장음표시 사용
141쪽
rius Formnlaedae, utpote quae ad instar methodi in I'. 4 ' adhibitae resolvatur in
142쪽
mielis L - α --- - . Primum etenim, post factam hypathesin
contemplatum zo2ὶ: secundum autem eonsequitur ab illa ipsa Formulas ' ---- , quam paullo ante summavi repetens iacillimam. Us' - ae' . 0-- α' methodum in g'. 4o' ' explicatam. Revera, si fiat α' Σ. Postremum Integrale evadit - - . . quod idcirco a Li
nea recta, atque areubus Ellipseos, et seaIraee Hyperbolae dependebit.- Exinde fluit integrationis Formulae simplicioris ad. V i - ω Lemniseatam pertinentis vera ratio, propter quam non , sed aequi latera Hyperbola opus sit ad istam integrandam, quemadmodum vidimus: deficiente etenim secundo termino in De nominatoris trinoinio prostant etiam in β'. 34 . singularis huiusce casus exempla nonnulla . Prae ceteris . expressionibus memoratu digna est ta , utpote quae summetur praesidio Lineae reetae et a reus Hyperbolae aequilaterae, dum ex adve so prolixioris et improbae foret operae hoc integrale purum atque arcuearens Ellipseos derivare a Formula universali
143쪽
ex nuper demonstratis, integrationem suam consequetur. Alia denique sic
144쪽
perbolae aequilaterae dependebunt . Consimiliter a s
- , etsi a Mactaurino praeteritum. QU. V ω' - Ireetificationem pariter signifieabit Lemniscatae Bernoulliorum aos . Quinimmo innumeras alias Formulas invenire fas esset aliis substitutionibus in subsidium vocatis, veluti de I , potius
fiat -- ete. etc. ad hoc ut prima expressio Analytica evidentissi-
me a Linea recta et areu aequilaterae Hyperbolae didueatur. Pulcherrimum exinde sequitur Theorema a Mael aurino proditum
145쪽
laterae quando r numerus sit ex Serie imparium 3, et, I , Is, I9, 23 etc . et ab arca simul Hyperbolae aequilaterae atque Ellipseos quando. r sit ex reliqua imparium Serie I, 5, 9.rs, Ir,2I etc.. quo Theoremate Vix utilius, et elegantius in Analysi insilii torum occurrit. Integratio etenim Formularum binomialium per Elementa Calculi sammatorii reducitur tandem, Praeter expressiones algebraicas aut rectas Lineas, in istis casibus
ad Armas f -- . Γ-, ete. ; et quando Ellipsis adsit,
Q i is a se . I is Σ' ea ipsam et semper est a Pagnano radhibita in recti fieatione Lemniseatae. videlicet illa , cuius descriptionem facillimam atque ad Praxin elegantis sime accommodatam alio loco explicavi leto6 . 43. Ita res erat de hisce Integralibus in Magna Britannia quum Alembertus, prima adhue iuventute florens aor , argumentum idem aggressus fuit; nec modo theoriam pene omnem complevit, verum etiam a novis fundamentis erexit. Nondum autem fuerat ex Anglico in Gallieum sermonem versus Tractatus Mactaurini a 28ὶ ea tempestate, qua acutissimas ille Geometra in Commentariis Beresinensis Aoademiae relatis ad annos M. C. XLVI η . ae M. DCC.XLVIII R . ao9ὶ elaboratas pro talit lue abrationes in hane Integralis Calculi partem amplificandam. Relicta Synthesi Mactaurini, omnia superstruuntur ab eo elementis arcuum Ellipseos atque Hyperbolae Apollonii aio vel ad primum vel ad secundum Axem Ordinatorum; quae a reuum elementa et ipse novit Maelauritias su Irὶ, sed nescio quo fato posthabuit. Quanta vero animi voluptate Alembertus idem nuticium accepisset cuncta derivari potuisse ab unico Pascalii conterranei sui et Perantiquo Theoremaret Quomodo hoc fiat. Bouga in villium ara; atque Cousinum sara) Alemberti inventa repetentes, et AI embertum ipsum tum in Commentariis iisdem, tum in sinis opusculis Mathematicis praesertim sequendo
146쪽
do, brevitet explieabo. Quatuor sermulis trino alibus Maelaurini, de quibus sermo in praecedente, Alembertus addidit primum
Ui . V x 2216-g Qi . x - x -g'sionem Disserentialem eius integratio vix inventionis gloriam meretur , quum nihil aliud ait quam repetitio methodi Mactaurinianae, videlicet,
substitutionis facillimae ri x - - ad hoe ut propositum Integrale
-- . Vertatur in aliud - a G. Ux' 6 - a' Ua . V g est D - 2'Maelaurino resolutum ope arcuum Hyperbolae, Ellipseos, ac Lineae rectae, ideoque per ea, quae supra diximus, adnumerandum eeteris iam de- duetis a Pasealii Theoremate sar έ . Mirari itaque potius debemus Suae methodi compotem Scriptorem Anglum vel nimis festinantem vel non omnia deliberato animo colligentem illud facillimum neglexisse 2I5 . At
terum , una cum --. ad complendam horumce trinomiasium seriem quum nul-
lo alio egeant artificio praeter Algebram Cartesianam ut formam in daant quorundam ex Integralibus praecognitis, liquet aeque ae praecognita seu-etibus d trinae Pasealii esse adscribenda tal6 . Nonnulla tamen commentatione diana sunt in hae Alemberti theorice. Quanta equidem simplicitate dimanant a Formulis Alemberti Integralia Disserentialium φ
et ab areu Hyperbolae aequilaterae dependentia latet , tantis e contra ae fastidiosissimis Cale uti molestiis obruta et plena laboris est, Ellipsi etiam eliminata, derivatio Integralis ai8ὶ tametsi istud aeque ae duo priora ab arca aequilaterae Hyperbolae consequatur, quemadmodum expertus sum in praecedente . Quod nee Alembertus
147쪽
Alenibertos ipse deinceps sensisse videtur, utpote qui In opuscularcim Volumine I'. edito labente anno M. DCC. LXI'. aiyὶ . nimirum tribus lustris emensis post eius primas in Commentariis Berotinensibus meditationes, suam denuo methodum adhibuerit arcum Hyperbolae in duas Formulas dispe-
V i. si a div xx nee Fagnanum 22Iὶ nec Mactaurinum tu au memorat;
de Lemniseata silet; Hyperbolam nominat atque Ellipsin, vera n tamen neque admonet priorem esse aequi lateram, nec posteriorem eius esse speciei, quae Axes habeat in proportione του '. I 223ὶ semperqae comitetur. prout i ostendit Vincentius Riccatus sa 4 , universa haee Integratia Ellipseos simul et Hyperbolae areas complectentia dum ista vertatur in aequilateram 2253. Fagnani pariter oblitus in rectimatione primae Parabolae cubicalis, sive in determinando hoe In te
VI, neque illam traetat prouti iam penes Italos resolutam 2263, neque in ea resolvenda dum scindit Integrale in duas partes, videlieet
- , has dicit ab universali Mactaurini Formula comprehen-
. aesh xx VB-- Aza Vbb - zzetc., quae integrationem recipiunt ab arcubus Seetionum Coni, tametsi, velati nova fuerint, ab Alemberto prolata. Egregium est inter alia illud Integrale
148쪽
e qeod Alembertus obtineri semper edocet ope Arcas
Hyperbolae set Maesaurinus addiderat aequilaterae , ac quandoque simulsam Areu Ellipseos quos postremos casus Maesaurinus ipse apte nitideque distinxerat astet . Adserit Alembertus idem 228 universaliter duo. VI dx Disserentialia
et ab eadem Sem V a bx - cxx x . Ua-bx- cxx
a cxx UT. Ua -- caeci rata, ut primum pendeat ab Area Hyperbolae aequi laterae, alteram ab arca Ellipseos et eiusdem Hyperbolae 229 , non secus ac ope unius Uy perbolae scatenae et Ellipseos satis fit duobus Integralibus f , -- , I Vfω - bb - xx--- ' . in singulari exemplo Alemberti setao . Quanam Ux j v - bb - igitur ratione Bouga in villius iunior, fides Alemberti interpres et ipsius ἀνεκδθτων Potitus, quae deinde publici iuris sacra sunt in praelaudatis opusculis aa i , pulcherrimum illud Theorema adtulerit pro unico casa Integralyum '--. C-- . in quibus radices zarisa - bb QU. Q zz is sa -- bb Trinum ii zrisD- bb imaginariae fuerint saast , reliquis omnibus silentio praeteritis, ignorare profiteor. Q aod antem in Alemberto desideraverim Eane illa d est, ut suum Theorema alterum ingeniosissimum demonstrasset, quo statuit τὸ L--- denendere ab unico Ellipseos arcu aaa .
Dum enim et canones consulam ab eo datos, et exempla ab eo adlata , hoe equidem disse illimum video. Si Bouga in villium interrogem, cetera omnia transtulit de verbo ad verbum, hoe autem praetermisit Theore-
149쪽
ubi I et F. zΣ - fa -- V. Pars igitur prima integrata commani nune neglecto. saetore Denominatoris, qui ratioeinium non infirmat est arcus Hyperbolae positivus, cuius reales Semiaxes secundus, ae primus sint f - ex praemissis in β' aa '.; secunda praeter Lineam4 a rectam negativam est idem arcus positivus eiusdem Hyperbolae aa6ὶ ;
eertia demum, in qua difficultas tota consistit, iacto at - - vertitur in
alteram -ras quae integrata iuxta praecepta Alember-
ti saar reducitur praeter Reetam negativam ad duos a reus seetionum Conicarum, unum scilicet positivum ab Hyperbola dependentem
150쪽
supposito S u at, arcum Ellipticum negativum , ad quem ducit expressio differentialis
speetae etenim ad Ellipsin Conicam, cuius Semiaxes sint L f ex praecedente 3'. 28 φ. 2 o . omnibus hisce collectis nemo non videt τὸ iv peraequare Disserentiam, quae intercedit inter Qua-D .fdruplum submultipli areus Hyperbolici supradicti --- sive Qaadruplum 1ubmaltipli
I --areus veri ae direeti Hyperbolae eiusdem