장음표시 사용
81쪽
fSU, VI I - 2X'Z. An, quam brevitatis caussa praetermittere liceat. Quae
omnia sacillima sunt si consulantur II . 2' . ac Ia' . Prima hypothesis, in qua PII SV, simplicior est, et Theorema Pascalii suppeditat. Secunda ΝΡ . IUPpraebet . AK - XA , tertia . AK etc. etc. , quod indicat augeri, aut minui debere Hemicylindrorum isoperimetricorum latera reci proce ut Basium radii, quemadmodam supra. Lateribas autem in ea P Portione reciproca auctis, vel diminutis, augentur quoque vel minuuinar AU in eadem ratione propter triangula similia, quod alteram conditiOnem Formularum adimplet. Namque prima hypothesis iubet esse A
Vara . AN; secunda vult . A E. AN, tertia Petit U Z AN, et sie de ceteris in infinitam. I9. Accedit pulcherrima contem pilatio , quae docet quomodo disponi
possint in Planci, vel Cono iacente. omnia latera cuiusvis Coni erecti sca leni. Ea, quae de foris vicariis in gβ. ia ' et I φ. disserui, ad hoc inveniendum veluti manu ducunt. Sit enim, uti superius in Fig. 2I., Vertex F Coni obtiqui, et II scus eius vicarius. Latera CF. AF, quae sunt maxi otim et minimum in Superficie Coni, ita producantur, ut CT CII, AS: Ast; quod iacillime consequemur, quum recta coniuncta Ira parallela evadat alteri Cri propter π: ΛΥ A. CΠ: AT 'CI : AS ex constructione. Systema duorum Conorum similium oppositorum ad eandem verticem F.
quorum Triangula Cra , Tri sint in Plano ad Bases parallelas normali, latera habebit singula aequalia singulis rectis a puncto II ad cireumferentiam ABCD emissis. Nam ducto ubilibet latere Vm, iunctaque IID, est ' UD'. ra: AH MO: AS 'm: DU, et ideo DV ΠD etc. Nunc a puncto T ducat ex T 1 parallela ad YA, fiatque eum diametro Circulus in eodem plano Circuli dati CDAB. Conus ille scalexus, qui pro basi habeat descriptum Circulum CD, pro vertice punctum Γ, pro altitudine perpendie utarem TZ. latera singula habebit aequal4a singulis reetis homologis, quae a puncto II ad Circumserentiam Circuli ABCD emittantur. Exempli gratia erit Tei IIB, TY HY, atque idem dieendam de innumeris
rectis ad extrema chordarum a puncto contactus C eductarum , et similes arcus secantium. Et revera latera huius Coni aequalia sunt singula singulis homologis Summis laterum Conorum ad verticem F oppositorum, pro Pteri
82쪽
pter similitudinem triam Conorum Gn. πάε. IVI, et T 1 Ar ra.
Construetio itaque ad resolvendum Problema istud, tam directum, quam inversum . hoc modo poterit exornari . Detur Conus quilibet scatenus EABCD Fig. 24. . In eodem Baseos plano sitae supponantur rectae EC, EA, aequales maximo, ac minimo laterum; adeo, ut EF in ipso plano posita repraesentet altitudinem Coni. Secetur deinde CG -CE, et GH et . EA, atque diametro CH Circulas HICR describatur, solutumque erit Proble ma . Rectae nimirum a reperto puncto G ductae ad inventam Circumserentiam HI pares sunt Lateribus singulis Coni dati . Pascalius casum
unicum et facillimum huiusce universalis Problematis solutum dedit 94ὶ, duni scilicet Conus datus CBADL minisum L A suorum laterum habeat
altitudini aequale. Singulari hoc in casu, si eadem repetat ar construeti. - , --AL . erit CA LA mP- - 2m . , quod mirum in modum eum Pascalio consentit . Nunc detur vicissim Circulus HI , pulictumque G. a quo rectae emittantur ad eius Peripheriam , ae quaeratur conus latera habens aequalia rectis illis in plano iacentibus. Problema hoc inversum est equidem indetermitratum, quum ex adverso directum unius determinatae resolui nis sit capax ysin. inter GC, GH sumat ut G 3 media harmonica proportionalis, qua bisariam secta in 'F , describatur centro 'E Semicirculus βο- . Rursus centro C. radis CG, descriptus sit arcus Circuli, indefinitus GSU. Dueatur tandem quaelibet recta G. secans Semicirculum in ν, arcum in S; iunctaequea H parallela sit . Conus ille, qur pro basi habeat Circulum Diametri CT,
latus maximum SC, minimum ST . verticem S, altitudinem S , erit unus quaesitorum. Per doctrinam etenim Galilaei CG: GH M. . νH CS: SΣ propter parallelas. Sed CS CG ex constructione. Uitur et ST GH Recta autem G secat Semicirculum. ipsum etiam in alio puncto P, et ideo dueta quoque Sr parallela ad PII, Orietur Conus aster basim habens Cireulum diametri CF, eundem verticem, eandem altitudinem, ac eadem latera cum priore, quum evidenter sis SΥ --. Idem arguendum de recta Ca E etc. etc., quae praebet alios duos Conos CEA, CEX gaudentes communi vertice, et altitudine, atque iisdem lateribus, sed tamen insistentibus diverso Circulo, uno nimirum diametri CA. altero diametri CX. Coni igitur tot exsistunt innumeri parilateri scaleni, quot inminera puncta exstant in arcu GR a tangente CDR definito, quorum
83쪽
quilibet suum eo mitem habet cum eodem vertice parilaterum Conum aeque altum, sed Circulo maiori iti sistentem, excepto unico Cono CRI . Cui Us maximum latus est tangens CDR, et minimum I T consanditur eum ipsius altitudine s96 , qui comite caret. Nullus autem horrumce Cono-Tum sine numero insistere unquam potest Cireulo aequali dato HI , qui Basis est Coni iacetitis, cuius apex in puncto G; sed omnes pro B si maiorem Circulum habent. Ea vero lege progressio Basiam procedit, ut inter duos limites desinitos comprehendatur, maximum nempe Cireulum diametri GC GH CZ, minimam Circulum diametri CG - GH CH, Fidelicet Circulum datum. Circulus ille maximus Basis est alterius Coni iacentis Parilateri quo ad iacentem datum . cuius Basis est Circulus minimus, qui duo Coni iacentes conini unem verticem habent G, limitesque sunt Conorum erectorum sine numero, qui ultra limites istos progredi nequeunt. Primus Conorum iacentium verticem habet intra Basim, secundus extra ; et qaod ii sint vere pari lateri, eonfirmant praemissa inici '. Si enim da cantur quaelibet rectae GV. GI etc., et e te. , quibus postremis parallelae sint Ge , GD, erunt arcus ΣΦ, ΖΘ ete . simi les Arcubus e te . . quum sit ex constructione c3: βH CG : GH
nus explicata arguendi methodus de affectionibus puncti G positi extra Circumferentiam IIICL convenit etiam puncto G intra circumserentiam ΣΦΘC. ita, ut nullum aliud diserimen intersit, nisi quod innumeri Coni pari lateri. eorumque Bases ab iisdem timitians determiuatae inverso ordine progrediantur. 2o. Corollaria qdam plurima consequuntur, quae saltem obiter adnotasse iuvabit. Primum praecipuumque est Problemata Summae laterum in arealos baseos Coni scaleri , et Summae rectarum in are ulcis Peripheriae circularis dum emittantur a puncto in eodem cum ipsa plano iacente, talem tantamque habere inter se cognationem, ut sint unum et idem
Problema . Aut Conus itaque detur i Fig. ur. J ABCDr, cuius basis ABCD, altitudo TX , aut rectae dentur emissae a puncto II ad Circumserentiam eiusdem Circuli, dummodo In sit occursus diametri CA productae . et 1 n perpendicularis ad TO , quae bisecet angulum crA 98ὶ, unicae formulae et expressioni non modo, verum etiam eidem Ellipsi subiicitur Problematis
84쪽
blematis resolutio. si etenim qao ad pane tam in Problemati satisfa-eiat Hemieylindriea superficies FCNIGH, ubi latus CG - cId . seet hoe latere CG in Μ ita. ut - - π . ductoque plano Q.- Basi pa rallelo. aeque satisfacit superficies Hemicylindrica κυρον Problemati in cono. nullaque expressio dispar. nec nova unquam di multas exsur git. Proportionalis etiam sectio saperficiei Semieylindricae hac arte poterit permutari, nimirum, dato Cono ΘCT altitudinis T c. et reperto
puncto Π iuxta f. 39'. ae Circulo ABCD. superficies illa Hemieylindri. in P mes tali adamussim latere praedita. ue CG - ΠC, Problema ipsum resolvet quo ad panetum alterum T dum latus idem CG ita prodaeatur in
E. ut CA: Cn CG: CE , quun, pari lateri sint Conus erectus et iacens. et summae laterum in arculos Basium proportionem habeant diametrorum earundem . Quae methodus viam sternit ad allam primum a Robervallio explicaram 99ὶ in resolutionem Problematis inversi. quo petitur Sammareetarum in areulos Cireuli datae Superfiete. Semieylindricae aequalis. Siquidem Auetoe ille, Cylindro dato ιι-- AEDDr s Fig. 25 , Conum iu stituit pariter scalearum CFG. qui latas maximum habeat re aequale axe seu lateri Cylindri, et minimum FG aequare altitudini coni et Cylindri. Quo facto, inter datas CG, CB mediam adsignat geometrice proportiona lem CII, quae diameter erit Baseos alteri4x Con. similis CHH. cuius Summa productorum e lateribus in arculos Baseos aequabit medietatem Superficiei dati Cylindri tool. Praemissa etenim docent Summam ete. in Cono FCG esse ad hemicylindrieam Superfietem AE veluti m ad CR. nimirum ex constractione ad CV, scilicet Summae ete. in eodem Coni FCG ad Summam ete. in Cono MCre, propter eorum similitudinem. Pr blema hae autem inversum universalius etiam traetari poterit si Conos simul erectos et iacentes contemplari libuerit. Et revera, data Superfieia Hemieylindri euiusque AB EF Fig . 26. . in quae latus, vel axis, vel perpendicularium maxima DB, altitudo, aut perpendicularium minima DG, inscribatae primum in Semicirculo ABC Circulus pro diametro habens radium in. Deinde in BII. si opus fuerit producta, secetur BL - BD . et dum arrideat sortana, quae donet etiam L H - DG. erit Summa et c. metarum a puncto L ad Cireumferentiam HOBR aequalis hemie, lindri eao Superficiei. Non favente autem fortuna. tum ope centrorum in B et Η,
utque intervallorum BD, - , reperiatur punctum S; eri Nae in Cono,
85쪽
qui Basim habeat Citentum diametri ΒΗ, ae TrIanrnium Bsu ipsi Basinor male, Summa laterum ete. aequalis datae hesiue ylindricae Superficiei . In aperto est locum esse huic directae Problematis resolutioni donee Sa- perficies innumerae hemieylindricae . pari laterae, et eadem Basi gaudentes, sed diversimode inclinatae, uti in T,U ete. non pervenerint ad altitudinem mitvirent recta data m. Quod statim atque accidat, nullus Conus erectu . nec iacens, in data Basi HOBR Problemati satisfaciet. Limes erit Cylindri altitudo in quo faustissimo casa superius iam dicto Problema resolvitur a Cono iacente. cuius vertex in L. Alterum limitem nemo non videt in Hemicylindro recto Bu, cui respondet Conus pariter rectas ΒΘΗ, axem habens ΘΛ insistentem centro A Greulidati. Inter hos limites datos D. V quaevis Hemisuperflates Cylindri ea quo cumque modo inclinata , uti Bra, Conum praebet B Xes facillime desiniendidam, qualem Problema requirit. Qia Conus nullo etiam labore, si Geo
metra es placeat, eonverti potest in Conum iacentem, eadem manentqSumma laterum innumerorum in arculos Baseos. Hoc ut siat. Fit ex. gr. Conus erectus BSH convertendus in Conum iacentem . Secetur primum LI αα -DG. quo facto Circulus describatur super diametrum BI,
vel menti descriptus obversetur. Media sit geometrica proportionalis ΒΚ inter BI et Bri; ae super diametrum ΒΚ Circulus alter insistat. Deniisque sit BI: II. BK:Α f. repertasque erit Conus quaesitus, Basim habens in Circulo B , verticem in paneto M. Est quippe ex praemissis Conus
iacens Baseas BI. verticis L. pari laterua quo ad Conum erectam BSH.
Summa igitur etc. in Bin ad Summam iii BLI uti Bes ad BI, sive BK BI'. vel , propter similitudinem Conorum iacentium ex constructione, uti Summa in Bri ad Summam in BLI. Methodus ipsa perducit ad Problema inversum resolvendum traiecto quoque limite V. quemadmodum in Superficie data semie Ilindrica B . Aut enim Conus iacens desideratur,
aut Conus erectus Summam laterum habens in arculos etc. parem hemi- cylindricae Superficiei. Primum consequimur ope LΦ'- ω, processusque geometrici, qui ad unguem consonet cum saperias adhibito pro puncto I. Obtinetur seeundum eodem adamussim artificio. qao usas iam suit Robervallius, videlicet invento puncto Y ita. ut ZB: BYBHH, et erecta
perpendiculari 'να , quae Conum quaesitum suppeditabit habentem pro Ba
si circalum diametri DF, maximum latas AZ, et Imisim
86쪽
nem m. sed innamerἰ alἱἱ con; eodem modo Problema resolvent. Namque
inter Fet L ex I'. praecedente innumeri continentur parilateri Coni. quorum unus, ex. gr. νBA, disposita FZ. Deinde sit talis m, ne Βλ:m: BΗ- ; atque educta ua parallela ad λν, orietur Conus 'ra, qui super Cireulum diametri B3 insistit, et lateribus gaudet maximo ac minimo Bμ. M. et aeque ae alter MY habet Sammam. lateram omnium in arculos Baseos aequalem datae semicylindrieae Superficiei CBAΥ. Haee vero resolutionum Problematis abundantia Conis quoque superius consideratis BSH. Bin ete. aptari poterat si Geometrae placuisset solutionem dire clam , quae Praesto est, indirectis , minusque obviis resolutionibus locu-Pletare . Quae omnia confirmant aut indirecta methodo Problema inversum, de quo nunc loquimur, plenissimam solutionem semper aequirere ad Saperficiem Hemicylindri scalari vertendam in Sammam ete. spectan tem ad Conum iacentem, vel ereetum, et in hoc casa postremo ad libitum Geometrarum eligi posse Conum compositum iuxta morem Rober vallii et Pascalii, videlicet ad typum eorum rere, GY etc., qui minimum Iaterum habeant Plano baseos normale. Nee de partibus proportionalibus disputandum, quum de earum aequalitate, ducto quolibet radio m statim constet ob arcum m et Asr, et areus similes M, LQ, ν ete. areeta Bo abscissos. Conversio demum . quam Pascalius ipse subi angit Ioi .
Coni iacentis GHI Fig. 24.ὶ pari lateri respectu Coni erecti CRT iadum Conos erectos , ac simul pari lateros , est adeo facilis, ut solo circinidue tu derivetur. Sit namque perpendieularia GA cuiuslibet longitudinis. et centro C, radio in arcus Circali deseribatur, donee altera perpendicularis TR prodaeta ipsi occurrat in n. Erunt duo Coni CAH, G1T pari lateri. Latera etenim maxima CΛ, m aequantur inter se ex constru
ri. Detsir ergo quilibet Conus obliquus ABC Fig. ar. , et in mentem
87쪽
revocata doctrina. de qua mentio in ra'. . dubio earet summam productorum e Coni lateribus in arculos Basem BECD parem esse Reet angulo ex latere maxima AB in perimetrom Ellipseos. quae habeat Axem transversam aequalem BC diametro B seos . et Coniugatum, cui sit ipse BC in ratione maximi lateris AB ad AC minimum latus. Omnis itaque cura in eo reponenda est, quod Ellipsis ipsa mei, specie, et magnita fine, in Cono dato ope Plani seeantis oriatur. Discitur vero a Conicorum Elementis quod ducta a vertice A recta quavis AF extra Conum, sed in plano Trianguli per axem BAC ad Basim normali . sit ea Ellipsium innumera rvm , quae generetur a Plano ad Triangulum ipsum BAC perpendiculari, ac transeunte per rectam GH parallelam AF. talis speciei, ut quadratam unius Axis in plano taeentis BAC ad quadratum alterius rationem habeat quadrati AF ad ree tangulum BF in m . sive AF : IU IC'. posito in
puncto I centro Baseos . Tota res igitur versatur in emittenda AF ita, ut AF IF . M AB : AC . Quod Problema planum est, semperqae ge minam solutionem recipiens in Cono scaleno. atque ab universaliore Pendet et celeberrimo in Antiquorum Analysi licia . Problema veterum Geometrarum hoc erat is invenire Locum geometricum, in quo disitonantur ia- numera puncta , ut F, P etc.. a quotam quolibet ductis rectis AF, FI.
AV. VI etc. ad duo puncta data A, I, sit semper quadratum prioris AF ad disserentiam quadratorum posterioris FI et rectae datae G. veI AP :FI '-CP etc. in data ratione constante is I . Hunc Locum geometri cum Circumferentiam circuli esse , euius centram in recta Ain, liqui do constat; ac post Apollonium, et Pappum Petrus Fermatias. Franciscus Schooten ius, ae praecipue Robertus Simsonius eius construetionem dederunt si os . Gemina igitur intersectio illius Cireumferentiae ac rectae BC determinat puncta F, F , rectasque AF, AU, quibus parallelae ductae GH, G, V Ellipses suppeditant speciei quaesitae , dummodo ratio illa con stans eligatur AB': AC'. Sed viam sequens a Fermatio et Simsonio diversam , hac methodo nova , tametsi disparis elegantiae . meam constru
ctionem instituo. Sit AO perpendicularis ad BC, sitque proportio geome triea AC' - AB' : AC -- ω' CO: , datumque erit punctum Q . Erigatur deinde CN perpendicularis ad BC, et secta OR - m, reperiatur BS media geometrica proportionalis inter CB, BR . Denique sit BS : CA: CΝ - , ac punctum N datum erit ; et facto centro in Q, radio
88쪽
Q.V, ope ei rei ni puneta qdaesita F, P determinabuntur . Quin imo et
Linu omnium punctorum, tametsi ad institutum meum non pertineat, ex adhibita methodo enucleatur. Bisariam est enim secta re in Q. unde edueta ad re perpendiculari, haec occurret in puncto T reetae AIΜ. quod centrum erit Circumferentiae quaesitae 'Σ. FU etc., intervallo re deseribendae . Circumserentia ista in Lineam rectam, veluti in Problemate Galilaeano, unico eas a convertitur tum, quum ratio constans fuerit
aequalitatis, nimirum AB AC, scilicet in Cono recto ', quae hypothesibreddit QT parallelam Ain, et id ei reo centrum T abit in infinitum. Quod ipsum cuivis mea constructio suadet, quia punctum R cadit in B, ideoque Media BS evanescit ex proprietatibus Cire uti io63, evadit infinite- magna, et AF, AV aequi distantes BC, sive puncta quaesita F. Uin infinito merguntur. Ut Ellipses autem specie nunc datae GH . G 'LI' in Ellipses etiam magnitudine datas vertant ut admodum facile est. Sectis enim Ax et AF aequalibus diametro Baseos BC. ductisque RL parallela ad AB, et m ad AC, ae LV parallela ad AF, ee ΘΗ ad Ar, ac demum secto Cono per recras VL, ΗΘ planis norma libas ad ABC, daae Ellipses generabuntur, quarum Axes transversi pares sint diametro BC. quae ad Coniugatos proportionem habebit AB: AC Ior . Nec modo Elli lues geminae erunt identicae, sed adeo dispositae, ut Axes maiores in occursu X praebeant VX- XII. et EX M'. XL . semperque parallelas inter se rectas vel lanetas vel iungendas VH, DL sio 8 . Summa igitur Laterum Coni ABC in arculos Baseos BDCE aeqaalis est tam Rectangulo Lateris maximi AB in Perimetrum Ellipseos LV, quam Rectangulo eiusdem AB in Perimetram Ellipseos alterius SH in Cono ipso met genitarum, uti propositum
mihi fuerat investigare. 22. Neque idem deficit argumentum in tractatione Conorum iacentium, sed imo praeter spem venustius adparet, miramque detegit Geometriae fidem et veritatem . Dum etenim Conus scalenus BAC, ipsa Basi sempermanente, ipsaque sarta tecta proportione AB : AC Laterum maximi et minimi, eo usque inclinetur magis ad mentem I V. , ut tandem desinat in iacentem, qualem ostendit Fig . 28., basim eandem habentem cum praecedente BCDE, verticem A, latera maximum ac minimum AB, AC, nemo non videt eadem symptomata in hoc reperiri quemadmodum in erecto . Circuli enim innumeri aequid istantes Basi in cono erecto, et ad ver-E a ticem
89쪽
ticem opposito, repraesentantur in iacente, et opposito, a Circulis innumeris. quorum Peripheriae tangant interius utraque latera MAM, NAU. celitraque omnium sunt aeque disposita in Axe AI. donee oporteat producto . Angulus laterum Circumferentias innumeras contingentium est il- Iole, qui Cosinu gaudeat - - - , nimirum diametro baseos per summam laterum maximi ae minimi divisae, ideoque datus. Arcus a punctis contactuum determinati, veluti ex una parte MDN, O , Qv, STI . Vm etc., ex altera MEN, OBP,QGR, T, VLU etc., gant, ut in Conoerecto, similes inter se per Euclidem. Universa latera, uti nAΣ etc., Ν, proportionaliter dividuntur, non dissimiliter a Cono erecto, in Punctis occursuum eam innumeris Circumferentiis, quemadmodam Axis a Circumserentiarum centris, ex Elementis; et idcireo ΑΣΑΦΑΝ : AP
Ψ : AD , ae sic de ceteris in infinitum to p . Ellipses itaque identicae VXL, His in Fig . 2 ., quae aucta semper obliqaitate Coni ABC invicem
accedant, et Cono erecto in iacentem verso uni ea Ellipsis evadunt, istam indicant adeo positam in Cono iacente. ut gaudens eodem Axe transverso BC, et eodem coniugato, scilicet, qui ad BC rationem habeat ex hyp
thesi parem rationi datae AC : AB, inscripta sit in angulo OAP, et ideo tangat latera OA, PA positione data. Qui situs ex Elementis Conicoram facillime determinatus Ilo Ellipsin quaesitam praebet in Cono iacente et specie et magnitudine et positione datam ω μι, ae sine subsidio Cylindri scalari suppeditat directe Summam rectarum innumerarum AC, AP, ΑΦ , AB, AO ete. in arculos Peripheriae circularis CD RE aequalem Rectangulo AB in Perimetrum auri ab Ellipseos dudum deseriptae. Modus iste considerandi affectiones Coni cuiusque iacentis analogas illis ereeti Coni simplicior equidem est in Cylindro, de quo saltem pauea obiter delibabo. Cylinder itaque rectus gradatim a rectitudine de elinans, iisdem tamen manentibus Circulo baseos Fig'. 29. . et axe AB, se a latere PA,
suos innumeros aequales Circulos servat. quorum centra in axe disposita sunt etiam quum in eodem tandem iaceant plano, quo casa eorum Ci
cum serentiae tangant extrema latera parallela in C , V , X, Z , Π etc. A. T. , Υ, P etc. Haec latera, uti et alia quaelibet LS, BL ete. , ae ipse axis ΘΛ , proportionaliter et aequaliter dividuntur: illa in occursu Peri-phetiarum ABCL, TE , F ,mZR, PKΠS etc., iste a centris Circu-Iorum
90쪽
lorum eorundem, quemadmodum in Cylindro recto et sealans. Ellipsis autem Cylindri ereeti orta a plano secante lateribas et axi normali, sempet sit recta Linea geminata , lateribus item et axi perpendicularis in Cylindro iacente liti λ. Sed quomodocumqae Superfietes recta Cylindriea scatena fiat, habet limitem saae mensurae superficiem duplam Ungulae Cylindri meeti, ea ias altilado eadem sit eam latere vel axe Cylindri, scilicet, habet pro limite aream Rectanguli Arnc geminatam. Μinuitur ergo Superficies Cylindri recti dum in scatenam vertatur, et eo magis, quo magis excrescat obliquitas Cylindri, sed minui nunquam potest ultra men suram datam duplae Areae Ungularis; qui postremus Superficiei valoetum obtineor, quam ea taeeat in Plano. Terminus ipse sive ultimus limes diminatae Superficiei ad it,tegram datam Superficiem Cylindrieam rectam proportione ipsa gaudet Diametri ad Semieireumferentiam Circuli, vel Radii ad Quadrantem irra); qaod est Theorema non iniucundam. Insu
per a Cylindro taeente nova methodas dimensionis Ungulae eruitur. Ducta enim tangente DP. et ad istam normali - . necnon DP perpendica. Iari ad diametram UX, et coniuncto radio DΗ. manifestum adparet Μνproportionalem semper esse sinai - recto DI propter similia Triangula odithogonia D- , HDI, atque ita proportionalem, ut Μν: DI ' ΠX: HX. ideoque D sa idem esse ae Ungalae elementum. Ungulamque totam, cuius altitudo IIX, aequalem Rectangulo ΠΠIX: tantae ac insperatae foe- eunditatis est Cylindri iacentis consideratio, quae Prima fronte sterilissima videritat.