ''. aliter demonstravi. ac multiplicato dein nominatore prioris per se i atque eius numeratore per - quemadmo dum initIo β'. 33' . ad Formulam Aerivatam adipiscendam consimile arti sicium exhibui, et postmodum et in Σ convergo. Universalius autem, Propter a M. aut b, primigenia Formula Hyperbolici arcus sic exprimetur
119쪽
; quae expressiones in- infinitas numero formas facillime verterentur. as Ipsam et Pascalii doctrina extenditur qa que ad summam statuendam productorum e lateribus innumeris Coni euiusvis stalani in arculos peripheriae Greularis ad Basim suam pertinentis . prout i in s '. Ia v. ω sius disserui. Haee etiam μmma subsidio arcus Ellipseos conicae reperi
tur. Algebraice scripta Formulam ι
ii dem omnibus positis, quae in β'. 25''. . et solummodo addita specie 1 pro indieanda altitudine Coni. Quum autem in' prima Sectione . ac signanter in gβ' . ra Q. et 39 . et Eo' . . nil novi suppeditaverit Geometria, videndum nune an Synthesis atque Analysis inter se coniuret i amice.
convertitur illa expressio ina, etc
120쪽
quae eiusdem formae est. --.--α --- cum ea superius animadveris
sa ad Ellipsees a reum ducente. Formula igitur in com Sitione sua nee hilum discrepans ab anteactis non dubito quin omnium suffragiis existimetur uti novitaris expers ae penitus inisecunda . semiaxes Ellipseos summatonae hoc tu casu, qui universalior est praecedentibus, ipsosque singulariter complectitur saeta hypothesi h - o. inveniuntur quemadmodum ad calcem β'. Coniugatus nempe erit Use a h h eta ac '
solutione denomisiatoris Formulae oritur veluti soret Aequatio adfecta : Transversas autem, qui a re- secundi gradusis erit
. Nee solummodo ii confirmantur si/s observando quod in hypothesi τοῦ λ Semiaxes evadant, uti in l'. e . .
Postremus terminus evidentissime idem est ae Quadratum di. E testa