장음표시 사용
181쪽
m --- , sive , neglecto Coossiciente ,1 det se t -- gzz ' . . a c---- Sozὶ , verum et nullam Formulae limitationem patera-U 1 -qzzeit, eo quod discamus a β'. eodem a 6 '. τὶ n quomodolibet esse Posse aut maius, aut minus m ex natura Obliqtii C lindri, mirabiliter consentiente cum Tabulis laudatorum Scriptorum. E contra in g'. 37 '. Integrale huius sermae
Qi - , non computando Coefficientem, quo tamen in casu τὸ n prioris exempli imaginarium evadit. m manente reali ', quod denotat, confirmatque praeceptum illud Geometriae nunquam gigni posse in Cylindri superficie seaIena Ellipsin lateribus normalem, cuius Axis lateribus ipsis perpendicularis maior sit Axe altero. Si vero n m, aut sinmo exemplo loeum fieri Integralim': m u: I . nemo non videt in pri- i' , quod ex dictis tam in Q i - gaz4 '. 36 . 4o 'ri ae 43''. , quam in Adnotatione r59 . . par est Areui singularis Ellipseos, quae Axes habeat in proportione o. et de qua multa scripsit Uineqntius Rieeatus aon. Exemplum autem posterius in
- praeberet ex Ui -gzz adverso Σ--C, videlicet Lineam rectam, ob pig. 37.ὶ eo casu evane- seentem, ideoque etiam Axem minorem. Haec Linea recta aeque oritur
dum iii exemploram primo aut fuerit - - - , aut m o. Integralem I
182쪽
n Va' - Σ' a a - - Σ ). quemadmodum mihi ex Cylindro innotuerat stametsi suae novae methodi vires casum istum Euterus ipse exsuperare professus sit in sa&9ὶ, utpote Axe minore Ellipseos Pascalii tunc in nihilum abeante. Posito demum Δ - - . vel potius u O, liquee
Integralia ipsa prioris et alterius exempli formam communem induere est Areus Cirenti radium habentis a. Cylindro reapse realeno tum
in rectum converso, ideoque Ellipsi in aequilateram seu in Circulam permutata . Quae omnia ab Elementis Geometriae derivata mirum in m dum conveniunt eum .novo ac sublimi Euteri Calculo aio , non secus atque cum recentioribus inventis Lexellii sati . Riceatus ait sala: in secundo etiam exemplo tum oriri Ellipsin, cuius Axes in proportione sint da l -
183쪽
tem , non dissimiliter ab alia Formula sta It -gΣα repraesentante Aream vel Aream Circuli, in quam abit Integrale posterius f. g--- eadem hypothesi saeta sat ) . Multominus novum ae dis
se ite fore arbitror Theorema illud ab Euteri Cale ulo suppeditatum. In te gratia nimirum praenotata duos Ellipsium similium Arcus semper comple- ars in . Praeterquam quod sola Synthesi geometrica id demonstraverim in 8'' ae postmodum de innumeris Ellipsibus . cum Riccato consen tio sat6ὶ non Ellipsi tantummodo, sed etiam Hyperbolae communem esse versionis unius Arcus in alterum adsectionem. ententia enim Euteri de cernit Perimetros integras, aut partes similes Ellipsium simitium, quarum Axes alterni fuerint a, et atrarumque Parameter e I, ad Axes tamen alternos Pertinens, proportionem servare a ' : ' - , sive asia : I ἔ
quod nemo inficias ierit semel ac observaverit Axem primam unius Et lipseos esse a, secundum Axem primum alterius -Lo , secundum
Nam ita compositae Ellipses necessario similes sunt, ex eoquc d a:
min: - , et idcirco totarum Perimetrorum, partiumve similium V ae aratio di manet a:
I, quemadmodum patet. Sed idipsum iaciliter de Hyperbolis eompro-
batur quum similes aeque Hyperbolae sint, quas adtineant Axes a , Par. I . V se , e
non tam infinite- longae perimetri harumce Hyperbolarum, quam similes quotlibuerit earundem Arcus proportione gaudeant az I a ' : --,
184쪽
Arellumque unum semper in alterum permutare Geometrae iure optimo possint. Servato eodem Ordine breviter nunc adnotabo singulares aliquot casus utriusque Formulae primigeniae Arcum Hyperbolicum includentis . Ac pri-
mum in I - - - transversum Axem respiciente, seu potius ιuxta
tuunt Rieeatias sar in aliique post eam; nam ex II' . '. et a '. , et solo cireulo contemplato ostendi sob: - 1 - 2 Areum Hyperbolae aequilaterae formam peculiarem induere Ea - I
Q ΣΕ - t se Ixx - m Ixx - 2fCodssiciente negleeto. Isthuc ipsum expertus sum in altera Areus Hyperbolici expressione primigenia. quae coniugatum respicit Axem, et effer. tur hoe modo si compendiaria Lexellii Formala utaris . V 1 - qzzEnimvero eonsultis g s. et '' et 38''. Areus Hyperbolae exprimitur per ------ statim atque aequilatera suerit, sellicet brevius
185쪽
ita ut, eadem conditione posita, utraque Formula adgeta
aequi lateram Hyperbolen reseratur sat83. Prior expressio I
dicat Integrale tum . consequi ab ordinatis ad primum Axem aequitaterae Hyperbolae, veluti antea in Ellipsi dependere inventam est Integrale ab Ordinatis Circuli, sed admirabili analogia ab Ordinatis et aquilaterae Ellipseos. Curvamque totam in Rectam se vertere. Idem contingit etiam Formulae
. Nam saeto o, exinde nascitur recta Li-
da --gzz- ubi a o, nemo non vi- Up-qzzdet Hyperbolam in Parabolam verti, et ideo Areui Parabolico, vel Areae IIyperboli eae . seu potius Logarithmis saeto) locum fieri, non secus ae supra in Ellipsi. Et revera Parabolam Apollonianam norunt omnes limitem esse tam imam erarum Ellipsium, quam innumerarum Hyperbolarum. Cetera linquo, quia nec minus obvia, nec salebrosa. Unam duia taxat Praeterire nequeo, Euterum . scilicet, ideo Potuisse Formulam IId . suae Tabulae . quao directum complectitur Arcum Hyperbolae relatae ad se ineundum Axem. integrare nihilominus praesidio Arcus Hyperbolae alterius primo Axi comparatae taetrὶ, eoquod duo illae Hyperbolae ex demonstratis in praecedente per doctrinam Pa se alii, huiuscemodi sint, ut vel unam vel alteram tractes eodem perducant sas. Quod die tum velimite sorte r. παράδοξον Ealerianum Analyticis legibus subtrahi aliquis sen- serit.
186쪽
serit. In eo tamen maximopere effulgent vis et praestantia doetrinae Pasca lii, quod sibi ipsi susticiat ad reliquos omnes Tabulae superioris eas usperquam facillime resolvendos. De primigeniis quatuor, nimirum III '. VI'. li'. ae XII '. abunde lain dictum; nunc quinam alii casus ab istis oriantur dicendum erit
Formulam generare ab Arcubus simul Ellipseos et Hyperbolae dependentem s=I. 33. a ). Igitur universaliter Areus indigitat Hyperbolae simul et Ellipseos, atque praedictae Tabulae congruit. Ve
qui casus idem est, nimirum eum VI . - ρ γ qeta. V i ρ - qzziam resoluto, et eadem praesupposita conditione τὸ fet D Areum El
dividatur per enascitur VIlIμ'. conditione servata δε quum
187쪽
quod Integrale illud est . cui Tabula Euteri praefigit numerum VIIm. Eadem itaque conditione sarta tectas , docet ipse a a ' . hanc VII . Formulam solummodo Hyperbolae Arcum complecti, quum ibi viderimus sposito s Arcu quocumque Hyperbolico lare 1V-i- , atque τὸ demonstraverim paulo antea Hyperbolicum semper Arcum indigitare. Simplicias quoque hoc ipsum arguitur animadvertendo VII. gar ida I - f gzz a
tisne servata. Praeter casus ergo quaternos primigenios III ' . VIR . IIv .XII φ . fidem meam liberavi de IV φ. XI R. VIII R. XM'. ac VII R., remanentque tandem enodandi VR . IX . ae Ivt. Dum agebam de Tormulis Mactaurini in 9'. 424'. Pascalii Theorema mihi suppeditavit τὸ
ρ p - qad . . f-gazmirum universaliter compleetens Areum Ellipticum, et Hyperbolicum . Sed aeque tin ersaliter in sῖ''. unius Pascalii praesidio statutum suit huiuscemodi integra Ie ab Arcubas simul Ellipseos, et Hyperbolae dependens, si per Gri multiplicetur, Formulam gignere, quae ope uitius Arcus Elliptici Disit iroo by Coo le
188쪽
ri, convertatur post factum τὸ se gaz - x in Formulam trinomialem - - , secundo denominatoris ter-
mino ex hypothesi semper negativo existente, primoque ae tertio positivis. Hoc autem Integrale si per dividatur, in alterum abit indu tam formam Alembertianam T c πο . V t
quod ex Pascatio Areum indicat unius Ellipseos. Verum in comparatione Formularum V . a IX'. demonstravi Integrale illud, quod multiplicatum per aut potius divisum per -Formulam generaverit ab unius E lipseo; Areu dependentem inclade re Areus simul Ellipticum et Hyperbolicum . Huiuscemodi
--. -- - dummodo δε n ; quod- in Tabulae comple- ρ -- g2d mentum demonstrare susceperam. Quae quum ita sint, opus paucis absolvi . implexi ae fastidiosi plerumque Calculi pondere satiseens si vulgatam methodum advoces Analystarum . Ut isthuc ipsum liquido constet, Tabulam novam composui, quae meo ritu servato, cunctorum horumce Integralium casibus propriam sedem tribuat, ea ussamque eorum originis a Pascalii Theoremate prosequatur. Oculis etiam subiiciendam curavi Eulerianae ae meae Tabulae comparationem, ut quo ordine , qua ratione, qui busve legibus incedat res elarias effulgeat, aut a Pascalio aut ab Eulero proficiscatur. Iudicium esto penes Geometras an haec dissic ἰllima Integralis Calculi para, a tot tantisque viris hactenus exculta. Pascalii veluti silo diducto meliori in lumine conlocetur. Mea quidem sententia Tabularum hucusque in lucem publicam editarum ac sequentis, quam adiicio, sed la et sidelis eonlatio litem dirimit omnem.
190쪽
Ab Ellipsi super Axem minorem. Areus unius Ellipseos directus. Ab Ellip, i super Axem maiorem. Areus uniux Ellipseos directus . Ab Hyperbola ad Axem Secundum . . Areus unius Hyperbolae directus. Ab Hyperbola ad Axem primum. Areas unius Uyperbolae direetus. A Formula II . per divisa. Areus Ellipseos et Hyperbolae . A Formula VI . per multiplicata. . . IAreus unius Ellipseos indirectus. A Formula Ur. per divisa . Arcus Ellipseos et Hyperbolae . A Formula XII R. per divisa .
Areus unius Hyperbolae Indι rectus.
A Formula Xn . per multiplicata . Arcas unius Hyperbolae indirectus. A Formula Mae laurini ex Pase alio. Arcus Ellipseos et Hyperbolae. Ab eadem Formula per multiplicata. Areus unius Ellipseos indirectus.
A Formula Alemberti ex Pascalio per x divisa. Areus Ellipseos et Hyperbolae.