장음표시 사용
201쪽
ς W'. clariter explicabo. II; polli est ad ma Icrem facilitatem revocata rῖfhς h, nemo non videt esse
coniugatus , abscissae x a centro computatae iii Axe secundo. Patet identidem
coniugatus Q, C . Descriptis igitur hisce duabus ityperbolis Fig'. a 9 ὶ,
erit quodlibet elementum Arcus prioris BC III elemento posterioris, ideoque etiam totus Arcus AC GI, et si e de ceteris in insanitum, dummodo KL, KM et . - v, et ΕΝ, - etc. - It coordinatae fuerint tertiae Hyperbolae DEF eodem centro K praeditae, cuius Semiaxis trans
ne membraram dependeret troiceisens es et, quippe ducis Arcus aequa les diversarum et dissimiliam Hyperbolarum complectens. Veruntamen eius Aequationis ordo ac lex ad relationem algebraicam ' inter variabiles pereducunt absque eo quod separatim membra integrare necesse sit, nimirum, ad Locum Hyperbolae conicae - hae - Λ o; qua relatione innititur, et ob quam exsistit, neque aliter exsistere, nec vera e se unquam Po test
202쪽
test Aequatio data disserentialis. Qui sicillimum optaret, simulque nitidissimum huiusce argumenti specimen contemplari, centro R IIyperbolani sibi describat Fig'. o. aequi lateram ; et Vocatis Semiaxe tram ver, Io, ac coniugato a, b, et coordinatis RS x, R P I consequetur gemina expressum forma idem elementum ι Γ Hyperbolici Arcus Oh , scilicet ad secundum Axem .- - - - , atque Ubb- AN
quae casus est admodum singularis Aeqdationis oecumenicae comparatae
nullus dubito quin satis constet eo perducere Aequationem illam differentialem propositam, ut nihil aliud signi licet praeter Locum Hyperbolicum, a quo nata est, nimirum Aequationem aut relationem duarum variabilium secundi ordinis bb' -- a b' Hic autem casus a praecedente universaliori non differt nisi quia tres illae Hyperbolae in unam eandemque coalescant. Ad Alembertum nunc venio, qui quum
relatione inter variabiles x, di, quae in Aequationem x - et I - ρx et o Hyperbolae ad asymptotas relatae tacite evolvitur. Omnis vero Auctoris praestantissimi labor innititur Theoremate, quod ante illum et V Riceatus
203쪽
. . . v ρxa I . . . . dummodo sit Σ ---. Aequatio Igitur xd rex s
euius eo ejic entes datis conditsonPbus satisfaciant, eadem erit atque Aequatio algebraica -π' - ρα - - ρ - O. tametsi duo illius membra sint transcendentia, et ideo respuant algebraicam integrationem. Nam per Tabulam β'. 4M . primum Aequationis ipsius membram si summaretur est differentia inter Lineam rectam atque Arcum conicae Curvae, nimirum m
tur, ut coordinatae sint illius Curvae, quam supra obiter memoravi. Quibus rite intellectis, et in suceam ae sanguinem versis via sternitur ad maiora. 47. Eam vero Lineam ordinis Q , vel unἰ versalius x, -υ -bx - e o maximi habendam arbitror, proptereaquod ab ipsius areae dimensione rectificatio Conicarum procedat. Dum etenim rursus in censum. - e . Is ox - si f--gxxveniat Formula oecumenica --- . atque bat γ
204쪽
--x -- - o, procul dubio erit f dx
-- - - - γ' - ου o. Quinimo nequidem revocatis Formulis
simplicioribus, quas praebuit in g'. a x'. doctrina Pascalii, quidpiam ordini Curvae detrahi posse Algebra docet. Namque primitiva illa Formu-ώ bx a . . t 'Ibx-
, aut signis reiectis toties v rix c v x sec
quoties x'I' θ' - bx - a se o. Haec mihi iampridem meditanti Oecurrit excogitandum quanam de caussa Alembertus in III . Disquisitiomum suarum Parte de Calculo Integralium promovendo. usque ab anno M.DCC. XLVIII '. sa66) dieaverit Aeademiae Scientiarum Berotinensi elaboratam valde. egregiumque commentarium in eas Formulas determinandas, quarum integratio ab Areu bus simul dependeat Sectionum Conicaram et Arearam quadratura Lineae a '. ordinis 36τὶ, oblitus sertasse, aut invisas Quadraturam Lineae ordinis tertii simplicius esse Problema prae Recti ficatione Conicarum, vel Quadratura Linearum ordinis quarti . Et re quidem vera Alembertus idem in Opaseniorum Mathematicoram Volumine V '. sa68 quum ipsam antiquiorem investigationem novis inventis locupletiorem facere cordi habuisset, Analysias merente serme animo admonet hactenus non potuisse- ----praesidio Arcuum Conicarum in- QP Qx RxΦ1egrare, quamvis amplissime ostenderit Formulam ipsam sicile integrari ope Areae a Linea a i. ordinis comprehensae 369ὶ, perinde ac si Anal seos leges neque inversae, nec perturbatae fuissent quodammodo quadraturam Lineae ordinis inserioris illi superioris ordinis posthabendo. Quidquid autem V a hoc
205쪽
206쪽
llano more traetare, nimirum supponendo f-ρ I, g m,q n, ut simpliciorem formam quadrinomialem acquireret thmx'rar I . Tabulam hete promissam subiungo, quam sustus explicandam supervacaneum scire nemo non videt, quum nitidiores aliquot easus suppeditet in Elementis iam contemplatos, ae praesertim a Bouga in villio sa οὶ .mx' me I obtinetur a recti eatione 'Elliptici .
Elliptici . II Ellipti et . XI. Elliptiei . vI. IIyperbolici . EXIII. Hyperbolici .
Hyperboliei. IX. Ellipti ei et Hyperboliet simul.
Elliptici et Hyperbolici simul. HI. Elliptiei et Hyperbolici simul.
Elliptiei et Hyperboli et simul. XII.
reeidunt, aut Curvam reddunt imaginariam . 48. Non.
207쪽
48. Nonnullas Curvarum harumee adsectiones , quae veluti sponte mihi se obsexunt, iniuria quidem silentio praeteritas aliquis redargueret. Namque nec Peregrinum, nec salebrosum est illud eas semper Lineas dum reales fuerint ex quatruor ramis , constare similibus et aequalibus circa duos eoordinatarum Axes dispositis, quod ipsam comprobat earumdem quadratura, quum arcus Elliptici et Hyperbolici tam positivi, quam
negativi sint eadem abscissa manente . alterumve ipsarum ramos esse in infinitum porrectos circa Axem et e regione τοῦ ν x iis tantum casibus, qui numeris Tabulae adpositis distinguuntur Xl'. VI'. IV'. V'. XIIR φ. . esse autem in infinitum productos circa alium Axem et e regione τῖν Fiis casibus , quibus respondent numeri tu . Ilμ . Villv . IXv . V - . VIM. IV M. Exinde consequitur Aequationis illius easus ternos IVR . VR . ac VIR . Curvas exhibere Octo infinitis ramis compositas. nimirum, quatuor e regione x, ac totidem e regione di instar Hyperbolae geminatae Apollonianae nx' I , quae singularissimus casus est Aequationis eiusdem statim atque in casu V '. secundus ac tertius terminus evanuerint. Illae demam Curvae ad reliquos binos numeros pertinentes VIIR . ae XR . ramis
carent in sinitis, hoc tamen discrimine, quod Curva castis X . in Ovalem unicam se componat. dam e contra Linea castis VII . duabus coalescat ovalibus coniugatis a centro aequi distantibus, nequalibus . similibus, et similiter positis .. Asymptotae vel Axes ipsi mei sunt, vel Reetae finito in. tervallo distantes et Axibus parallelae, earum etiam infinitis ramis gaudentium aliquae separatis partibus constant, ceterae in puncto interseis et ionis Axium, quod universaliter est Centrum Curvae, ramis omnibus connectuntur; Lineaeque quaedam infinitis praeditae ramis circum Axem των κ nunc ei concavitatem , nune ex.adverso convexitatem obvertendo, Rectam geminam habent veluti limitem Hyperbolicorum horumce ramorum nae 3 mx', sives is in Aequatione generali comprehensam . Sed iterum iteremque profiteor inania haee esse ae utilia post Curvarum theoriam a tot tantisque viris excultam, et Newtono potissimum, Brage longilio , Leonardo Eulero. ac Gabriele Cra mero sari); adeo ut a meis veteribus collectaneis transcripta si deliter ne novo quidem examini subiicere, neque errores aliquot, si sorte irrepserint ea tempestate . nunc
208쪽
emendare curaverim. Ceterum quibusnam casibus Curvae Area a Circuli arcu aut ab arcu Parabolae conicae consequatur, quibusnam aliis geometricae quadra rae sit capax, Imst dicta in β'. 44 '., et Aequationis naturam indolemque perspectam quaestio est currente calamo dirimenda . Si Aequationem spectes completam, nunquam id contingere posse videbis:
si mutilam. unoque tantum termino carentem, aut ob n o termino
caret sublimiori , et eo casu Linea duobus gradibus remittitur ac in Circulum vertitur, vel Hyperbolam Apollonianam, nullusque hoe aevo dubium movet de Circuli, aut Hyperbolae area a Circularibus, vel Parabolicis arcubus derivanda ; sive demum propter m tertius terminas deest, abeunte Aequatione in tri mialem ordinis i. -nx γ' - I. tumque ipsius Area ab areu Circuli dependebit, quemadmodum in serius ostendam. Unicae, quae in trinomialibus huiuscemodi quadraturam non respuant geometricam, Aequatione distinguuntur is γ' Mina ', quarum deinceps meminisse iuvabit . Veruntamen, unde nam fiat quod Curva Persectam completamque Aequationem quadrinam alam induens nusquam possit area potiri, quae ab arcu Circuli vel Ellipseos potius aequilaterae mensuram recipiat, tametsi possit ex demonstratis in 44'. ab arcu aequi laterae Hyperbolae, alii quaerant meticulose, mysteriumque dictitent Geometriae. Meo quidem iudicio nodum solvit comparabilis origo illa, quam praebui in il '. , elementorum arcus Hyperbolae aequitaterae et Circuli: nam virum decet mathematicum religiose, sancteque colere veritatem, sed nunquam effetis miraculis fabulisque inquinare. Adnumerandam potius exsistimo aliis proprietatibus universalibus eiusdem Lineae '. ordinis in Tabula contemplatae illam quam maxime elegantem, rotundum nempe Solidum a Linea ipsa genitum revolutione circum Axem τοῦν x,
rem iacile eonverti posse per quadraturam Conicarum Sectionum Circulo
etiam ac Linea recta subintellectis); quod egregie consonat Lineis, quarum Areae a rectificatione earundem Sectionum, uti ostendimus, conie-quuntur.
9. Primus omnium, ni fallor, Alexis Clatrautius sadhue puer duo decim annorum sapra dimidium, id testantibas triumviris Academiae Pa. risiensis
209쪽
risiensis Scientiarum Fontenellio, Nicolio , ae Pi toto sara , annumque M. I CC .XXVl' . statuentibus laeta)ὶ in Volumine IV'. vel Continuatione Miscellaneorum Berecinensium, edita vertente anno M. C.XXXIV . . de Curva loquutus fuit a'. -- x ar ), quae ipsam et est I γ' - superius descripta, dummodo coordinatae X, F Permutentur, et vice a ' in priore subeat generalius a' b', et - alterius idem sit eum
a'. Enascitur ista Linea statim ac in Pascalii Formula 25 ., quae pe ducit ad rectilicationem Ellipseos conicae. ubi di asat e o, subeatque pro Ellipsi scatena Ellipsis aequilatera aut Circulus. Claira ut ii Lineam, sed Aequatione praeditam universaliori a b ab - x γ , nuncupare soleo IIyperbolam Circuli, propterea quod veluti odid natae ad IIyperbolam Apollonii proportionem servant inversam ordinatis
ad Rectam , - - ) ars in , non secus atque Operbolismi quatuor Hy
perboles, bini Paraboles, ac terni Ellipseos a Newtono animadversi in sua Antim ratione Linearum tertii ordinis Londini edita anno M.UCC. IV '. I' IV. num. 9. Io. II. , ita in ea Curva sit ν - --- , scilicet, a -x ordinatae sint reciproce proportionales ordinatis in Circulo. Trigonome . trice inspecta eadem Curva nihil aliud est nisi Linea , cuius abscissae x sinus sint i ordinatae autem secantes ipsius Circuli arcus si bet za, aut secantibus proportionales in ratione b: a. Exinde oritur area ipsius Cur- . ra 'ds S u θὶ .b . - 'vae Dγώ et in casu τι b a, quo Curva
aequilatera dici mei et ur, se videlicet dupla Sectoris Circuli generatoris inseripti. Hoc etiam aliter ac synthetico more derivatur a Figurae inspectione 4I' ., qua Curva pingitur quatuor ramis conflata Hyperbolicis e regione τῶν γ, eoquod singularem casum constituat ad IIv ac IXR . universalis Tabulae pertinentem 376J. Nam si parapaeter Curvae b a. liquet ex Lineae genesi, quae duabus partibus aequalibus et similibus EAD, GCF, uti Hyperbola Apolloniana, composita est, inter se dissitis Per
210쪽
e Intervallum In Axe τοῦ ν x aequale diametro cireui I generatoris
Ea, quod intervallum HI Ea segregat etiam duas rectas Curvae
eiusdem asymptotas Axi parallelas XHU,Tu, fore SK: BK- Lx a at RS : ΚΜ Bx : OS, et idei reo elementum areae asymptoticae RSOP 2Bm, qaemadmodum supra. Quadrans igitur areae, tametsi altitudinis infinitae. ABIra duplum peraequat in seripti Quadrantis Cireuli AXIB, totaque infinite longa area TDAEXH Core duplum Cirenti inscripti AHGB eodem Curvae centro gaudentis. Id si Evangelista Torricellius idisset, inter nostrates anteacti saeeuli Geometras space dixerim Vincentii Viviani saret facile princeps, nee Solidum suum infinite- longum
mperbolicum acutum tot tantisque I audibus extulisset 378), quod inventum Paulo Postea uno pene calami ductu Ilona ventura Cavalerias in immen um adauxit tarp). nee procul dubio mirabilem analogiam inter Solidum ipsum Areamque illius Curvae silentio praeteriisset. Ut enim in Solido illo ab Hyperbolae aequi laterae circum asymptoton rotatione genit quaelibet illius pars a quadrilineo infinite longo producta par est duplo subiacentis et inseripti Cylindri, non secus etiam quodvis Areae nostrae in sinite - longae quadrilineam ABSO adaequat bis sumptum reque inscriptam sabiacentem Sectorem ABK. Quemadmodum in Solido illo Torrieelliano Praedictus Cylinder suprema sua basi eius capacitatem bisariam secat, ita Quadrans Circuli ei ream serentiae Ara in duas dividit aequales partes aream asymptoticam ABIT D; Hemi peripheria IIAI aream DA EXHBLT, et Peripheria integra ram totam aream TDA EXHVGCFZIT bifariam secant. Eodem pariter modo, quo Solidum Hyperbolicum in frusta aequalia dividitur quotlibuerit si Radius baseos in totidem aequales partes divida
tur . aut, si velis, in qua vis data ratione secatur secto proportionaliter eodem Radio, si e area nostra infinite longa easdem patitur divisiones se. Cando in partes aequales, aut proportionaliter Arcum Quadrantis AKI vice Radii BI, veluti in Figura adumbravi. Eadem ratione analogiam quo que servat ipsam et Area eum ea infinite- longa Logarithmicae Curvae r latae ad Asymptotam, propterea quod haec Area postrema Solidamque acutum Hyperbolicum Frusta simul habent proportionalia ordinatae ex tremae segmentis, Torri cellio ipso utrumque prae omnibus demonstrante MS. Palat. in Hemibperbola . Sea lenae autem Curvae post aequi lateramini astratam explicationis vix egent. Vel enim circemscriptae dum Par