장음표시 사용
91쪽
A PASCALI THEOR EMATE DERIVATIS.
Na. ε PosiTIs iis, quae potius ornamenta sunt quam fundamenta Pasealii doctrinae, eius usus in Caleato Integrali explicandus accedit. a nemine, quod sciam, Geometrarum ad hane usque diem patefactas. Tota res paucis absolvitur: directe quidem in Integralibus detegendis, quae ab Ellipseos Perimetro mensuram Tecipiant; indireete, sed non minus clare, dum dis serentialium Integratio dependeat a perimetro Hyperbolae . Commodum au tem perhibent eximiam univereae illae Formulae disserentiales, quarum summa obtineatur ope integrae Ellipseos perimetri, vel eius partiam determinatarum, praesertim post traditam a Leonardo Eulero reuiseationem illius Conteae Curvae, quam complectitur Series elegantissima, et maxime eonvergens, in Novis commentariis Academiae Petropolitanae stra . Quae Series, tametsi non ad similitudinem Tabularum Trigonometricarum et Logarithmiearum, inservientium proximae rectificationi arcuam quorumlibet Circuli et Parabolae Apollonianae, traduci possit ad rectificandos arcus Ellipseos, data horum abscissa vel ordinata , nihilominus usu non caret in caleuto Integrali, si suppetias praesertim petamus a methodo partium proportionalium, sive a regalis, quas vocant Interpolationum. etenim elementa perimetri Ellipseos datae proportionem sequantur ex doctrina Pasealii reetarum a puncto exeentrico dato ductarum ad datam Circuli peripheriam, hoe principio non dissi taliter eum Euleri Serie coniuncto condendae Tabulae Ellipticae inniterentur. 24. Transitus ab Ellipsi ad Hyperbolam familiaris iamdudum est Analystis si 4 . Eadem penitus arte . qua a Circulo vel Ellipsi aequila. tera Fig. ao. IGIIV. cuius aequatio sit ---x', factis OI a- OP, OL - ae, LX γ invicem perpendicularibus, et centro O, gradas
92쪽
6 Idas si ad Hyperbolam pariter aequilateram ad eosdem Axes AOB, UOV
relatam, ideoque concentricam Circulo, duin fingatur tantummodo permutata species x in x. i. unde aequatio data vertati r in alterama'--x', respondentem Hyperbolae eoordinat s habenti OL -x , LR γ, non dissimiliter Ellipsis quaelibet scatena CG DF vel EGLF ,
bos praedita, sed uti in Schemate positis, ae aequatione gaudens ic. γ' - a' ae . quae respicit abscissas OL - x, et ordinatas LS sive LP I. Igitur quaevis expressio analytica composita constantibus 'a, b etc. ae variabilibus x,c x; quae reseratur ad arcum Ellipseos CH, IN, ET, D cile traducitur sconsideratione tamen habita ad solas Fanetlanes τἄ x, ἀπaequales di, o in areum Hyperbolae saeiae CS.IR, EP. et vicsssim, ope artificii superius memorati. et intimae analogiae az societatis inter has curvas, quam post armusiam resolationis Aequationum tertii gradus sub- odoratam a Francisco Vieta, primas ' omnIum in areis Sectorum detexie Rogerus Cotestas IIS . Ita exi gr. quum a Theo emate 'Ρasealii laxi l 5' η. consequatur per theori .m Ungulae arcus .circuli infinite-parvuasI la de I x ριν - .aβ, scilicet AE d '---. , eri r arcus
Hyperbolae aequilaterae in sinite- parvus δε - ἀπ' Vitaque elementam Per pheriae circalaris exprimitur ope Formulae - evidens est quod exprimi debeat elementam Perimetri hyperebolae aequilaterae per pormulam alteram aes -J
r J, quae et communem originem, et cognationem eum priore, huius praesertim. m thodi adiumento, apertissime ac procul dubio Patefacit
93쪽
ostendam melioribus etiam auspiciis conversionem expressionem earum Curvarum obtineri saeto uno Semiaxium veluti Univedi
saliter enim ab Aequationeήθ' - a'-x' altera exsargit γ' - t , sives It -a -κ' , ad secundum Axem Hyperbolae, non
reeus ae supposito b m: boritar F - a' - x vel μγ -x -a ad primum Axem Hyperbolae eiusdem. 25. Pascalii inventum, quod potissimum continent s3'. u . ae8 . antecedentis Sectionis, sic algebraice transcribitur. Data sit circularis Cireumferentia AEFG, centro O praedita Fig ar. , sitque punctum B in diametro FA, vel eius productione, a quo rectae innumerae BD BE etc. ad Peripheriam emittantur. Vocatis radio OH a, c, ae, erit DE--ex3'. praecedente, et ex β'. R' BD G - - Γ, ideoque
Ira, qui arcus .imiles SM, ad Ellipses eo ςas Pertineant, deserἔptas ac sectas legibus iam expositis in P . Sectione. Est igitur .
- Ira , quae duo Formulae caput sunt huiusce universae theoriae. Semiaxis transversus minoris Ellipseos LΚΜ est AM: M, et Semiaxis coniugatus o lla: Semiaxis autem transversus maioris Ellipseos similis NM estas, et vicissim semiaxis coniugatas AF aa. Quum it que semiaxes homologi vel cognomines dearum Ellipsium similium sint in Tatione c-a:ς--a, nemo non videt esse te a LV se a N. aeproptetea duplicem integrationem Formalae datae disserentialis, nimirum OU- α, in unam eandemque resolvi. Quae singularis
asseetio dum admirationem excitavit aliquibus Analysiis, ac praecipue Bougainvillio iret , nunc admirari potius liceat quanta facilitate deleeta sit atque
94쪽
atque illustrata ope syntheseos geometri eae a Paseat i laboribas mutuatae. Nec disicultas oritur dum fuerit e a, vel ις a. In primo etenim casa
: ga ideoqde algebraice integrabile .
sive etiam o. PV o . oo , qui valor indesinitus ut recte determinetur, ad similitudinem Ellipsium confugiendum est, ubi ΜΥΑΚ: AF . O .us, videlicet o . PVzπα. s. ur, uti superius. Algebraicum autem Integrale no rant omnes, quum agatur de Disserentiali - ώ. a1
quemadmodum constat ab Elementia. In altera vero hypothesi, quae punctum re contemplatur intra dati Circuli AEFG ei reamserentiam, nihil aliud oportet ex usitatis legibus Analyseos nisi mutatio τοῦς - a in a - e. 26. Proderit interea paululum immorari in hac Formula meditanda . utpote quae complectatur universitatem argumentorum ad istam Caleuli Integralis partem spectantium. Ac inprimis observandum est quod duces . . o Ua --c' aca Pascalio ipsa formula unius dimensionis adeo c--a Va - x
servet homogeneitatis legem, tantoque nitore perdueat ad sibi parem Arcum ellipticum SM, ut omnia graphice repraesentata sint in numero et mensura, et quid significet Formula, quid sibi velit. quo tendat, cuius , Figurae geometri eae filia sit, quomodo inter Circuli proprietates elementares sit numeranda, et quanam ratione novum laedus aperiat inter Circulum et Ellipsim subiectum oculis videatur, atque per gradas a rudimentis Geometriae profluat et adolescat pereelebris illa expressio Analytiea . Quod desideratum saepenumero', sed rarissime consequutum Algebrae Collectanea passim demonstrant I9ὶ . Accedit altera utilitas deda- cta ab aequalitatibus Arse Uua a -- et W-- .RΥ - i-- . AD An c a
95쪽
denter imiteant ipsius Formulae limites, ni miram ultra quos evadat imaginaria, quam impossibilitatem et denominator eiusdem Formulae, et constructio geometrica a Circulo AEFG derivata apte confirmant. Sed haee ipsa Formula primigenia rectificationis Ellipseos Conicae, quam plerique Calculi Integralis Scriptorum silentio praeterierunt, mirum in modum consentit cum ea, a qua Leonardus Euterus nuperrime Seriem suam derivavit ad rectificandam Ellipsim , veluti in β'. 23''. iam monui . Formula etenim Euleriana tiao . longius a Disserentiali et Integrali Calculo deducta, et ope Loci ad Parabolam concinnata illi , est pro Arcu elliptico s C. 4 a' b - a -b in Σ- , I cci V- ,2 oa I - a suppositis a et b Semiaxibus. Revera . quidquid sit de constantibas . eandem sermam habet cam mea antecede trie expressio data ab Ealero; quod eo magis effulget cum ad homogeneitatem servandam fiat et , qai numeras est, πια , et rsit - AD radio Clreuli in Fig . 8'. deseripti, in quo CB a Semiaxi transverso, b Semiaxi coniugato Ellipseos datae, uti fas ius in M'. expositum. Tunc facta cD- c, Formula vertitur in s t our ste C que -- c'-2cz . . , - - - - , an qua τὸ da; a r ν' - a a I r - α
negativum est ob hypothesin assumptam ab Eulero laa), et coeffetens ideo debet esse T , proptereaquod in mea hypothesi se-
miaxis transversus Ellipseos sit - ar, dum in hypothesi Euleri ς γ,
ex quo sit arcas Ellipsis Eulerianae s - tat .
ex Ellipsiam similitudine, nimirum eotaiciens prodii demonstrandum susceperam. Non modo igitur Formula Euteri adamussim eongruit expressioni, quae oritur a Pascalii Τheorhmate, verum etiam non differt ab alia, quam Ealerus ipse tradiderat viginti quinque annos ante in No-
96쪽
- CommentaHIs Iisdem Academiae Petroposi ense quum agebat de Theoremate demonstrando Ioannis Bernoullii si 23ὶ; adeo ut Pascalius, Bernoullius, et bis Euterus dicendi sint eadem diversis temporibus ae diverso itinere iacto prodidisse de perimetro Ellipseos Apollonianae. 2 . Ceteris omnibus manentibus permutetur duntaxat initium abscissaram x in Formula Exi a
x- Σ', quod simplicissima constructione in Fig . ai '. obtinetur si erecto radio OG normali ad diametrum FA, et iuncta BG, fiat angulus OG QV OBG , et recta BQ bisariam secetur in H; namque hoc erit princi Pium abscissarum a ex Euclide. Facili substitutione facta, consequitur SMa vcte T dΣ ΑΙ - - - . sub ova forma Analvstae ex-
pressionem universalissimam Disserentialium ab Ellipseos arcu In Summatione pendentium comprehendunt. Veruntamen ut ad istam formam per- eniant opus est, ut primum ab Ellipseos Aequatione elementum Areus eius Curvae deducant, quo iacto substitutionem operosissimam adhibenta Parabola mutuatam . Hanc equidem methodum sequutus est Alembertus Ι2δὶ, omnesque pene post eum Mathematicarum Institutionum Scriptores repetentes, inter quos sub manus praesertim habeo Boaga in villium.
Riccatam, atque Cousinum sies . Incipsunt ab Aequatione - γ' - a- x' , et praesidio Cale uti Disserentialis inveniunt o
κ' , atque ad Formulae istius transformationem ineundam substituunt a ' - x'--x az, ut tandem adipiscan
tur expressionem Analyti eam consimilem illi , quam directe suppeditat Theorema Pasealii post permutatum tantummodo in eodem Axe abscissaram initium. Mactaurinus ipse . qui Alemberto praecessit in huius Formulae eonsideratione si 26ὶ, prolixiore Synthesi speciosa usus est ad illam Formulam non modo integrandam, sed et alteram simplicissimam, quae
97쪽
in casa eiusdem singulari eonsistit per inserias dicenda , nimirum-; Iadeo ut, si recte comparationem instituere libeat. nullus dubito quin prima fronte de iisdem formulis heie agi vix eredibile fuerit. Occurrit pa riter in methodo Maelaarini substitutio variabilium per Locum Parabolicum p b ab z - - , nec non per Hyperbolicum Σ - - , sive ae -- ὲ quae Omnia a x pe vitantur dum ea Formula oriatur a Circuli Peripheria Iazὶ . Originem istam qui calleant statim vident ruousque Formula
bilis di quin impossibilitatem offendat, nempe ob HA ad se, sive a limite
portionali post 2OR, BA usque ad alteram tertiam post EOB et BF. Vident eadem in Formula quanam ratione algebraicam integrationem reci Piat unico casu ι - .s, vel puncti B cum A congruentis, quum Theore. ma Pasealii vertatue tune in Ungulae semi- rectae superficiem geometrice quadrabilem super Hemicylindro Basim habente Semicirculum MFL, et idcirco ab A ad D debeat esse ete. m, seu AF
98쪽
28. Ellipsis, cui Formula praecipue reseratur, semiaxibus gaudet, uti die tam in g'. 25'. , aequalibas 2a, et . ua. Accedit ad eiusdem Formulae integrationem Ellipsis altera similis, cuius Semiaxes sint aa,
et aa: sed neutra harumce curvarum commodum praebet quantum fortasse optari poterit ad summandam Formulam uni Versalem - . --,
primo intuitu generalitatis inops, ac plena laboris in constantium instituenda comparatione. Huic tamen incommodo medicina paratur ab ipsa Pascalii doctrina, quae iuxta I. I 8'R . non unam vel duas dunta Tat, Sed innumeras Ellipses similes in prompta habet, commodioremque operi eli gendam Analysiis relinquit. Quicumque igitur comparationem respuat Formularum, quae tamen nec universalitatem offendit, nee adeo disiicilis est, ut respui mereatur, utpote absoluta aequationibus f , g c Λ f Vf - M' . . .
- - - - - in , nimirum praeben-
tibus Semiaxes Ellipseos directae ua - ω' , et 4 UI - e', qui totam eoneladant Figuram et
dum a puneto B ducatur tangens Circuli BY. et a contactu X emittatur XZ ad diametram perpendicularis. Erit itaque in nova Ellipsi cuius
Semlaxis minor Semiaxis ipse ad Semiaxem mino-
99쪽
--, videlicet υ ----ma -- uti supra, necnon
. Postremus hie valor Ellipsin alteram similem indicat, quae Se-
inter se proportione του c--a: c - . , nempe Elliprin in ipso schemate delinea tam I 28ὶ . Quapropter Semiaxes geminae Ellipseos, cuius a da . Vincus inserviunt integrationi Disserentialis
1 fΣ - Σz - u- , ita hae bifor-u continebuntur , g communi earum Ellipsium' altero Semiaxe manente. 29. Nonnulla de hae refusius eommentari admodum iuverit. Ellipsis primigenia aut directa, cui nomen etiam raetificatricis- natae, relationea da Querhabita ad Formulame ste δ, toto iure devolutum censuerim , Semiaxes consequitur summa constructionis Reilitate perinsignes, transversum nempe az AF, et coniugatum - . sta
--AX FA - re, quae re sit tertia continua geometrice proporti natis post BF, AF per Euclidem. Ex adverso Ellipsis indirecta. quae ordine minus nativo dimanat ab invento Pascalii, Semiaxes habet transver- BZsum Q, eoniugatum quorum constructio nec aeque simplex sit, nee originem suam aeque in aperto ponat, sed tantummodo inserviat maiori commodo Analystarum. Ueruntamen, aut directae, aut indirectae Ellipsi is fiat
100쪽
sat locus, iidem deteguntur limites Formulae indieati ab Ellipsibus sive earum axibus imaginariis. In prima enim Ellipsi hoc accidit dum
a v j imaginarium fuerit, et ideo imaginarius etiam Semiaxis transversus ua. et circulus AGFD post limitem praetergressum Radii a - o, sive g, in quo limite tota eessat applicatio directa doctrinae Pasealii. Ellipsis quoque indirecta evadit imaginaria eodem casu τοῦ
I ς M , nimirum Q .uc. : tunc etenim in Aequatione qua- liceat νdratica v - fit v, scilicet Semiaxis transversus imaginarius ob a imaginarium I 29 . Haec omnia mirum in modum consentiunt cum iis a Bougainvillio, aliisque, prolatis in Institutionibus Calculi Summatorii rao . Selecta autem Ellipsi primi Venia ad constructionem Integralis eius Formulae, quam aboriginem nuncupare