장음표시 사용
131쪽
iit MI ad ML ut diagonalis ad latus da adrati, et ex pune to I emissis
secantibus sine numero VR, IM MY etc., sectisque V RT, IV A S IE, V Υ IA etc., erunt puncta Z , E, F, A etc. in Lemniscata, habente diametrum Circuli ψ aequalem suo Semiaxi ID aut IC ex constructione. Quod ut obterulam, sit chorda LP parallela alteri TR , sit MOP normalis ad chordas istas; et dueta chorda altera QN, habebitur RP QO' OAI'-PM', scilicet, ob parallelas et constructionem QO'-- OM', et sumptis quadruplis, RT' - ΙΖ'L ' - QN' , aevocatis de more LN ID a, IZ a, atque angulo ΝLQ DIX
Ve Σ in a. u s. 'φ- I is a QCos. 2φ . uti superias lz5 . Adescriptionis modo. quo utimur, liquet tangentes a nodo I ad Circumserentiam emissas Circuli genitoris, nimirum Al Γ, ΔIΠ tangere quoque quatuor similes et aequales Lemniscatae ramos, ae se com Ponere ad angulos rectos, pro uti dictum de altera simpliciore Lemniscata, quum per hypothesia sit ideoque grata Quadratum ir6 . Uuo igitur diversissimae Lemniscatae in communi nodo I se mutuo tangent, communemque ad et ionem habebunt in hoc, quod utriusque rami se mutuo εecent not- maliter . et angulum semirectum esticiant cum Axe . Praeterea patet quod genitoris Circuli Peripheria adeo secet perimetrum Lemniscatae in X. X ut non modo secantes LYG. WG bifariam divisae sint in punetis iisdem X, x, verum etiam totae adaequent m distantiam centri Genitoris a nodo . Re
vera IA' , et I A GI. IX unde consequitur tam I. I, quam Is esse radios eiusdem Circuli. Ille Cireulus GMG idem est aeille Ioannis Bernoullii I r). et idcirco puncta Φ,s Lemniscatae ea erunt maximi Curvae recessus ab Axe , tangentiumque Axi parallelarum ex iam diciis, et ex Trianguli aequi lateri P inscripti origine consequuta lI 8 . Namque m ' - L. N' - 4 LM'- EIM', videlicet ID: Iu . Iu : ML UU . I. Punctum autem ipsum M , aliudque u aequi distans a nodo I perinsigni gaudent proprietate, in qua contemplanda paucis immorabor. Haec puncta sunt umbilici duo Lemniscatae, a quibus si ad perimetrum Curvae gemini radii ducantur , sit semper constans Ree tangulum se in VI , nimirum aequale Quadrato του MI semi- distantiae umbilicorum eo rundem
132쪽
rundent, vel ex hypothesi ---. De pune to D aut C ne dubitandum quidem . quum MD .DΜ CΜ. - - DI' - - - MI MI MI. Ar I. Pro puncto autem quolibet V, dum emittatur nor malis ad Axem, erunt Irin --φ' a' a Cos. 2φ- I , et M μ' -
z a Cos. 'φ - i Cos. , videlicet AIM . MV - - I u' , aquemadmodum mihi demonstrandum proposui. Lemniscata ergo Bernoulliorum et Fagnani species est Carvae Cauefinianae si pὶ in Astronomiae fastis celebratissimae, tametsi malis avibus auspicatae 8 o). Quae Cassini et Bernoulliorum Lineae cognatio Davidi Gregoryo de illa bis disserenti incognita fuit i8i . sed postmoduni Abbati de Gua si 8a . et deinde Alemberto in Enoeloperia Parisiensi si 83ὶ patuit, nemine tamen eam derivante ab Aequatione Curvae Bernoullianae simplicissima ad nodum seu centrum relath, prout i mihi contigit I 84ὶ, potiusquam ab Aequatione, quae reseratur ad proprietatem praecognitam Cassinianae pertinentem ad focos sive timbilicos si 85 . Sciendum est etiam differre valde inter se duas hasce Lemniseatae Aequationes, quarum facillima et elegantissima -- .u' abscissis computatis a nodo, altera x'- sta' - . ax x' γ' - o, sive α' - - γ' ' - 4b'-4ba sae' γ')-b' o dum, supposito abscissae numerentur a foco. Praeterea Aequatio illa omnium simplicissima Σ -- cis . up recto quoque itinere ducit ad consequendam Lemniscatae quadraturam, de qua sustus egit Fagnanus I 86 . Elementum etenim areae, eductis radiis in-
133쪽
-a'. m. 'φ. δε; Ideoque Integrale ex Elementis Calenti summatorii - . Sin. p. Cor. p. Medietas ergo Areae Folii unius e duobus Lemnisca- a ta
lae, iacto angulo φ - 45'. , evadit aequalis - . -- . -- - - , sive
v v et v a 4 quartae t arti Quadrati Semiaxis; integrum Folium - - vel Areae Re-
ctangulorum cuiusvis et duo simul Folia, nimirum tota Cur-Vae area par est Semiaxis Quadrato. Et area tota prioris Lemniscatae ad aream totam Berno ullianae in ratione erit sesqui - tertia, quum prima sit - -- l8z . Mea autem Pormula ad indefinitam quoque perducit
Lemniscatae Bernoulliorum quadraturam , propterea quod area euiuslibet Sectoris centrici Ch CD etc. aequetur Triangulo orthogonio CIε, CIβete. in seripto in Semicirculo diametrum habente IC Semiaxem. Sane CF, Cβ etc. - a Sin. p; Iθ, ω ete. a Cosin pt, et C Iε, CI β etc.
- . Sin. p. Cos. φ uti supra. Exinde confirmatur mensura areae totius.
quum Triangulum C AI ob angulum in M. o I semirectum aream habeat Iλ' Ic aequalem -- vel non se eas te est saperias inventam. Quae Seetoram omnium centralium quadratura, Fagnano invisa, adeo sacilis et elegans mihi videtur, ut nullam cum ea comparandam repererim in Geome tria . Proprietatibus ipsius Lineae adscribenda est etiam assectio vere iacundissima radiorum quorum vis a focis emissorum MV, M'U'. si puncta etenim occursuum vel punctum unicum dum radius tangens Curvae fuerit in δὲ ε coniungantur cum foco Μ ope radioram Mδm, et a g, a daeantur parallelae radio MV, erit semper media geometrice proporti natis inter Mδ, is, nec non με, . Namque My . Iur MI'. Mε. . M . et idcirco MD. MU VM : δM' MV: is , ae similiter Mi: MI rar Dum :. η ob parallelas. Aecedit quod haec Lemniscata enascatur invertendo proprietatem localem Cireumferentiae Circuli in toties citato Problemate Dialogorum Galileii, vel etiam simplicius et ad rem aptiuε rectae Lineae IlIK perpendicularis ad alteram DIC, quae eonsistit hi MO: ML. Ou: IM', dum ex opposito in ea Curva M : MI Dr: VM , quem-
134쪽
admodum si proportio geometri ea ad Lineam reetam abse Issas inter et ordinatas invertatur, ipsa recta convertitur in Hyperbolam ad asymptotas si 88J. Nec praetereundum censeo quod generatio ipsa Lemniscatae methodo Mael auri iti suadeat absconditam veluti inesse proprietatem Cas- inianae, quum rectangula M. IL, RI. IT, SI. IX', AI .m etc. aequalia sint inter se ex Elementis, et ex demonstratis aequalia My.m MI
Et geminato ex parte altera centro Ar ac Circulo genitore, erunt Reet angula ΝI.LL . RI. TV, SI .ra ete . non modo aequalia inter se, verum etiam Rectangulo constanti atque Areae unius Folii. Contemplari autem licet Bipe talon istud Berno alliorum utpote foret inversae originis comparatione habita ad ortum duorum Semicirculorum ΣΞΨ, concentricorum geminis Genitoribus. radiisqae praeditorum. Eo quippe modo, quo Semicirculi Oriantur a Circulis genitoribus si satra IN-FIL . D IR- - Π , D IS
II ' re m --m - 2m etc., quum ex constructione praemissa et Elementis constet rectum esse angulum EuΨ , et aequaIes ubique iii te ese rectas omnes ME, M , I ,m ' cie., non ias similiter enascitur Lemniscata si Sammarum vice Disserentiae sumantur m IN-IL . IZ IR- IT, IV - Π-IX' , o sem - m ete. , uti primus dueuit II ac laurinus. In qua comparatione est admodum singulare Locum geometri eam bisariam secantem rectas innumeras, uti DE, Zθ, is etc., inter perime.
tros Folii unius et Semicirculi ΣΞΨ, esse Peripheriam trium Quadrantum Circuli genitoris, rectamque I c, quemadmodum in aliis tribus Hemifoliis . esse in tres partes aequales divisam . Dum vero ad instar Cassinianae libeat describere Lemniscatam, praesto erit methodus simplicior illa nuper a Mallitto vulgata I 89 . Ad hoc cnim consequendum sussi ei et deis seriptio Circuli DLCH axem Lemniscatae pro diametro habentis, in qua
determinentur puncta M. M' aeque a centro distantia ita, ut ΝΜ sit latus inscripti Quadrati. Tum per u traiecta qualibet re eta VΜZr, si centris radiis Ara Mar Circumferentiae circulares delineentur, occursus earum erunt in Lemniscata. Tribus igitur Circulis obtinetur id, quod quatuor Circulis Mai satius universaliter eonstruendum instituerat. Constractio autem valde elegantior a Mactaurino tradita stimulos addit ad eam L promo.
135쪽
promovendam. Dato quolibet Circulo et Fig . 56. , et Puncto extremo aut r ubi libet colloeato, ac constructione eadem servata re AD , IH EF, IR GR ete . . orietur semper una ex innumeris Lemniseatis, e quarum familia est illa Bernoulliorum. Graciliora erunt eiusdem Folia quo magis pantium I recedat a F pertinente ad Bernouuianam; crassiora quo magis punctum r citra T ad A accesserit. Pancto I infinities recedente, gracilitas accidit summa, quum Curva in rectam En convesttatur: accedente P infinities ad A, erassities evenit maxima, quum Fci lia duo Lemniscatae vertantur in circulos genitores se mutuo continge a tes in A. Angulus tangentium in nodo vel centro Curvae est idem cum CIB, vel CPB a tangentibus Circali genitoris determinatus . Aequatio Lemniscatarum omnium huiuste genetis IE RIM L N invenitur ut supra. Namque ducta chorda AS parallela radio Curvae III. nec non chorda alia SD, et a eentro O perpendiculari OQP, atque vocatis V αα - a, ΠΙ- Σ , angulo EIH p. ae demum IO': A 'ai: I idem intelligato de puncto rὶ, erit EP - Πν - Σ - AS SD - 4OU a' p. 4OQ' - a' - n. m a' - a' . u. Sin .p ubi u I , et idcxxv Σ --I - n. Sin'. p, in qua continetur Lemniscata Bernoussiorum rem spondens hypothesi του n - 2. Nec dissicilior inventio Aequationis generarissimae Curvae ipsius relatae ad coordinatas orthogonales tum, quum abscissae x a centro I computentur. Porro sacili caleato inito emerget
- quae cenuo monstrat ia singuIari suppositione et. siue b - 2a , Lemniscatam Bernovirianam. Eadem praeterea ratione, qua per Mactaurinum universitas harumce Lemniscataram oritur a pametis innumeris intersectionum rectarum tangentium innumeras IIyperbo. Ias Apol Ionianas, iisdem verticibus, et axe transverso gaudentes, ex perpendieuIarium ad ipsas tangentes emissaram a centro communi, non
diversimode quaenam Curvae enaseantur ab iisdem interseetionibus ita Ellipsibus remanet investigandum . Inter Lemniscatas ab Hyperbolis sine numero scalanis originem ducentes eminet ae media serme lae et Bernoulliana , quae nascitur ab Hi perboIa aequilatera : consimiliteς
tu Curvis ab Ellipsibus scatenis ortum habentibus distinguitur Cire
136쪽
li eireumferentia det; vata ab EllIpsi aequὶlatera . Aequatio Linearum
ab Ellipsibus eodem axe transverso, ae verticibus, et centro Hyperbola rum praeditu I9o), est ipsa mei superius exposita Σ - is a UI-n. Sin' p. sive cx - - a' x a )--na 3 o , abscissis computatis Pariter a centro Curvae, sed hoe tantum discrimine quod sit nς I. Familia itaque istarum omnium Curvarum a alagarum comprehenditur ab Aequatione universali quarti gradus. et huius sormae sae*-a' κ' I - - b γ o: species autem sunt triplie es ab hypothesibus didueendae τοῦ b a , b' a , b Ma'; atque hae primitivae species ratione di versitatis figurarum in alias subdividuntur. Eandem familiam haec etiam brevior Aequatio complectitur a se is a Ui-n. Sin'. φ, vel x
dista JI-- I - Cus. φὶ, hypothesi quoque triplici subiicienda Gn I,
π , παI. Bini tareuli se mutuo tangentes, ae Lemniscatam veluti imitantes. prodeunt ab hypothesi omnium facillima n - x seu b' a'. quippe tam evadat Aequatio Σ is a Cosin. φ, vel κ' γ' a 'at'. Lemniscata Berito ulliorum adparet in hypothesi n- 2, sive b ua . quum Aequationes illae vertantur in et is a Cor. 2φ, et lx -- a 't a: -di o. Linea recta Lemniseatarum gracilissima emergit ab hypothesi n-- , aut θ' - ω . a' ἔ tune enim, utcumque ParVus assa- meretur angulus φ, fit τὸ Σ semper imaginariam, et Oo . ab ' Ο, seua γ' o. vel is γ o. Adest denique unica Circuli circumserentia pro altero Curvarum limite in hypothesi n-o, sive b' O, proptereaqaod Aequatio vertatur in Σ 'ha, vel x'--I ' a' - o. Quemadmodum ultimus limes Lemniscatarum ab Hyperbolis enascentium est Linea recta
LIE Fig . 56. a . . et ex altera parte Lemniseata sparia sive Systemae duorum Cireulorum I X, IrEZ sese tangentium in I nodo communi Carvarum, ita geminatus hic Circulus. et Circulus alter EGE e radium habens aequalem semiaxi Curvarum omnium, ae centrum in puncto eodem I, extremi sunt limites, inter quos iacent Lineae ab Ellipsibus derivatae. Construetio istarum praesidio Circuli dati AR BD A obtinetur eodem modo, quo supra, dummodo punctum I, quod tunc erat exterius, in late
137쪽
rius vertatur. Daetis etenim per panetam I innumeris chordis, samptisque IE ID- IA. IH IF M. M m--Iθ, I ' - IC I; ete. ,-m -- am, oritur Curva in se rediens, plus minusve rostrata atque inflexa, plus minusve compressa, ae quatuor aequalibus et similibus partibus circa centrum I dispositis coalescens, cuius Aequatio inter III aut a. et angulum Em se a φ, sit z is a I n. φ ;
- a' κ' sena o, pro uti repetita earundem litterarum auxilio ea lem demonstratione luculentissime constat. In prioribus Lineis disserentiae rectarum a puncto I externo ad Circumferentiam Circuli emissarum sunt Line aram earundem radii. summaeque ad Circumferentias sunt Circulo generatori concentricas. Ex adverso in secundis Lineis summae rectarum a puncto interno I eductarum sunt earundem radii, ae disserentiae ad Circumferentias genitrici concentricas pertinent, quemadmodam Schema demonstrat. De ceteris Curvaram harumce adsectionibus alibi locus erit fusius loquendi, quum sint e Linearum Persei familia si9I . Adnotasse tamen laverit universa haec de Cursis istis obiter tradita proin diis se ab ipsis secautibus circuli, a quibus originem noscit suam Theore ma Pascalii. 2. Non multo post Fagnani labores optime meritus est Maelaurinus de doctrina Integralium ab areu bus Sectionum conicarum derivandorum. Is etenim usque ab anno M. DCC.XLII i'. ita Tractatu Flaxsonum sipa egregia dedit ae cedro digna de hoc argumento, non secus ac subtiliter admodum et ingeniose una eum Rogero Cotesio universam Analysin Ne Wtonia nam ditaverat, atque perfecerat. Par autem intervallum vigintiquatuor adamussim annorum numeratur ab inventis Iacobi Bertio ullii ad illa Fa-gvani, prouti ab his ad inventa Mactaurini. Formulae, quae ab ipso Mael aurino integrantur tota Cale uti Differentialis arte in subsidium voca-
a i 93 , progressa facto, uti Syntheti eorum ordo poscit, a facilioribus ad disse iliores sunt praesertim bisomiates
138쪽
i, neque in duobus primis tr-mnamar
rini'f - 2e - ,-- constet esse positivum vel negativum , pro
ti Semiaxis transversus a maior, aut minor fuerit b Coniugato in Hype hola data I95 . Siluit quoque de Formulis aliis, quas melaarinus expreMsit Occasione solertissimarum substitutionum . quemadmodum inui, Praetex.α quum is exeentrieitatema a -x Ua' - κ' i Ellipseos signifieet ad Axem minorem sta relatae elementum Areus ad Ellipsin eonteam pertinentis abscidi sis x super Axem coniugatum a cenuo
numeratu 39σὶ, eae , quas subiungo,
139쪽
rum formularam nonnallae eximii adeo usus sunt, ut ab ipso Maelaurinoohibeantur ad Problemata resolvenda Traiectoriarum. Temporis deseensus gravium, Curvae Elasticae, Paracentricae, aliaque in eius Tracta. tu Leetorum oculis necessario obversanda tr98ὶ . Quanta vero facilitate universae istae Formulae dimanent a doctrina risealii nemo est, qui non videat. De binis prioribus iam diximus satis in ealce a P. quomodo integrentur per arcum aequilaterae Hyperbolae. Tres primae e quatuor Formulis trinomialibus integrationem pariter receperunt in gI . ao L 32'Laa '. ae 34 '. aut per arcum unius Ellipseos, aut Per arcum unius scalenae Hyperbolae, qui arcus Postremus satisfacit etiam integrationi τὰ
140쪽
bolae dependens ex derivatit directe a Pascalio. Cui postremae expressioni si methodus MactaάtIni adplieetur, emergie
a Uxx Iga - a x gaa videlicet, areus Hyperbolae ad secuisa iiii Axem relatae ; quod erat adhuc ex Pasealio desiderandam I993. Quinimmo in hae Formala clarius elucet analogia cum expressione arcus Elliptici. Ut enim dictam in q8 . non
modo unus Semiaxium nimirum primus in Formula C-
est verum etiam alter nimirum secundus. ad quem heie refertur Hyperbola a resolutione consequitur Aequationis x' Θμ-ra O, delicet est quod per 33'R . non aecidit in Hyperbola ad primum Axem teIata. Integralia praeterea Formularum hi-- obtinentur praesidio arcus Le- mi alium UX. Qi-κ' QU. Imniscatae, ideoque dimanant a Theoremate Pasealii veluti ostendit g . 4Om ., nimirum a Linea reeta et Areubus simul Hyperbolae aequitate ea Ellipseosque . Reapse τὸ - I idem est eum
, Suppositis a I, ae z' x. Aliud autem Integrale
sam quidem, sed admodum Iaboriosam substitutionem του per ingem - 2 3.
Mirari tamen non desinam quod elapso quinto ferme, Iustro post metificationem Lemniscatae a Fagnano typis vuIgatam in Diario Veneto, etiam penes longinquos Britannos celebratissimo, ne mentio quidem hie loci, ubi de eadem agit re, a Mactaurino saeta fuerit Italici inventi stor . Quod inventum et ad sacilem integrationem consequendam dacebat alterius