De calculo integralium exercitatio mathematica Petri Ferroni olim ... Leopoldi 2 ... nunc ... Ferdinandi 3 ...

161쪽

I Iovata. Max; mam autem suscepti aluiu se e laborἰs pretium in eo. situm est quod illam Formularum Ellipseos et Hyperbolae in hac Integralium theorice analogiam, quam hactenus Mathematici aut non viderunt. aut non vidisse visi sunt. restituere iacile possim. Aliqua de argumento ipso obiter delibavi in β'. 424'. , pluraque ex paullo antea dictis consequuntur sed nunc plenius tractandam amoenissimam ipsam rem me I muneris esse iudico. Areum Ellipseos comprehensum a Formula universali ρ - - inveniri aeque posse aut Curvam eandem reserendo ad D - ΣΣ-ggprimam et maiorem Axem, aut potius ad secundum et minorem primus quod sciam doeui in β'. si '. Quin etiam si directam consulas derivationem Areus illius a Pascalii theoria. Axis . cui referatur Ellipsis, et in quo abscissae computentur, coriogatus semper est quo ad alteram Axem, να- Per quem abscissae numerantur in communi Analystarum doctrina a Cal eulo Integrali deducta tes et . Ut hoc in Hyperbola quoque, er quanam ratione id genus harmoniam expertus sim, ad Conicarum intimam foedus eo magis illustrandum breviter explicabo, diversaque etiam via, qua id ipsum

conseci in Ellipsi. Expressio itaque i

aut universalius

- in qua utrum s vel positivi, vel nega

a UzΣ-- ga)z - qaa primum OAC relatae, ae praeditae Semiaxe transverso OA a, eoniugato OD' a g. ex toties dietis. In hac eonstructione x OC, et Aequatio ad Parabolam Apollonii, relationem praebens inter x et z, iuxta communem

162쪽

munem mella odiim Analystarum, est q-- ad , scilicet Porabola xx in sa--Σ) Para metro gaudens ----, Ordinatis ae, q--I ε ς -- IAbscissis et, et origine Abscissarum earundem per intervallum a subter Verticem a Vertiee ipso remota 258). Dum autem spectes Axem secundum, habebis ex praecedentibas a UzΣ-- a se ga)z aa ές - - submultiplo - arcus Hyperbolae G I ad seeundum Axem relatae OEF, ae praeditae Semiaxe transverso OG a I i, coniugato OK ag. Haec constructio supponit Abscissas M OF; et relatio inter x ae Σ in Aequatione consistit, ex Mathematicorum praeceptis 259ὶ passim traditis in Elememis, q --I x x seqqaa gaz, vel x x -f--- z- qa , ad Parabolam pariter Apollonianam, cuius Parameter- , ordinatae A , Abscissae Σ, et

Origo harumee Abscissarum ultra Verticem per intervallum ga ab ipso Vertice distans. Hyperbolae vero heie deseriptae ABL, Gm similes sunt propter OA : OG OD : OK, videlicet a: a a aqquemadmodum liquet. et pluries monui . Semiaxes insuper vel Axes eognomines Hyperbolarum earundem GIM, ABL sunt in ratione uti constat. Submultiplum igitur Min . GI peraequat arcum in Hyperbola ABL simi-

lem a re ui GI alterius Hyperbolae G Iu per Elementa . Et arcus hie simitis in Hyperbola ABL necessario idem est cum arcu AB, ad quem Perduxit prima constructio. Quum etenim E eosdem semper valores habere debeat tam in Formula f---, quam in alia Proposi-

, necesse si valere Aequationem

163쪽

aut samplis x in primo Axe OAH Hyperbolae ABL ad Axem primum comparatae, aut sumptis x in Axe secundo OEF seu Coordinatis respeetu αὶ eiusdem Hyperbolae, a qua gemina constructione idem tamen proiluit areas AB pro του L--- valore determinando. Nec alite e

dicendum de constructione gemina Integralis alterius praecogniti vid' . 3M. 42-- . , quippe factis a.

----, eandemque propterea eam Integralio gaz - θ - θ b Σ - fbbbns ad Ellipsium perimetros ducentibus plenam et numeris omnibus absolutam eommunionem patefacit. Quibus omnibus demonstratis, unde longius digressus sum redeo libenter. Experimenta iteravi quamplurima , ne forte erroris illius superias perpensi Alembertum arguens ipse potius ne eius methodum recte intellexisse, nec rite adplicuisse viderer . Tentamen

igitur renovare studui in altera Formula 2 f .

164쪽

, et similiter Partem alteram con-

sese destruasi f

; adeo ut partibus coniunctis, quum

, remaneat solummodo simplicior Aequalitas

euius posterius membrum ex superius ostensis rectificationem unius tantum eiusdemque Hyperbolae repraesentat. Si ergo examen ipsum, quod suscepi. Alembertum vera scribentem veritatem scripsisse confirmat, quanam ratione dubitandum erit de examinis eiusdem fide dum eum a vero aberrasse sub oculos ponit 3 Ad rem istam promovendam alia etiam moli

tus. Qui Alemberti placita perlegat eo loci 26I , quo Disserentialis

165쪽

nomii Ea me D- bb radices reales habentis, non poterit quin arbitretur universaliter Integrale illud nunquam obtineri , nisi praesidio arcuum simul Ellipseos atque Hyperbolae . Nulla etenim ab Alemberto secta adest inibi limitatio, nullus casus exceptus. In hoc etiam Virum illum elarissimum aliquid humani passum esse experimento in t adinveni. Quum Rudimenta Calculi Integralis in Bouga in villii Tractatu adolescens adhue Pisis pervolutarem 2623, sorte fortuna sub manum ha hut Collectionis Lucensis Volumen IVR . ac postremum. quod Vincentii Riecati Iesu itae Dissertationem eomplectitur de Summa Formulae disserentialis, cuius in sequente 9'. sermonem faciam 263ὶ. Eam saepenumero Alemberti Formulis comparatus Tabulam mihi composui, qua statim dignoscere possem utrum in qualibet signorum Trino-ηλα Ezra: in bomii radicibus realimus praediti combinatione ab arca tantum Hyperbolae, vel ab areu tantum Ellipseos. vel tandem ab arcubus simul Ellipseos et Hyperbolae dependeret. Tabulae huius auctoritate protinus novi metho-duisi elaboratissimam ab Alemberto traditam illius mentem ita perturbasse , ut casus aliquos singulares exeipiendos, ac separatim tractandos haudquaquam viderit. Edendam nunc censeo in publicam lueem Tabulam illam olim in privatos usus conscriptam, eas usque exceptos et Alemberio

invisos ipsius principiis insistens postmodum confirmata.

166쪽

Signa Est Imaginarium aut universaliter impossibile. II.

Pendet a solius Ellipseos Arce. ii I.

a solius Hyperbolae Areu .

a solius Hyperbolae Arca, et Linea Geta. VI. a solius Hyperbolae Arcu , et Linea recta. VII,

ab Areu bus simul Hyperbolae, et Ellipseos, ae Linea recta. v III. ab unius Area Ellipseos, et generaliter simul. cum Linea recta. Dummodo bb factores habeat reales, ac variabilis sit positiva . Hane Tabulam inspicienti cuncta sere obviam veniunt , quae ex Maelaurino et Alemberto collegimus. Sed quod primum ac praecipuum ictu oculi mihi occurrit perscrutandum, est casas triplicis signi positivi, nimirum VIII R ., Formulae I --. . --. quam Alembertus indiscriminatim UzΣ-fΣ--bbope a reuum Ellipseos simul et Hyperbolae integrari docuit, et Tabula ex adverso a solo Ellipseos arcu rem confici nos admonet. Tabulae autem decretum istud iure, an iniuria pronunciatum sit, ab Alemberto ipso discere nihil vetat. Ille igitur ope Algebrae Cartesianae scindit in duo Integrale propositum saeto Σ- reperitque .

zz -- fa -- bb. Ego autem molestis. simo inito calculo inveni esse

167쪽

artificii Cartesiani opibus impetratis vertit in - K-

mutat In

ita ut denique fiat I

u v -- υ - mm T. a -s . m V o Alembertus profecto eo perventus curae non habuit comparationem valo. rum a et m , quos ego fastidio Calculi non perterritus inter se pares detexi, sive huiuscemodi. ut θ I, et ideo ob signorum oppositionem duo arens Hyperbolici eliminentur. Enimvero ille Seriptor egregius prae cepit esse aequalem negativae radicis valori positive sumpto Aequa-

quae resoluta Praebet u rimm , id est in - V.

168쪽

, nimirum aequale quantitati

Algebra leae aut Lineae rectae una eum Q quod Integrale est V.. Ua -uareus Ellipseos per demonstrata in calce a Q. directe ex Pa se alio, sine necessitate adhibendi prolixiorem methodum Alembertianam 26 3 ut eadem veritas pateat. Geminum itaque in hac Integralium speculatione perieulum ossendit doctissimus Alembertus. et quod mirum est a veritate per adversum a ter nescio quo salo declinavit. Dum enim agebat de --. hoc Integrale ab Ellipseos tantum arcu dependere Uza a Vprodidit, quamvis ab Ellipseos simul et Hyperbolae arcubas consequatur. E eontra τὸ G- in hypothesi supradicta, Ellipseos et Hy-QΣΣ - δε--bbperbolae simul arcubus resolvi putavit, etsi areu tantum Ellipti eo sustineatur. Casus igitur VH' '. et Vill* . superioris Tabulae in unum coniunxit Alembertus, tametsi peculiariter tractandi ae dividendi fuissent; adeo ut eius 6 R . Problema 26sὶ sic potius exponi debuisset.

in hypothesi Fae totam Trinomii realium a soIa pendet Ellipseos reetificatione ; sed L de si, - in eadem hypothesi zΣ -fe- bbo dependet simul a reeti sieatione Ellipseos et Hyperbolae . In hypothesi

vero

169쪽

pendet uni. , , vero Faetorum Trinomii imagiaetariorum f-

., versaliter a rectificatione Ellipseos simul et Hyperbolae, excepto unico quae a sola Ellipseos re casu singularis expressionis ad se sessis et iste atione dependet. is Hoc ipsum ex Pascalii doetrina iamdudum coniecera in in si'. aari, et quae tum videbantur paradoxa et impossibilia. nunc sicile. resolvuntur detecto lapsu Alemberti. Quod enim ibi eonceptus Geometrarum vires superabat . in praesentia despiciendum est potius, quam admirandum. Profecto, quum in hypothesi Faetorum realiam ab Areu tantum Elliptico de- Trinomii hoc Integrale aΣ --fz -'ggPendere nuper ostenderim, ideoque etiam 1 -

, nil mirum si harum expressi UaΣ- D rcgnum postrema eundem εigui licet Arcum Ellip eos Casus II . uti . Nec molestiam asserat dubitationemve aut signum. D - az - genegativum primae Formulae adpositum. aut Linea recta in Casu VIlΓ'. eum Area Curvae coniuncta . Quinimmo ab hac potius comparatione deducendum erit posse ac debere negativum Arcum Ellipseos Conicae una cum Linea recta positiva parem esse alteri Arcui Elliptico positivo, set Iieet. Summam duorum Arcuum Ellipticorum rectificabilem esse posse ae de-here. Praeterea, quum ex Elementis Geometriae et Euteri auctoritate sa66ὶ constet Arcus Elliptici expressionem quamcumque esse Functionem bifor mem non dissimiliter a Radice quadratica, consequitur I

170쪽

mes 26 pariter pertinent, veluti pseudoparadoxon alterum innuit. In eo enim consistit ex β'. 33i . , quod τὸ f--- eamlem Ar- ΣzisD. ggcus Hyperbolae mensuram signi sie et uti --- έ - . idest ex Casibus in Tabula contemplatis III '' ae V ., IV '. et VI'. sit tam Disserentia, quam Summa duorum Ellipticoram Areuum geometrice revisitabilis. Inde patet quod a doctrina ipsa Pascalii reete riteque perpensa et divite saeta enascantur eximia illa Theoremata de Summis aut Disserentiis geometrice adsignandis Arcuum quorundam eiusdem Hyperbolae vel Ellipseos se a diversarum Hyperbolarum Ellipsiumve, quae primus omnium Iulius Fagnanus sa68ὶ . ae postmodum Vincentius Riecatus 269ὶ, Leonardus Ealerus saroin, Ioannes Alembertus a 'iὶ, et nuperrime Andreas Lexellius sar 2ὶ magno Analyseos incremento protulerunt, et demonstrarunt. Ceterum Alembertus toto iure redarguit Vincentium Riccatum. eo loci,

quo Integralia differentialiam ώ--, dx m. a ex ' ' , Ex m- nae γ' ta ex )ὶ ' ab arcubus Sectionum Conicaram dependere universaliter existimavit, quum hoc nisi quibusdam exponentium k,r conditionibus positis verum esse nequeat 2 3 . Nonnulla etiam recte in digitat evitanda in ista Integralium tbeorice Formularum Tractatus Laaci Newtoni de Quadratura Cumarum perieula 2 4 ,

a se adhue adolescente etiam alias experta tum quum coram Academia

Scientiarum Parisiensi errores aliquot oppugnaverit, in quos lapsus suit de Mathesi optime meritus Reyneaus in sua Anab si demonstrata ars . Qua

de re nunquam satis laudandi Commentatores Minimi Principiorym Newioni, qui eo ipso Tractatu aureo semper duce Elementa Calculi Integralium scripserunt absque o quod nullum ostenderint scopulum, nec ideo a veritate aberraverint tur 6ὶ. Fundamenta novae methodi suae a Mae laurino sumpsisse Alembertum nemo iniicias ibit, qui animadverterit usum aliquem

ab Anglo ipso Geometra iactum fuisse formulae Arcus Ellipseos