장음표시 사용
211쪽
meter Br bα BA a, vel inseriptae in aequilatera suerint dum Parameter ΒΔ b BA - a, iisdem parallelis asymptotis Tu. XLM
gitur universa haec Curvarum innumerarum familia, adeo ut et communis bus asymptotis gaudeant, et asymptoticae sint inter se non secus ae Hyperbolae conicae similes. Quo magis minuitur Carvae Parameter ΒΥ, eo magis illius rami expanduntur usque dum b evanescente abeant in Diam trum rare, duoque vertices cum centro B confundantur; et e contra quo magis augescit Parameter eo magis eius Lineae rami contrahunturusque dum b infinito evadente tota Curva in infinito se abscondat. Hos inter geminos Curvae limites et Areae partes, et Areae integrae aequan tur duplis Filipseos conicae inscriptae subiacentibus Seetoribus. aut duplis integrarum Ellipsium, quae Ellipses s faelle in Circulos convertendae Radios habentes ex Conicorum doctrina, aut medios geometrice pro Portionales inter eonstantem Radium BI ac Para metrum Curva et Semiaxem unum semper habeant constantem BI a. alterum vero ΒΥ, ΒΔ etc. b. nimirum distantiam verticis a centro communi Carvarum omnium, sive semidis tantiam duarum partium Curvae coniugatarum. Revera. qaum
ex praemissis quaelibet ordinatarum Curvae scatenae Dp aut sit ad Sorespondentem aequi laterae in ratione data BF: BA aut ΒΔ : Bil, nempe ex Conicis uti Seetor Ellipseos ΒΥQ aut BΔΦ ad Sectorem Cireuli BAL, sive ae eorum dupla, nemo de veritate Theorematis elegantissimi dubitare unquam Poterit. Quinimo et valde admirari debemus in curvis istis amplissimam Geometriae catechesin tam in areis Curvaram scalanarum persectam nihi- Iominus servantibus analogiam eum Solido Hyperbolico acuto ab Hyperbo- Iis Pariter scalanis generato, quam in adstruendis nitideque explicandis huius Lineae praesidio variis gradibus Infinitorum, et Infinite- parvorum, de quibus hucusque fastidiosa, ae saepius a veritate absona Mathemati. ci protulerunt sa8o . Primus ego, quod sciam . in Prole gomenis Theoriae Magniιudinum Exponentialium ete. ostendi sa8aὶ Solida Hyperbolica acutabadbus conteis praedita dupla etiam esse subiacentium inscriptorum Corporum a revolutione Parallelogrammatis obliquanguli genitorum, et in partes aequales quotcunque, aut in data proportione secari quoties in easdem numero partes, aut in eidem proportione secetur latus conicae baseos. Non diversimode Area Curvae, quam tracto, dupla est Sectoris inscripti subiaceatis Ellipseos, dividiturque aut aequaliter asti inaequaliter
212쪽
uti libuerit, dam ita see et ne Seetor Ellἰptieus, vel, quod in idem recidit, Seetor aut Areus Circuli circumscripti. In extremo Curvarum limite,
quo Parameter ΒΔ - - , asymptota V Π pote r quin
infinities. infinitae sit longitudinis: in altero extremo timite, quo et Ca va et Ellipsis inseripta sormam induunt Lineae rectae IBII propter 'Pa- Tametrum b o, asymptota quoque in nihilum abit; sed utpote nihil obstat quominus τὶ o Asymptoton ad o Parametron proportionem habeat infinite magnam a: - - ω a: o. Itaque in recta TIZ, suaque comite Infinita, nimirum extremae ordinatae, rationes Omnes Possibiles exhauriunt inter se a maxima ad minimam, quemadmodum Car- arum omnium Para metri. Veruntamen rationes istae του oes: oci , sive o': neque haee Infinita, neque has Nullitates prouti exsistentes, sed prou-ti ex ri tentium magnitudinum similes. ultimasque Finitorum proportiones Geometrarum oculis obiiciant necesse est. Nam eadem symptomata nobis obserunt in Elementis non modo a symptotae communes innumeris similibus Hyperbolis conicis. quin eii im Circulus ipse Euel ideo more ver
satus saga . Ea propter quod Alembertus ingeniose quidem in Ops eulorum
Ruthematicorum Volum ille UI . . typis excuso vertente anno M. DC . LXXut .sa 8ain, de Logarithmica disseruit AB Fig. 42. eandem eum Hyperbola
A pcilloniana D E asymptotam habente FGI, nec novum esse iudico, nee ealculi indigere, neque ab iam dictis discriminari. Neminem etenim latet inscripto in Hyperbola quadrato cGra. ordinatas Logisticae ΓΜ, etc. duetas in constantem CB FB Sub tangentem eiusdem Curvae Hyperbolicas semper areas rara , CB- etc. Peraequare. Hoc primus docuit Iaeobus Berno ullius ia84ὶ . quamvis hanc Curvae transcendentis generationem innuens nec Logarithmicam suisse persenserit 385 , nec eius continuationem veram cognoverit, quam censuit BPQ. perinde ac si regressu in B praedita staret, oblitas spatia CBZR, CBΔS etc. negativa fieri, ideoque negativas etiam ordinatas ZT, e V etc. vice po,itivarum AP, Δ2 etc., et ramum B PQ in inversum B C sseeti debere. Nam ob inventum Robervallii, cuius gloria vulgo tribuitur Iesu ita e cἰregorio a Sancto Vincentio sa86 . r. f. - etc. arithmetice crescunt FL. - etc. crescentibus geometrice, aut etc. geometrice decrescentibus. Est autem LΥ .mr
213쪽
ex ista Curvae generatione: BITC, ae similiter HX: LX --:BMIC etc. Igitur quum haec ratio ex natura Hyperbolae ad asymptotam relatae, quo punctum II remotius suerit, semper augeatur sine limite in infinitum versus Σ, Λ, erit tande asymptota Hyperbolae EF ad asymptotam Logarithmicae V veluti oo: I , nimirunν erit asymptotarum postrema Infinitum , quod vocant paradoxum sa8z), et extremum in Hyperbola re clangulum inscriptum sic e BC . ad extremum alterum in Logarithmica IA. IF uti eo : r . quemadmodum Alemberto placuit. Illud tamen prae omnibus in Cia ira ut ii Linea oblectamento maximo mihi fuit, quod ea duee detexerim mensuram Superficiei Solidi rotundi a revolutione geniti cuiuslibet Segmenti circularis ICAB circum Chordam ra l ig'. 4 a J. Dueto etenim radio XVA ad Chordam ra perpendiculari , protractoque usquedum VΝ - . sive ΑΝ - XV, emissisque quotlibuerit radiis A D. XC. Mete . . et ad re normalibus m. CLOQ etc., istae adeo producantur in L, Κ, Π etc.. ut sint o DT, H CS, OR etc. Ex notissimo Geometriae Theoremate erit Area Curvae sic genitae IHELAV ad Sa perficiem hemisolidi a Semi segmento geniti IOCDAV veluti Quadratum Radii ad duplam Circuli sui Superficiem sa88 . Atqui Curva descripta eadem est eum illa Clatrantii superius considerata. Nam si reseratur ad Axem NY normalem rectae se . habebitur AN VX. GL: Θ-FL- DX-DT . , pariterque EX G, ΕΗ .RX, ae tandem ras radio IX; scilicet habebuntur ordinatae GL TX NA. Ax
, et sic de ceteris in insultum: quod non tantum Hyperbolam Circuli denotat, veram etiam facillimam huius Lineae, quae Para metrum Zatam quamcumque habeat AN, Asymptotamque ΨTΔ e regione xv, deis
scriptionem aut construetionem graphicam detegit ope rectarum ab extremo h pothesurae pane to X ad oppositum latus IV emissarum. Area vero
LXmsed demonstrata iam est aequalis ri'. a Seet. I AD II . Igitur Area VALYHW- XA . IV --. XA . ICA ra . IV-XV. ICA XV. PA - XV. I si tangens dueatur areas genitoris ACI PA ICA V. Quamobrem reperta Linea recta, quae media sit geometrica pro
214쪽
portionalis inter Disserentiam Tangentis Areas genitoris ab ipso Ares, et Distantiam ι T Chordae eiusdem Arcus a centro Circuli , Supersi ei es Semi solidi dupla erit areae Circuli media illa veluti Radio descripti ; et integra Solidi Saperficies ipsius Circuli quadrupla erit . quemadmodum de integra Sphaerae Superficie relata ad Areim Cie- euli maximi Archimedes invenit. Archimedis profecto theoria unus, atque facillimus, et singularis easus est superioris doctrinae, in supplcmentum Geometrae Sieuli iamdudum a me inventis additae Torri cellit. Hugenii.
- )o , o IM' , nempe Sapersicies Hemisphaeriea dupla Circuli maximi, et Sphaeriea eiusdem Circuli quadrupla 39οὶ . Eadem nova theoria fundamentum est quoque dimensionis a me alibi traditae sapiὶ Tholi illius in Architectura medii aevi, et Germanorum re aedificatoria praestantissimi 392 , quem Itali vulgo nunc u Pant . a sesto acuto, Galli en tiera-ροint, vel Vive , aclive , ex Germanico verbo aur coeli , minusque docti Gothicum adpellare sueverant. so. Aliae Cia ira alii Lineae ab eo animadversae in usum Deliaci Problematis nec minorem elegantiam obserunt, nec minus idoneae sunt Geometriae promovendae. Hasce etenim Curvas dum longo tempore elapso
Lineis illis compararem, quae a Carolo Renaidino Mediaeae dictae fuerunt in opere Patavii edito anno M. DC LXX '., cui titulum fecit Geometra pi motur 393ὶ, non potui quin Cia ira utium impuberem Reualdino admo. dum seni, et primum in Pisana, deinde in Patavina Academia Antecessori sa94 . praeserrem. Suis iste novis Lineis, et Mediceae stirpis regali
tessera decoratis, adnumerat Sine nomine tam eam aequatione distinctamisi x γ', nimirum Hyperbolam conicam aequi lateram vetustissimam,
quam aliam bx - ae' γ', videlicet Circulum. Reliqua perlegenti Horatianum illud iacile occurrit Quid dignum tanto feret hie promissor hiatu Ohi quam impar Renaidini labor prae ingeniosissimis Curvis ante ipsum. scille et anno M.DC.LlV'. a Christiano Hugenio contemplatis in opusculo
cedro digno, cui titulum fecit Illustrium quorundam Problematum constructiones ζ Linearum Clatra ut ii prima, quam medianam Parabolicam auctor ipςevocavit, suppeditatur ab Aequatione O, in signo tan tum
215쪽
tum P stremi termini diserepante ab Aequatione simplicissimi Bisolii in i mri contemplati x'-a 'x' - o . Singularis huiusce Lineae proprietas est, non equidem a Pernanda, quod si orthogonalium eoordinatarum vice reseratur ad eius Centrum veluti focum ope radiorum a. et angulorum φ ad Axem τῶν x, unde Aequatio data vertatur in Σαα - , haec analogiam eloquentem satis praeseserat , intimumque
foedus eum mea Lemniscata, illaque notissima Bernoulliorum. Dum enim Lemniscatarum prior ex I'. 4I '. distinguitur Aequatione Σ - . ae Bernoulliana solo numeratore contenta Aequationem Cos. φὶ ' Η habet se is a se Cos. up , Linea Cia ira ut ii vicissim denominatorem uni cum eligit, et Aequatione fruitur Σ --- ῆ , quemadmodum innui.
Cognationem quoque ipsius Curvae, ac Lineae rectae Aequatio eadem ostendit ; propterea quod, ut norunt omnes. Recta, vel potius duarum Parallelarum Rectarum Systema intervallo 2a dissitarum exprimatur hae Aequatione d - ----, secus atque in spatio finito duo tantum indieat puneta coniugata, et per idem intervallum ua distantia , altera extremi gradus rationalis Aequatio Σ - -
--- et Tang. ., quod praesidio In sinite- parvorum Analyseos hae- Cos. tenus suit demonstratam sa95 . Nam Cos. φ, vel a. Sec. φ est Hypothenus a Trianguli variabilis orthogonii , cuius altitudo constans a: igitura . d peius Areae elementum tum a d V ς- dum ex Eueli de isthuc ipsam elemena Cos. φὶ , prout i Figura patefacit. Depressa Aequatione
216쪽
Illa Trigonometrica ad Reetam Lineam z --, oculis statim suinos. φbiicitur altera Trigonometrica irrationalis Σ quae ad secun- v cor. φdam pertinet Clatrautii Lineam, seu mediσnam Πνperbolitam, cuius Aequatio more solito concinnata x'--a' - o. Paradoxorum amatores Analysin heie repugnantem. et in contraria ducentem fortasse crede rent, quum Aequatio more solito expressa κ' - - - a' - Οquata Otram Os suppeditet, nempe a realis valoris quomodolibet Radius et Axibus inclinetur, dum e contra Trigonometrica Σ - --- obserat Tu cor. Pimaginarium posito cis. φ negativo. Veruntamen primitiva, et numeris
omnibus absoluta Aequatio quum sit α' --, erit et tam Cos. φι ΣΕ - , quam . Postrema Formula in hypothesi τοῦ Cor. φv Cor. p v cor. Pnegati vi realem habet ualorem, et nodum solvit; sed prima nihilominus recte perpensa quatuor susscit Curvae ramis describendis, alteramque penitus inutilem esse decernit. Aream huius Carvae quaerere , quam Clat rautias ea tempestate ignoraverat. ladicrum potius. quam serium molimentum esse patebit. Profecto huius Lineae asymptoticae , et quatuor ramis compositae similibus et aequalibus t Fig . 44. Sector quilibet een tra
I a cis. φ a a stenim expressio illa eadem eum alia, quam vocant Latitudinum erescentium sive Mapparum in usum rei nauticae a Nicolao Mercatore atque Eduar do Wrightio construetarum sa96 . Area ergo a Linea ipsa comprehensa ex quadratura dependet Hyperbolae conicae . quemadmodum confirmatur
ab altera expressione I, dx f-- aset , totaque in infi
nitum protensa ABCDI, ideoqne et quadrupla ADEF. infinitae est magnitudinis, secus ab Hyperbola Circali in praecedente 9'. contemplata. Nec pulcherrima solummodo proprietate gaudet Sectorum centralium
217쪽
drographicis proportionalium, verum etiam Locus est geometricus Cono. rum rectorum IBP, ICL ete. innumerorum, qui Superficies eonvexas habeant isoperimetras, et aequales Circalo Curvae ipsius genitori in Figura depicto. Nam ducta tangente AG asymptotae FD parallela , et normalibus asymptotae eidem GH, CL , habetur ex Curvae genesi m : M : IS H; quapropter GH IA : CLIC: IA, et idcirco M: IA: - , videlicet ex Elementis Superficies conica a revolutione rectae Ic generata aequalis est Areae Circuli radio praediti LA. Quemadmodum ergo Linea reetae Locus est Rectangatorum isoperimetrorum, et Hyperbola Apolloniana Crinlindrorum re e torum convexis Superficiebus isoperimetris gaudentium, ita Parabola Apollonii Am Κ, cuius praecipuus vertex in Α, focus in I, L cum statuit Triangulorum re et angulorum, in quibus IN IR 'RQ ete. 2IA AE , et Claira ut ii Curva Locum alterum, ubi ait m . BP αα κ . CL - etc. IA' , Conique omnes inscripti exceptis sui in Hyperbola) basibus isoperimetri. Linearum, quas Clatrautius exposuit, postrema dignoscitur ab Aequatione x'--a O, estque omnium unica, quae instar Ellipseos in se redeat. Nihilo tamen minus genes in noscit suam, quae parum a Parabola conica discriminetur. Revera Parabola oritur IDYN, si Elementoram memineris, dum in Cireuli Quadrante IBGΝ Fig'. 45.ὶ et Quadrato ei circumscripto Ium puncta D, x e te . ita sumantur in normalibus innumeris AE, FL ete. saper diametrum doctis, ut sint AE : EC : ED H, FL: LII: LΚ - ete. Enascitur vero Lineae Clatrautii Quadrans IBGΝ dum verae suerint proportiones AE : EB : EC H etc., M : LG : LII H etc. Linea ipsa est quadrigibba,
nimirum in quatuor tumet punctis Ω, P, p, Δ, imitaturque eam Curvam pariter quadrigibbam 9''. memoratam, et ab Ioanne Bernoullio permotum reptorium genitam Ellipseos conicae super se progredientis, inverso tamen ordine Axium. Unusquisque quatuor gibborum facillima synthesi determinatur. Generatio etenim Curvae datae praebet Quadratum Radii euiuslibet a Centro o educti OB OE -EB OE -- AE . EC: OE - ΕC - AC . CE' OV -FAC . CE . Maximus itaque in Quadrante Curvae erit Badius dum AC et ex Elementis. Bisariam igitur
secto D in T, ductaque perpendiculari TV usque ad occarsam Peripheriae
218쪽
riae Cirenti genitoris, et ab oeenrsa V parallela eidem Radio OI, haee
gibbum Δ, et Radium maximum Oa suppeditabit. Idem de reliquis tribus dicendum. Haec autem constractio idem ill ad statuit a Clatrautia ope Calculi disserentialis repertum, nempe di ΟΠ UOI'. atque ae IIΔ UI Id. HV Angulas ergo ΔOP Tangentem habebit aequalem , ideoque minor erit semirecto, et maa imaior, atque Radius maximus Oa ad Radium Cireuli genitoris OI erit iuratione Ista Radiorum maximorum in quatuor gibbis ad Radios minimos in quatuor compressionis punctis proportio congruit illi quadrigibbae Bernoullianae, dummodo Ellipseos genitricis Semiaxes sint a , - ῆ
Propterea quod ex Bernoullio sa98ὶ sint ut QT. atum quum Semiaxis minor quemadmodum patet. In hoc tamendissert Bernoulliana quadrigibba, de qua loquimur in praesentia. quod prima Radios maximos semirectos angulos habeat facientes semper cum minimis , secunda non item . Solidam illud rotundum a nostra quadrigibba genitum revoluta cireum PON Axem τῶν I est ad circumscriptum Cylindrum natum a rotatione Reetanguli MI PON ut Area Cire uti cuiusvis ad sibi cireum eriptum Quadratum , vel ut Quadrans Circumferentiae ad duos simul Radios. Nam Cylinder ad Solidum proportionem servat ex Elementis, quam habet vicissim Summa quadratorum constantium m , AE , FL' etc. ad Summam M'. BE', GL' etc., scilicet ob naturam Curvae Summa rectarum M. AE, FL etc., aut Quadratum m , ad Summam re-etarum IO, CE .HL, sive Aream Quadrantis Circuli minc. Neque Solidum istud, neque Aream Curvae protulit Claira alius . tametsi primum geometrica Synthesi solummodo adhibita in promtu fuerit, et altera.a rectificatione obtineatur Ellipseos et Hyperbolae . quod praecipuum est adigumentum huiusce Exercitationis. Neminem latet Aream illam peraequare a' - P r a)ώ r x' dae, sive potius f -- f-- cuius Pars
219쪽
simul earundem se etionum Coni integratur. Utraque vero partium, ideoque et Area quaesita, Hyperbolam aequilateram, Ellipsinque eius spetiei, quae ad Lemniscatam pertinet Berno ulliorum, praesesert. Exinde consequitur.etiam τὸ 'Ο a' - ab Arcubus Conicarum , de quibus
apra , integrationem recipere, vel, saeto a I ,--s ' ; quod Integrale est inversum illius a Mactaurino producti suti die tum in 42'. y --, ab Arca tantummodo aequi laterae Hyperbolae de-
pendentis . Et re quidem vera I '
v n-- ---, videlicet in notissimas Formulas Ue. V1 -E praecitato β'. i expositas. Quae omnia non parum inserviunt illustrationi Capitis XVIII 3. Partis I . Boaga in villii Tractatus, ubi agit de Curvarum quadratura trinomiali Aequatione definitarum sa99ὶ .st. Ut promissis fidem liberem consideranda remanet illa Carvari: nix' - O , cuius Aream Spatio rectilineo parem esse in β'.48 R. nanciavi. Ternae a combinatione signorum di manant Lineae ordinis '., nimirum Hos ma 'sero, nx I - mx o, nx γ - γ - - ποτ' - O ..Haram postremam si spectes, analogia gaudere evidentissima liquido constabit cum 'perbola - circuli in Io. 49' . explicata. Nam in ista dum
220쪽
dum eius abscissae sinubus, et ordinatae secantibus eiusdem Areus Cireularis aequales sunt, illa vieissim abscissas Sinubus, orditiatasque Tangentibus aequales habet. Est igitur etiam haec nova Curva asymptotica ; quinimo idem centrum, quod heic etiam denotat verticem, easdemque asymptotas servat Ope Iae-ciuuli, cuius Parameter a - - - : nam Aequatio illa, uperducit ad alteram
'Iae ' -... - i partem Areae Curvae novae ad abscis, sam x pertinentem significabit; et idcirco erit -- Quadrans Areae totius. Ceterum omnes sciunt Lineam illam Tangentium et partialiter et totati er praedictae Ungulae aream area sua peraequare oo . Silentio tamen praeterire nequeo liuiuscemodi Curvarum familiae simplicissimam Aequati ne praeditam x γ' - - a x o ita exprimi trigonometrice 2 - α
in qua sumus, OSITU Fig'. 46. quatuor infinitis rami composita, et nodo Y a gaudens