장음표시 사용
171쪽
in II '. Volamine Tractatus Fluxionum a r); neque a se a ' - x difficile conceptu erat eundem usum promovere, et transferre ad formulam analogam pro Arcu Ityperbolico . Illo autem fundamento posito
rus integer ac Trinomium habeat Factores reales) facillime ad Areus Ellipticos et Hyperbolicos reduci poterant, veluti diverso ab Alemberti semita, ac breviori itinere laeerunt praesertim Riceatus, Euterus, praecitati Commentatores Newtoni, atque Lexellius sav8ὶ . Nec parum miror Alembertum ipsum bre Hori huic itineri terga dedisse, quum in singulari casu integra-
tionis τοῦ ae ' bx-exa ' eandem methodum adhibuerit mul-
tiplicationis illius Di Terentialis per
, earumque quam plurimas derivatas et 8 i),
non parum admirationis expertus suisset si in Pasealio suo illarum prima saltem lineamenta contemplari potuisset, ut in calce 34'. mihi contigit explicare, et Mael aurini meminisset, qui harumce Functionum ab Arcubus
172쪽
Qt 'diij α' - x' et Theorema ex alio simpliciore Iii tetrali
i c. sae illime derivandi 282 , quemadmodum in
Ua-bx- xx sius in 42M'. ostendi. Nihilo tamen minus praestantissimum Alemberti ingenium tam in Commentariis Berecinensibus, quam in opuscuύs Mathematicis a8s hane Analyseos partem eum perimetris Conicarum Sectionum coniunctam tot novis Functionibus locupletavit, atque adeo suam secit, ut vix maius desiderari unquam posse, eiusque iuventis aliquid addere dubitaverim. Formalarum profecto ab eo resolutarum numerus ferme in immensum exeresceret si pro variabili et aut x Potentia quaelibet ut ipse ait 28 substitueretur, aut universalius quaevis Functio φΣ, Δxete. eiusdem variabilis. Mae laurinum denique imitatus vir ille nanquam satis laudandus ad sublimiorem Physicen illustrandam inventa sua traducere eurae habuit, nullumque non movit lapidem in Investigationitas de Mundi bstemate 285 , et in opusculorum Voluminibus sa86 ne Theoria ista analytica admodum sterilis videretur. Qua praesertim in re si sum mum spectes mentis acumen, nulli secundam censeo adplicationem Formularum huiuscemodi ad supputandas perturbationes mutuas Iovis et Saturni, utpote quas complectatur unica expressio
, ubi s - a a b , ex praecedentibus summanda praesidio Arcuum Conicarum Curvarum. Casum autem τοῦ n- I, aut - 3, qui ab eo derivatur ex praemissis, ab Arcu tantum Ellipseos dependentem dignoscere iacillimum est.
173쪽
quae comparata eum altera I ------, exposita in I . a Vpraebet Aequationes a '-b abi
gumentum sumens a ββ . 56 '. a' '. 38''. ae 39''. . quibus eam adumbravi. I res exstant universorum eiusdem easuum Tabulae ab eruditissi
indubiumque est Vincentium Riccatum aut omnium primam de ista Funetione universaliter integranda cogitasse, aut certe primum cogitationes suas in lucem publicam edidisse, quum eius Disquisitio, quemadmodum alias admonui 29I , anno M. DCC.LUII'. vulgata suerit, priores autem de hoc argumento Leonardi Euleri meditationes anno M. C. LXIII . typis impressae in Volumine VIII '. Novorum Commentariorum Academiae Petropolitanae. Quidquid vero sit de inventionis prima tu, ternae Tabulae, tametsi varia methodo concinnatae, mire consentiunt inter se, idem que adamussim concludunt. Euterus quidem atque Lexellius duodecim tantum casus enumerant, viginti duo autem Piccatus. Veriin tamen decem adiuncti a postremo scriptore nec locupletiorem iaciunt Analysin. neque pauciores casus infirmant a primis animadversos. Iure hoc dicam. an iniuria , saei te diiudieandum. Riccatus etenim addit casui I'. ae II .
174쪽
in itidem suppositionibus, quamvis nihil aliud sint quam Euleriana permultiplicata. Ceteris demum casibus duo etiam adseribit Rie-
V-f-gzz, inutiles autem, quippe semper imaginarios. Detra-ὐ ρ -- gzzetione itaque faeta octo casuum geminatorum . duorumque inutilium adsto super viginti, remanent duodecim Riceatiani, quemadmodum habent Tabulae Euteri et Lexellii, quas ideo solas ei tandas mihi proposui, ac earum ordine servato in unam breviorem helc . transcribendas, et cani Rieeati Tabula comparandas.
175쪽
176쪽
perbolae et Ellipseos I. ex Lexellio II. XIII. ex Riceatorerbolae Ita
III. XIV. perbolae et Ellipseos IX. IV. XV. per ae et Ellipseos
III. V. XVI. lipseos VI. VIII. XIX. perbolae VII. IX. XX. perbolae et Ellipseos
XI. XXII. lipseos IRVI. XVII. perbolae VIIs. X. XXI. lipseos XLVIII. XIX. perbolae XII. IX. XX. Prima
177쪽
Prima in Ira ne Tabulam animadversio casus VII V . ae X ., IXR . atque respiciat necesse est, propterea quod Euterus, et post illum Lexellius Arcui Hγperbolae atque Ellipseos addiderint etiam Quantitatem algebraicam aut Lineam rectam, quam ego cum Riccato arbitror praetereundam. Non modo enim algebraicum integrale additum vel ablatum neque perturbat Functionis speciem a perimetro Seetionum Conicarum dependentem, nec intimam eius naturam immutat, verum etiam per ea, quae dixi in antecedente, otiosa plerumque est atque inutilis superadditio. Calculi potius desectui adscribenda, quam analyticae necessitati. Hoc ipsum eonfirmant Euterus atque Lexellius, qui in eorum lucubratio uibus dum implicatas plerumque substitutionum methodos adhibent Riceat ianis non dissimiles s 293 , casus praesertim Ἱμ . atque XII μ . iuxta Tabulam Eu-lerianam iterum resolvunt etiam ope Areus Ellipseos' aut Hyperbolae cum Quantitatis algebraicae additamento aut παρενθηκν, quam Vis Prima ac directa eorundem casuum resolutio ab Arcu tantummodo consequatur Ellipseos vel Hyperbolae su94 . Quod praeterea clarius patet com Paran do castim VII . cum X l P . . ae VIR . cum XI R. in ordine Euteri. Namque Formula casus VlIφ ., nempe
eum ipsam et copditione. Quum igitur postremum hoe Integrale ad fidem Tabularum Euleri et Lexellii ab unico pendeat Hyperbolae arcu, non potest quin idem aeque verum sit de priori Integrali , quod Auetores illi ab arcu Hyperbolico et Quantitate simul algebral ca obtineri in Tabulis deseripserunt 295ὶ . Similiter Formula casus VI'. eum conditione n gρ ex auctoritate Tabularum Eule
ri et Lexellii unius arcus Ellipseos praesidio integratur: ergo, quum in eadem conditione procul dubio sit esse 'G
178쪽
. p - - ρ- retamo non videt istum quoque tu tegrari debere ope solius a reus Elliptici, tametsi praelaudati Scriptores Quantitatem addiderint algebraicam 296 Rie eati Tabula hoc ipsum te tu oeuli ostendit: habet enim casibus Ui'. et XI 'abularum Petropoli editarum oppositos eosdem numerosae XIX'v . . non socus atque ipsos numeros IXR . et XX V . oppositos aliis casibus ae XIl '. Argumentum alterius animadversionis sit dubium illud, quod in calce 39 i. soluturum pollieitus sui. Criterium inibi da -gΣΣoptabatur, praesidio cuius statui posset an eadem ex Pressio
, ex praemissis, ad arcum Ellipseos, aut Hyper-ύ - ρ- gzz holae pertineret. Tabula inspeeta, sunt haec Integralia casus VI' . et XI R . Euleriani, vel VIlη . ae XII v ., qui Ellipsin adtinent si δεγερ; si vero fir α. g p. ad Hyperbolen reseruntur. Huius conditionis veritas diis manat facillime a doctrina ipsa Pasealii , et signanter a demonstratis iu
bat Arcum Ellipti eum multipli ea tum per Coessicientemh ε idcirco h , sive speciebus iisdem positis, in altero autem liquet esse ma . nq'α m -- I)ρ .gra '. scilicet f Q gh, aut pn tius o αgp, iisdem litteris substitutis. Sed doctrina eadem Pasealii nullis opibus impetratis, et admiranda simplicitate Tabulam conficit omnem, absqueoquod obliquis plerumque methodis hactenus evulgatis 20 3 animum adplicemus. Hoc quomodo sat brevi enarrabo. Tres e duodecim suae Tabulae formulis, nimirum, castis II PR . Ut μ' . ae XII m . 298ὶ, Ealerus resolvit directa methodo utens, nulloque alio subsidio praeter Functiones elementorum Areuum Conicarum Curvarum. dum Riceatus atque Lexellius quartam Formalam adiunxerunt II'. casus pertinentem 299 .R Discri-
179쪽
Discriminis ratio in eo sita est, quod Euterus Formulam elementi Areus Ellipseos derivaverit ab istius Curvae Aequatione non tam ad Axem transversum Vl. , quam ad relata III.); in Hyperbola vero non item, quum sola Aequatione ad primum Axem contentus fuerit XII.), et idcirco indirecte obtinuerit casus Il l . resolutionem a Din. Huie tamen incommodo serias iam dixerat multis retro annis Vincentius Riccatus sani), ae post Euterum medelam afferre curavit Lexellius 3Oa . Ego autem quaternas sormulas primigenias ex solo Circulo ad Pascalii morem considerato perquam facillime sum consequutus . In 3'. et enima6 q. habui rb sine ulla limitatione et universaliter IH ὶh - xx ab Areu Ellipseos super Axem minorem repraesentatum, quum et Semiaxes et Semipara metrum et Coesiacientes omnes, quicumque fuerit valor των f. g, h, h, demonstratum inibi sit nunquam in imaginarios fal-
Areu Ellipseos super Axem maiorem insistentis dependens, eum conditione tamen nuperrime exposita τοῦ fl gh. Qua occasione observandum censeo de duet iacile ab expressionibus 26 ., ob signum permutatum unius g, valores Semiaxis , Semipara metri
praeditae per Coessicientem pariter imaginariam 'l i y multiplica
tum. Hoc autem productum imaginarii per imaginarium iam alias in ea l-ce β'. 33 . expertus sum realem componere magnitudinem, et reapse in praesenti casa est Arcus Hyperbolae, quemadmodum in serius ostendam. Formula
180쪽
te adeptus est Soa , profluit statim ex β'. 38'' conditione posita τοῦ Παgh; namque significat ibi Arcum Hyperbolae ad se cupdum Axem comparatae, atque in expressione Primitiva, a qua Oritur ipsa Formala universalior, habetur a.'. I - i Si demum Hyperbola ad primum Axem relata saerit, docet a9' . hoc Integrale
h -- xx, ad qaod pertinet casus XII . Eulerianus, Arcui Hyperbolico par esse dummodo vera sit eadem superior eonditio Παgh, quum l . e . Ostendat f - mn 'ara', et gh mnet' a '' I - --: Antequam ultra progrediar considerationes quaedam me vocant praemissis ad dendae . Primum etenim inspiciendum est quanto maior adsit facilitas in
---- , Eliarumque simillum h - ΣΣdum a Superficie Cylindii sci leni, sive a Pase alii doctrἱna didueatur, po tius quam a communi methodo Analyseos cultorum . Profecto Analystae ut Formulam illam consequa plur, necesse habent elementa prias quaerere Arcuum Sectionum Conicarum, praeterea pro abscissa eius multiplum substituere, deindeque multiplum elementi ipsius computare, vellati Eu lerus potissimum ao ὶ, et paucis abhinc annis Ioannes Franciscus Malia tintus savcs protulemini. Veruntamen a Cylindri consideratione dives ita et pene numeris omnibus ab Olata Formula exciritur, ut solo multiplo abscissae quemadmodum dictum est in I '. a 6 . ae sequentibus) res omnis
perficiatur. Quin etiam facilius si ad morem Lexellii sao6ὶ Formulam