장음표시 사용
151쪽
arcus veri ae directi Ellipseos et triplo, V - - xx rectae Lineae vel Integrali Algebraico sie expresso
I . Hae igitur ealculorum molestia superata,
evineitur tandem quod Alemberti vestigia premendo Integrale suum non ab arcu solius Ellipseos, ut ipse aiebat, sed ab Mare ubus simul Ellipseos et Hyperbolae dependeat, nimirum sit
veluti innuimas paullo antea, et x
adhibitarum regressu st et . Neque Theorema istud, quod nisitatis arguo, ab exemplis arbitror Alemberti meliorem nactum iri sortunam. Illud e tenim, quod legitur in Beresinensibus Commentariis 2 a , est
152쪽
Io II ouiso FD ad rem nostram non faciant , tametsi primum unico
Hyperbolae arcu certe integrari demonstratu facile sit. Eorum autemPo,tremum , si verum unquam fuerit, ab Alemberto mendose resolveretur
uti rh Iu -- bb - bb . V uti is fu bbaut Alembertus aut Typotheta erravit, proptereaquod non si titi is fu-bb , sed scribi debuisset, idemti Q. nempe antiquioris formae Integrale ab eo traditum
vum esse potest ob e et aliquando Q I . Qua sorma correeta 246ὶ, dum s evanuerit iam docuit Mactaurinus aute Alembertum fore
Integrale ab areu solius Hyperbolae aequi laterae dependens, ut liquet ex β'. praecedente; dum autem adsit f, sine tanta calculi prolixitate, quanta in locis citatis usus fuit Alembertus et et , eadem Mactaurini methodus substitutionis Σ --δε Iuu is
sio primigenia per ea , quae sunt in calce β'. 34 a Pascalio deprompta, denotat arcum scatenae Hyperbolae, et secto j o in anteeedentem Convertitur. Si meum aperire sensum nunc Iiceat, deceptum fuisse iudico
153쪽
. Fructus tamen aliquis ab haei mea investigatione
consequitur, Praemiumque exantiati laboris. Revera non
quibus in formulis Σ -- -- ΣΣ - - Prima ac secunda pars membri comparationis eundem significant arcum Hyperbolae scatenae,
cuius semiaxis secundus sit fo , primus autem - , cum Linea recta negativa, et idcireo
154쪽
. I 4 per eandem Alemberti methodum, ad
areus veros directosque Conicarum tantummodo accommodatam. Cumulae et o otis ergo partibus Uyperbolici arcas eliminamur, sitque C
mirum Quantitati algebraleae, ant Lineae rectae, simul eum areu Ellipseos , cuius Semiaxes sint 2s maior, f a minor, atque x E-s QEΣ -- f, -- f is a - --- . Oblata occasione memoratu dignam Ν Σ -- .. zz -'--y est Ellipses geminas, ad quas ducunt Integralia superius explicata
155쪽
duabus communis; alter prioris est Aposterioris D suntque tres isti - f. scilicet, in contibnua geometrica proportione, euius termini secundus ae tertius medietates peraequant diversorum Semiaxium minorum 1 US,s duarum Ellipsiam. Hyperbolae ergo, de quibus sermonem instituo, gaudent communi Semiaxe secundo , qui geometrice medius est inter primos -- f, - La 2 2Haec autem proprietas non solum singularia spectat Integralia
-- - -- . I--- , veruntamen latius porreeta com
- , et idcirco ex praemissis 249ὶ sormam quoque zz- et ras . - , G---fρ quod est Theorema non , ά. 'gaz-fet u UE . Uzz fa ruequidem aspernandam. Enimvero, si praecepta eadem ab Alemberto tradita sequamur, Hyperbolarum , ad quas illae Formulae ducunt, Semiaxes
Primi sunt -- g,---ς, secundas autem communis u- - .
u - , nimirum Trinomiam zzisD-Fu factores habeat imaginarios, q
Trinomiam zz me seu saetores habeat reales, ex Alemberto ipso deducitur so fore Semiaxem secundum commanem duabus Hyperbolis atque Primos semiaxes in casu τοῦ D
156쪽
esSe 2 v --u, et in opposito'-fa esse
--Υ - Π uti Elementa suadent sust). Longius tamen repe-2 4 tenda est admirandae assectionis huius origo, qaippe enascitur ab expres
quo ad casum f Semiaxes H perbOIae sunt I secundus, et -- μV-hu primus, dum quo ad alteram -j Semiaxes secundus, ae
primus Sunt ae 'ra, qui simul animadversi suppedi-
ant semper u continuam reometritam Proportionem, quam inconcussam Algebra tuetur etiam in
imite τύ in f, videlicet, quam fmo, et Formula vertatur in --. Ea namque in hypothesi sit proportio e r g H, ac duo in Urr GHyperbolae in unicam abeunt, quae reapse ex β'. δέ '. aequilatera est non secus ac in praesentia demonstro. Quod igitur Attalysis secit vid. o 8 R . in Formulae simplicis resolutione, quae I Q --zz uduos Ellipsium arcus repraesentat, quarum Semiaxis communis sit g, ee terique diversi in expressione biformi contineantur V ra
157쪽
tametsi s signo uni eo positivo gaudere possit, Formulamque unicam possibilem suppeditare valeat. id ipsum quoque enicere conatur ad religiose servandam Conicarum analogiam in . expressione duplici integranda praesidio a reus duarum Hyperbolarum communi I Uarissa raSemiaxe secundo g praeditarum, et Semiaxes primos habentium compre hensos a Formula biformi ----u, geometrica pro Portione cum g pariter iunetos. In gemina Ellipsi, ubi rbs positivum emper erat, hoc secit duplicitatem expressionis in Radicali complectens
- α - π quae Formula idonea etiam est ad demonstrandam, vel potius confirmandam constructionis τὰ I - , a impossibilita-
duarum Ellipsium negativi evaderent, positivo semper manente commu ni g. ideoque et Axes - μ ν - 4υ , -f- - ηυ, positivo ma nente altero r; quod monstro simile esset, quia ex traditis in Geometria Ellipsis uno Axe positivo, altero negativo praedita aeque imaginaria est ae Cireulas super diametrum positivam deseriptus hae conditione, ut altera ad normam posita sit negativa . In gemina vero Hyperbola idem fecit Analysis ope duplicis signi is Formulamque biformem instituitis
- - Fu reiecto gemino Radie alis signo, propterea quod semiaxes
negativi fierent, ideoque et Axes Hyperbolarum f- qu, f- ' V n ilum communis alter Axis is positivus permaneret, Curvarumque impossibilitatem ostenderet. Sed et in hisce imaginariis easibus suorum iurium Algebra tenax tam in Ellipsibus, quam in Hyperbolis pro-
158쪽
V--α-r - --μυνε. Fati Iamentum speculationis analyticae , in qua nune sumus, praesentissimum habetur si Formulam versare . non pigeat Arcus Hyperbolae ad secundum Axem relatae. Formulam istam nescio quo iure ab Alemberto saga , et Leonardo Eulero saga neglectam Postmodum animadvertit Vincentius Riecatus tas ), sed evolverant et in usum traduxerunt praesertim Commentatores Minimi Principiorum Newtoni 255 . Censuit Alembertus totius utilitatis et eommodi expertem futuram Coti siderationem analyticae expressionis arcus Hyperbolae ad ineundum Axem relatae. utpote quae in idem reeidae ae expressio altera eiusdem Curvae arcas dum primo Axi referatur 2563. Quod quam verum sit in Ellipsi, eadem Aequatione praedita si alterutri Axi suo comparetur, tam infirmari arbitror in Hyperbola, cuius Aequatio ad Axem secundum valde differe ab alia, quae primum Axem respiciat. Profecto Theorema Pase alii suppeditavit in '. sim'. Formulam unicem pro Ellipseos a reudΣ as
tu Ellip1i duobus Senii axibus a. a F, in Hyperbola primo Semiaxe a, secundo a V., et rursum in eadem Curva secundo Semiaxe a, ae vici Psim primo a ex praeostensis. Duae Hyperboli ei a reus expressiones in eo solum discriminantur. quod Coεsse iens denominatoris trinomialis diverso gaudeat signo, quum in uno a - qa, in altero vero - a - qaὶ qa- a. Ab unica igitur signi illius mutatione, ceteris omnibus iisdem permanentibus . inversio ordinis Axium Hyperbolae oritur, Areuumque alterna comparatio primo secundove Axi huius conicae Curvae. Dum ergoo a
159쪽
secundam Axem, cuius Semiaxis primus r. secundus huex β'. 42β'. nimirum arcus Hyperbolae Coniugatae. Hie autem arcus Hyperbolae Coniugatae per Curvarum Geometriam redueitur facile ad arcum Hyperbolarum similium, quarum una ea est superius contemplata, Se miaxem primum habens -
F U Fu, secundam g , uti patet ex
re quidem vera si compleatur Formula , ut lex homogeneorum serve tur, est in Hyperbola ad primum Axem
160쪽
ce ersa recurrunt supponendo a - qaππα- f. ideoque ga - a s, et par erit arcui Hyperbolae ad primum
peraequabit arcum Hyperbolae ciniseatae ad seeundum Axem, habentis---- pro Semiaxe seeundo.