장음표시 사용
121쪽
oiugati superius rei venti. Consensus vere mirabilis, quo nec facilior, nee maior in votis haberi unquam possit si 46ὶ.. 26. Quamvis obliqki Coni animadversio nullatenus locupletiorem reddat Atralysin , uti nuper ostendi, multum tamen continet divitiarum immediata consideratio Superficiei Cylindri itaDui iuxta priorem Formulam 9'. I , et ad mentem Pascalii . Vocatis enim radio Baseos a AG Fig'. 6 '. , abscissis a centro N - Σ, altitudine Cylindri BO m, et constante AO n, Formala illa GIGp GA- . GR algebraice translata ita exprimitur de adi. Ista expressio, quum elementum praebeat Superficiei Cylindri scalani, adaequabit ex dietis in
eodem Rectangulum BA .d ΔΠ; et idcirco erit
m '-areum Ellipseos, cuius Semiaxis 'transversus a, et -a, abscissis super Axem minorem a centro , ut ex ipso Schemate constat.
Um' - - n numeratis et aequalibus --
Absque praesidio igitur vulgatae methodi Differentialium , ae nequidem salutato Triangulo Ellipseos characteristico, Superficies Cylindrica scalana Formulam rectificationis illius Curvae eonicae patefacit guffultam solum modo limitibus Circuli, nimirum Elementis Euclidis l τ). Rite enim . Perpensa expressione GH - - . et in Calculum intro
122쪽
differentiali observandum est τὶ aequale ex hypothesi Quadrato Semlaxis maioris per Quadratum minoris diviso, scilicet ex Conicis Para metro ipsius Axis minoris per Axem minorem divisae . Subrogetur nunc,
Areu infinitesimo Ellipseos , quemadmodum passim Analystae decernunt si 8 . Verulitamen prior illa Formula a Superficie Cylindri orta admodum universalior, et ad Calculum Integralem promovendum aptior existimanda, utpote quae, unica substitutione simplicissima adhibita Σ qώ m' o qx , ad Lineam reetam, formam adsumat I -
Areui Ellipseos conicae. Integrale itaque I -- --, in quo h - x s. g. h, ε positivae magnitudines sint . pendet ab Ellipseos reetificatione, atque ita Pendet, ut non modo in eius generalitate iudicari debeat refer.ri ad perimetrum Ellipseos, sed etiam definiri ad quam Ellipsin reseratur specie et magnitudine datam. Quatuor etenim quantitates datae L e , h, ε quocumque in casu singulari determinant Iri,n, o, et dum comparatio in-
stituatur cum formula praecedente, nimirum n- - , a U, et . T. ex quibus nascuntur Semiaxis Ellipseos quaesitae f'k-6h - . . .
- αἰ- - ω ----, Parameter dimidia huius Semiaxeos o
123쪽
tria computatae . x. Qilibus omnibus positis erit
- in Aream Ellipseos iuxta praecedentis methodi canones
in numero ac mensura determinatum. Haec autem facillima derivatio appendix est doctrinae Pase alii, qua rite intellecta obtinetur quoque, uti Ostensum , notissima Functio complectens directam rectificationem Ellipsium eum ceteris Funetionibus indirectis eodem ducentibus , et in quibus enucleandis Geometrae celeberrimi adlaborarant nuperrime li49 . 3 . Omnes norunt ex principiis Conicorem Aequationem Ellipseos ad maiorem Axem relatae eodem penitus modo compositam esse atque illa ad Axem minorem , de qua mentio facta in β'. antecedente , et nequidem in nullo universalis expressionis Coellicientium signo differre .
to a reus Elliptici eadem manet dum abscissis M a centro similiter numeratis ro a vice Semiaxis coniugati aut minoris, veluti supra, vertatur in a' Semiaxem transversum . Unicum in usu Formulae , eluaque applica tione adparet discrimen, nimirum quod in prima Functione M I , et idcirco COessiciens seeundi termini Numeratoris-- I in concreto posi-
tivus sit, quum in altera e contra et ea propter -- I ne ua ua
gativus. Analogae igitur Formulae in secunda hypothesi
. quae postrema Functio ducit originem ab alterauni voca
124쪽
tur horumce Differentialium aeque inveniantur ope areus Ellipseos multi- - Plicati per V -- ob sιgnum mala tum τοῦ aliis omnibus manentibus, et eadem, uti superius , construetione parata , semperque deducta a Pascalii Theoremate. 38. Diversimode procedit res in Hyperbola. Haec etenim Curva ad secundum Axem aequatione gaudet sex', sed ad primum,
signo permutato, - a 'sex'. Ut exordiar a priori, in aperto est per ea, quae innuimus in fine 9'. et in sa L. enasci ab aequatione ad Ellipsit, fieto huius Semiaxe a a UM. Sed a reus infinite- parvus Ellipseos ad seeundem Axem relatae est ex ς'. 36' - - 2-- , suPpnsito b Semiaxe coniugato. Igitur ar- Uis ae eus infinite- parvus Hyperbolae, dum reseratur ad Axem secundum, est di i a di Q r
---- --- - - ----- , abscissis
-- x a -- κ' x a centro pariter computatis. Formula isthaee, tametsi a Triangulo diseserentiali Hyperbolico haudquaquam derivetur, adeo consentit cum ea ab Attalystis prolata si so). ut miraeulo sere proxima videatur. Lucem etiam perquam maximam ab hac Formula mutuantur Disserentialia, de quibus sermo in antecedentibus. Namque eadem Disserentialia huc in easu ita composita sunt indae
125쪽
quod ad mentem a 'M. praebet arcum insinite- parvum Elli I scos, suppeditabit elementum perinietri Hyperbolae statim atque ita scribatur x Ux ora cum variabilis x subeat qz, eX urget Dum ergo in lo-
126쪽
gnis tam in Numeratore. quam in De nominatore, ae illud in ari
gratia proposita unum ac idem significare, unde consequeretur ineertum futurum iri an ope Ellipseos, an Ope Hyperbolae summarentur. Tollitur vero disse ultas omnis a Coesscientium comparatione, quae comparatiocriterium tribuit ad dignoscendum quando ab Ellipsi, quando ab Hyperbola Integrale ipsum pendeat, veluti obiter dicam postea quam de inventis mecati. Euleri, ac Lexellii in β'. 44 q. mentionem interim si si . o. Fundamenta iam posui in Superficie Cylindri scaleni nimirum in Elementis Geometriae sa) praestantissimae illius partis Cale uti Summatorii, quae cognationem intimam habeat cum arcubus Ellipseos et Hyperbolae . Ceterae Omnes Functiones HFerentiales arcuum ipsorum praesidio integrabiles ad primas reducuntur hactenus explicatas, et facillima artificia analyti ea ad hoc consequendum exstant in vulgatis operibus de Calculo inlinite - parvorum . Nihilo tamen minus ordinem temporum sequens nonnulla delibabo vel ut novis adcessionibus res suapte natura elegantissima eo magis effulgeat, vel ut inutilibus ramis amputatis feliciores fractus inserat doctrina Pascalii. In hac provincia exornanda omnibus vere praeivit Iacobus Bernoullius, tametsi Iulius Carolus Fagnanus ab Auctoribus Institutionum Aηabseos Bononiae editarum and M. DCC. LXVII '. pri-K mas
127쪽
nras tenere nuntiatus fuerit, quemadmodum scrip*erunt in Praesitione Voluininis II . pag . VI'. . et rursus in Capite XII '. spag'. I9I . . Ille etenim usque ab anno M.DC.XCIU'. versans Isochranam-puracent icam a Leibnitio propositam adseruit Obtineri posse ope Lineae
ex iam dietis in β'. a 4'. ab areu Hyperbolae aequi laterae pendet. Summo autem ut erat ingenii acumine praeditus aeque non vidit a rectificatiotie Coni - sectionum consequi etiam Integralia c--. -- .
quorum duo prima ab arcubus Lemniscatae suae,
tium ab arcubus simul eiusdem Curvae novae atque Ellipseos derivari tantummodo indigitavit sis 4 l. Linea illa percelebris sis s) eodem serme tempore inventa suit a Cl. fratribus Iacobo et Ioanne Bernoalliis tr 56ὶ . In aperto enim est Aequationem ipsius Lineae ab Iacobo traditam xx II et a Uxx-II ad unguem cohaerere descriptioni graphicae ab Ioanne prolatae, qui vult abscissas pares esse V uz--zet, nimirum ordinatis ad IIyperbolam aequi lateram. ae vieissimordinatis ad Ellipsin aequilateram . sive ealculo inito, ex Aequationibus F
ua e, vel denique x ' a' - a T. V , ac supposito θ' -za , oritur x - γ' - b Ux' γ' uti superius lis in. Haec omnia viam equidem straverunt Fagnano in tentamine pulcherrimo recti sicationis Lemniscatae, quod Primum edidit vertente anno M.DCc. XVIII '. in Diario Litteratorum Italico i583. Sed methodum potius syntheticam, quam analyticam sequutus Pagnanus , quae postmodum Mactaurino etiam placuit
128쪽
euit sisy , non potui quin duiata rem quod inventionis suae artificium
absconderit; illudque nativae simplicitati, si coniecturae locus sit post inventum simile ac pene idem Iacobi Bernoullii ex Actis Lipsiensibus Fa-gnano cognitum, aut sacile cognoscendum, hanc in modum restituere satago. Arcus non unius Lemniscatae, verum etiam simplicissimae Curvarum Elasticarum vel Lintearium ti6o exprimitur a Formulac c Ua' et
: praesidio arcus Ellipseos. ReStat igitur ut resolvatur secundum . Est autem -
dam, quod postremam Integrale per 3έ μ' . refertur ad arcum Uyperbolae aequilaterae ex deductis ab ipsa Pascalii doctrina si sit , simul cum Linea recta negativa algebraice data. Duobus igitar peiae versiculis tota res absolvitur de Lemniscata reetificanda, nec non de Curva Elastica aut Lintearia, cuius Aequatio sit - cunctaque initum in modum consentiunt cum iis a Fagnano et Mactaurino Iongius ex- .plicatis ci 6 a). Pascalio itaque duce non duntaxat unicum Integrale
UI; - ν quod Iacobu 3ςrnoullius symbolum arcus Hyperbolae Apollonianae esse adfirmaverat, sed cetera quoque. γ' - ,
io' et is a da . - . . f---- ad constructionem facile perdueuntur
129쪽
-8 hoc ordine servato. Primum, quod Bertioullius ipse edixerat dependere
ab areu bus simul Lemniscatae et Ellipseos, pendet tantummodo ab arcu Hyperbolae, et Linea recta si6aὶ: secundum, quod ab arcu Lemniscatae consequitur iuxta Bernoullium, notum fit praesidio arcus Ellipseos. Hyperbolae, et rectae Lineae: tertium denique, quod pariter ope arcus Lemniscatae dignosci adseruit idem Berno ullius, ad secundi formam redacitur si supponatur Σ - - , quo facto reapse convertitur in
. Neque inter Fagnani inventa illud reponendum censeo
τοῦ I x. V1- ω', nimirum arcus primae Parabolae - 16 3, Pen
dentis a Lemniscatae rectificatione . ideoque Ellipseos et Hyperbolae. Ioannes enim Be noullius multis retro annis id ipsum invenerat loquens de Curva seo', et redarguens humanissime, uti decet, Leibuitium
propterea quod adseruerit τὸ I 6 v γ' - a' idem esse cum arcu Hypere holae Apollonianae si65J.
4 I. Dum Lemniseatam tracto leetorem non pigeat aliqua me eommentari de hae Curva in recentiorum Geometrarum historia summis laudibus praedicata ob admiranda eius symptomata I66 . Occurrit primum disseruisse Fagnanum de Lemniscata Bernoulliorum, Veruntamen erraso in halus Aequatione adserenda, quam ita exposuit xx a Uxx-n, sive α' - a xy-- o in Diario nuperrime memorato I6rin. Haec etenim Linea altera est, sed simplicior ae diversissima Lemniseata, cuius
proprietates praecipuas et Alembertus dedit in Enedic edia si68ὶ, et ego fusius alio loco explicavi I69 . Istam vero prae omnibus Lemniscatis an liquiorem censeo, quum ichnographia sit Curvae Cyclocylindricae primariae totum Cylindrum rectum complectentis siro , sive Circuli Cylindri- ei uno circini ductu depicti ae dimensi a Cl. Robervallio ante dimidium praeteriti saeculi si et I . Facilis etiam ope Circuli eius descriptio graphica in Plano per puncta. Resoluta quippe Aequatione in Proportionem a ' :x' a' - κ': γ' , patet quod si describatur Circulus ABCD Fig'. 3 . . cuius radius rama, et ducantur in Quadrante quotlibuerit ordinatae
130쪽
EF, E P. EVFV. EV PV ete . . et harum quaevis dividatur in O. O . O , CV
etc. uti radius m in F, F , I V, P etc., erunt puncta O, O , O , O ete. in Curva quaesita. Quae proportionalis sectio obtinetur emissis a centro I ad puncta R. R , R , R etc. occursuum rectarum Est. ES .E R .E VRV etc. perispendicularium tangenti BG rectis lineis IR , IR , IR'. ra ' etc. e x triangulorum similitudine ; ista que deseribendi methodus nos docet quatuor aequalibus et similiter positis partibus circa nodum I constare Curvam, tangentes eius in B ac D esse ad eius axem normales, tangentes GIL, MIMin nodo I ad normam esse inter se. et ideo quo ad axem Dra ad angulum semi- rectum inclinatas, ordinatam Circuli E F bisecantem radium Ili bisariam secari a Curva in O , ae totam Curvam nodatam IOVE NUD P Iintra angulos rectos ad verticem oppositos HIL, Μα comprehendi, et in consequentibus pariter rectis HIM, KIL nullam eius partem exi tere. Sed Lemniscata ipsa trigonometrice quoque institui poterit. Dam etenim ar eus Circuli AE, AE , AE , AE etc. vocetur φ, et radius aut semiaxis Ict I, erit ordinata quaelibet Lemniseatae OF. O V. O V , O 'F' etc. Sin. φ κ Cor. φ . Aliter etiam, si placeat Aequationem Lemniscatae quo ad coordinatas orthogonales convertere in Aequationem ei rea cum I compositam. vocatis radiis NM , IO', Io . N etc. - Σ, angulisque L IOV , BIO , BIO , BIO etc. - φ, erit Σ'. Cos ψ - a'. Fa .
tior ad Curvae proprietates investigandas Ira . Porro qui rite tractaverit Lemniscatam celebriorem Berno ullianam ipsi met eius descriptioni a solo Cireulo derivatae obviam ibit, quam iamdudum dedit Mae laurinus, sed ab Hyperbolae aequilaterae adsectionibus diductam Iza . Haee namque Curva Fig . as. ad Axes praecipuos DIC, Em invicem normales rela
nimirum numeratori valoris του Σ allus Lemniseatae Im J. Dato nune Circulo quovis MLΥ, cuius centrum Μ, ae producto radio ML donec in Isit