장음표시 사용
231쪽
eireuli genitoris ua . Exinde patet quanta facilitate ab Aequationibus
Trigonometricis Quadraturae Carvarum saepenumero erui possent, Tabulaeque condi, si novae Linearum distributioni in seqq. explicatae loeas esset. ope Capitis V . nunquam satis laudandi Partis I v. Seetionis I . Institutionum Duli Integram Leonardi Euleri 424 locupletiores , aptioresque Newtonianis veteri methodo innixis s*us Quadraturarum earundem , aut absolutarum, aut a Circulo et Hyperbola ete. dependentium. Liquido etiam constat Ovalem eam Villat pandi spatium e laudere adamussim aequale illi Ellipseos Apollonianae ADβ super ipsum Axem maiorem AB descriptae, sed cuius minor Axis ad maiorem sit in ratione 5:8. Neque unquam putes Aequationem et is a scis. φὶ signo ita geminato Ovalem illam velati completam persectamque denotare eum adcessione reliquae partis AP Π, mancamque ideo et mutilam esse Curvam pro uti a Villat pando et Viviano descripta fuit. Aequatio enim Σ - 121 a s Cos. φὶ eadem est eum Z a Cos. p ε, vel lx'--a,' a si O. aut x --I ae' - o, ita ut nihil aliud significet praeter Systema eiusdem Villat pandi ovalis binatae . haud secus atque z is a Cos. φ non eandem Curvam algebra cam continuam, sed potius bιηorum Circulum indigitat. Revera idem contingeret Lineae ordinis a . ac generis Parabolici ita expressae Σ - - , sive ae - v - - e: Cos. φ)Τ a
Cos. φὶ ipsam mei Carvam ingeminat ex parte negativoruma: -- - Ο , quae species est 69' . iuxta supputationem Newtoni 426ὶ, quemadmodum Parabolae accideret Apollonianae semel atque hac Aequatione --vel eam exponere libuisset ar .sέ. Nulli tamen usui Curvarum , de quibus agere incoepi g . 4' 'ri, si decus spectes Geometriae, comparanda est adplieatio huiusce doetrinae ad celeberrimum, at meo saltem iudicio plus, quam par erat, ab initio anteacti
232쪽
anteacti saeculi ad nostram usque aetatem elaboratam Problema de dimensione Superficiei Coni cireularis scalent. Robervallius primus omniam Barro io haud excepto, qui idgelius argumentum tractavit universaliter in Appendicula 2'. Lectionis Geometricae XII ' . ad pag M. D Editionis Londinensis etc. ae quidem multo ante annam M.DC.XLVII' ., id molitus est, et obtinuit, teste Evangelista Torri cellio tin Enarratione quom
ravdam Problemataon etc. nani'. 48' , quocum atque summis ea tempesta
te storentibus Galliae Geometris, ae praesertim Robervallio ipso, commercium erat epistolarum, mathematicumque certamen 429 . Demonstra tionem celatam, atque deperditam s43o Petrus Varignonus restituendam curavit, sed Algebrae subsidium impetratus occulto primum nomine in Ventum suum exhibuit verrente anno M.DC .XCVIII '. Seientiarum Academiae Parisiensi s ai), deindeque Academiae Berotinensi , quae postumum illud vulgavit in Volumine III '. seu Continuatione m. Miscellaneorum edita anno M. DCC.XXVI l'. nomine Auctoris detecto 432 . Ibidem extat quomodo Lethnitias pro Miseellaneis ipsis methodum Varignoni perficere adgressus fuerat, atque dum hie obliqui Coni Superficiem ab Areu Lineae
transcendentis, ni miram ope quadraturae Circuli describendae, consequutus fuerat, ille ex adverso a rectificatione Curvae auebraicae dependentem ostendit as). Kra istius autem in XIV '. ae postremo Volumine veterum Commentariorum Imperialis Academiae Petropolitanae pro ann s M.DCC. XLIV '. XLV'. et XLVI'. stametsi lucem publicam viderit anno M.DCC.LI'. re-etificationem Curvarum reiiciens, Superficiem Coni scalent dimetiri docuit praesidio Lineae alaebraicae ordinis quarti s a ). Ad cessit ad rem istam suo more exornandam Leonardus Euterus, qui in Volumine I'. Novorum Commentariorum eiusdem Academiae pro annis M. DCC. XLVI l'. et XLVII1'. ,
typis tamen excuso vertente anno M. DEC. L '. , non modo errorem, quem passus erat Leibnitius, modestissime castigavit, verum etiam provinciam
istam amplissime reddidit locupletiorem as . Alembertus denique rem
omnem a novis pene sandamentis erexit in opuscularum Mathematicorum anno M. DCC.LXl'. editorum Volumine I'. , illiusque labor quum institatum hocce meum propius tangat, mei muneris esse iudico aliqua de eo
commentari s 436ὶ. Varignonus et Erasti ius Problema perduxerunt ad quadraturam Lineae ordinis 4 . ; ille quidem ad Aream Curvae
233쪽
p . Axi τήν x non secus ac prima reserendae. Hae duo tamen Curvae adamussim conveniunt inter se semel atque vice τὰ A in priori τὸ r-x substituatur. Icrassitus itaque nihil longius Varignono progressus est; quinimo Varignonus , etsi multo ante quam Κra stius argumentum idem tractaverit. lcra istium ipsum superavit, quia praeter communis illius Cur-Vae quadraturam ingeniose proposuit ac demonstravit eidem Problemati resolvendo parem arcum novae Curvae ab Evoluta Circuli ortum ducentis, de qua plura scripserat anno M. DC XCV'. a 3. Leibnitias et Euleras Superficiem Coni circularis obliqui acutissime derivaverant a recti ficatione Lineae 6'. ordinis, Alemberto id latente s as), quidquid sit de Κra o ingentem valde Lineae ipsius ordinem futurum iri depraedican te a9ὶ . Formula ab Alemberto tradita Elementi ipsius Cotticae Superficiet eandem illam quadraturam Lineae Ordinis complectitur a amgia no et Kraistio iamdudum productae, nimirum, -I -- . A -
eupare licebit 4έοὶ . Casus est singularis, neque elegantia carens, ab Alemberto tamen neglectus, quadraturam nempe illius Curvae dum Conus scalentis taeens fuerit, a quadratura unius Circuli dependere έ l . In Cono iacente sit A o. et idcireo Aequatio Alemberti convertitur iu
simpliciorem γ' - - , unde oritur Jγι J
quod Integrale reapse, uti neminem latet. et iam alibi dictum est in β'.aέ φ., ab Arcu vel Area Circuli obtinetur. Conus autem iacens s Fig si . aut vertieem habeat in centro baseos O dum timitem Coni reeti designat, aut si limitem denotet scalanorum . in puncto quolibet interiori ipsius baseos I. aut in eius circumferentia A, Superficie praeditus est semper aequali eidem Circulo baseos GADO; et quaevis parν Sectori centrico aut excentrico
234쪽
teleo COE vel Cra vel CAE par est, quemadmodum eum Elementis congruens Geometriae Formula ipsa demonstrat. Nam I --οῦ Τ
positis ex Alemberio, aut eius interprete Cousino 442), radio OC r. OF x, O I sive tandem DA a. Si vero vertex Coni Iiqui taeentis, uti II, exterior quo ad basin evadat, observandum caute est, ne Formula in salsam abeat propter OB OA seu a I, lare τὸ I-a v - oin punctis E aut D, extremis tangentium baseos a vertice B eductarum. deindeque positivum, quem servavit valorem a C usque ad E vel usque ad D, in negativum convertere. Idgenus vitium Formulae ita est emendandum, ut ea sit potius in eius Functionis progressu, post transitum per
E. GOE, saetis arcubus GC, EA aeqaalibus inter se . Illa tamen ipsius Formulae permutatio vitio nequidem Algebrae vertenda erit tam quia Hadix secunda του I - ax I - ax aeque ac ax - I , tum quia quod. libuerit Integrale c stantem semper subintelligit sui moderatricem, et a Problematis singularibus conditionibas apte determinandam. Ea Linea , quae Area sua Superficiem tribuit Coni scalasi iacentis, est a'. ordinis, ac signanter species 61' iuxta enumerationem Ne toni, scilicet tertiusmperbolismus Ellipseos 2, --- . z- α - - 2 - et dum a I.
seu vertex Coni in A. et a zae --I, vel Curvae abscissarum initium in C. Haec prosecto est curvae Grandi Versoriae sέ a) analoga, ac sola Parametro di fierens nam z, a' a - Σὶ, facto a a, abit in a,
235쪽
ilitiata I versor; Grandianae, quam primatiam nuneupabo, quadrupla est
γ ad communem abscissam relatae versoriae nostrae secundariae aut contractae, et idcirco Grandi e Area quadrupla nostrae, scilicet qua drupla Circuli genitoris in cuius in quadratura Areae pervestiganda ille admodum desudavit, quam hele facillime ae simplicissime et totam Circulo aequalem et partes Circuli sectoribus excentricis aut Bilineis Segmentisve ab extremo diametri computatis.pares esse uno pene versiculo Ostendi s ι J. Ad Laurentium Lorenetinum Epistolam scripsit Caelestinus Rot-lius, qua II '. VII l'. IX'. X'. Xl'. universam Versoriarum familiam 445ὶ
non multo Post Grandum satis iucunde eomplexus est, oculi que Geome trarum subiecit in Solido circa asymptotam Axemve abscissarum x genit ab Hyperbola mesoIabica a' , in quam tandem Versoriae desinunt omnes, illud secanda ope planorum Axi eiusdem parallelorum, veluti videre licet in opere eximio. sed minus noto, cui Loren Elnus ipse titulum fecit Exercitationis Geometricae, Florentiae edito anno M.DCC. XXl'. post fatum Auctoris. Versoriarum harumce et Hyperbolae mesolabisae analogia longius etiam porrigitur. Nam ex Theoremate egregio, et pro rotundis Solidis universali, quod Geometris citias, quam poterim, communicabo
in meo Decimine de Lineis Spiritis, si in Hyperbola Fir . 52. ducatur a quolibet eius puncto C Ordinata CDE asymptotae IIIx parallela . aliaeque quovis nam ero BOF, A M. et in postremis fiant semper B M. MF, API, m etc. CD', erunt puncta D, Μ, Ν etc. in Versoria. Isthuc ipsum clariter etiam evincitur ab Aequatione Hyperbolae xγ' - ai . Facta enim ordinata CD b, necnon voeatis BO, AI etc. ν. OH. III etc. a , MO, NI etc. - Σ, habebitur ex constructione praemissa s3 - Σὶ ν - Σ b', sive - Vel demum ci zE a -byx, nimiis rum Aequatio ad Versoriam universalem. Quae constructio non modo confirmat Versorias omnes innumeras ita genitas gaudere eadem asymptota I- Hyperbolae genitricis, sed etiam ostendit necessario sextim-eontrarium in utroque earundem ramorum inesse ad . instar antiquorum Conchoidis. ae sere asymptoticas inter se et quo ad Hyperbolen, veluti ex. gr. contingit Hyperbolis innumeris Apollonianis similibus, quas eaedem asymptotae complectantur. In hypothesi praeterea τοῦ a M aut ς x Area Lineae, nunc ordinis 4 . . suppeditat Superficiem Coni iacentis obsiqui , quamobrem ea
236쪽
ram illam uti singularem can/m comprehendit et Lineam alteram Prae-het quadra bilem in toto ac partibus ope Circuli. Hoc tamen discrimine quod in Hyperbola - circuli 49'L contemplata, atque huic Curvaecon imili, Areae partes Sectoribus Circuli centricis Radium habentis, qui duplum possit Radii Circuli genitoris, sint aequales; in nova vero Linea Sectoribus Circuli excentricis. Consequitur ideo ex praemissis supersietem Cylindri iacentis sectunt Reet angulo dato parem esse, Coni vero iacentis scaleni vel integro Circulo vel exeentricis eiusdem Sectoribus. Dum ergo Summa productorum Laterum Coni iacentis scaleni per areulos Baseos dependet lex dietis in P. Seetione in a perimetro scatenae Ellipseos Apollonianae, Summa vicissim productorum Normalium ductarum a vertice Coni ipsius super innumeras Baseos Tangentes per arculos eosdem dependeta Circuli peripheria vel aequilaserae Ellipseos. Qua in harmonia fusius amplificanda immorari supervacaneum existimo. Unum tamen silentio praeterire nequeo. Totum Alemberti opus concludit Superficiem Coni obliqui universaliter obtineri praesidio Areuum simul Sectionum- conica rum ψέ6 et Areae Lineae a'. ordinis, quod idem est ac dicere, per ς' . 4 'M., praesidio quadraturae simul Lineae ordinis a =. alteriusque ordinis 4 L. dum qui Alemberto praeiverunt Superficiem illam ab unica quadratura Lineae 4 . ordinis dependentem ostenderant. Exinde saei liter intelligitur Superficiem ipsam Coni scaleni adnumerari quantitatibus trau-scendentibus superioris ordinis prae Arcubus Conicarum, quemadmodum fusius, subtiliusque disseruit Le Gendre in β'. VII '. De Ia Surface duoue oblique pag . 6 2. 43. l' . Dissertationis suae, quam recensui in Adnotatione 3 a''. , illius nempe ordinis, quo Ini egralia plura innituntura Bouga in villio pertractata in Partis Ι- . etc. Capite XVII ', sic univer
loco adseruit, excepto unico casu Coni reeti, mensuram Conteae Supersici ei a quadratura Lineae a ' . ordinis dependere 4ψzὶ, oblitus fortasse nedum coni iacentis Areuam Sectionum. conicarum vel quadratura etiam A a a Lineae
237쪽
Lineae ordinis ML Ubi agit de Cono Ellipti eo h8ὶ, eius supersiciem de
terminxi ope Formulae generalis E a -x mi axibus Baseo 3 coniugato et transverso, b Coni altitudine, e distantia ichnograptitae verticis a centro Baseos ipsius, ac tandem x abscissa centrali . Si scalentis suerit, prolixiori quam par erat calculo adfirmat 449 ab unita pendere Circuli quadratura Super fiet ei Conicae dimenesionem sta tim atque obliquus Conus Ellipticus frustum emciat aut partem sectam a Cono recto Circulari. Veruntamen ad hoc adstruendum innixus fuit Alem bertus Theoremate Isaaci Barro vii . quod exstat in Lectionum eius Geome triearum XI . Londini editarum anno M. DC. LXIX'. so), ab eodem Alemberto in calce Vocabuli Gos Parisiensis Ene elopediae memorato. Bre Vior autem, clariorque perinsignis huiusce Coni Elliptici proprietatis eoia cinnari poterat demonstratio dum prae Theoremate Barro iniano illud potius eligeret ut ab Ioanne Beruoullio traditum in Actis Eruditorum Iosiensibus anni M.DC .XCVIV. ψ5I , quo statuit partem quamlibet Superficiei Coni recti circularis veluti Coni illius obliqui ellipti et Superficies) ad sui ichnographiam nempe in eo casu ad Aream Circuli vel Ellipseos contineae) semper esse in data ratione Lateris Coni recti ad Radium Baseos. Ipsemet Alembertas in V q. ait 452 Integrale
a recti sicatione Circuli consequi dum m a - x , videlicet dum Integrale illud conver
, quod e contra non V a' - xx V a se xa Circuli rectificatione obtinendum stare omnes norunt, sed algebraicum et absolutum esse Integrale C- a seni a -- xj. Undenam Alembertus in hanc inciderit seopulum equidem nescio, quum paullo supra in β'. li'.
spte dixerit sa) superficiem Coni Elliptici a reetificatione Circuli im-
238쪽
forma ab altera g . V . maximopere abludit. Superficiem deniqne Coni El- lipti ei recti quum Alembertus ostenderit s45 parem Supersiciei C, lindri
Elliptici reeir, cuius Axis vel Latus ---- ψεεὶ sive dimidio minimi Laterum Coni dati, Basis autem sit Ellipsis contea praedita Semiaxibus a,
----, nemo non videt inter Conos Cylindrosque iucundissimam
analogiam essulgere. Nam quemadmodum Coni reeti circularis Superficies in eam Cylindri recti circularis converti potest ex Elementis, aut in Summam productorum Rectarum Circuli centricarum per arculos, ita Coni recti ciliptici Supersi ei es in eam Cylindri circularis scaleni convertitur, et vicissim, vel quod eodem redit, in Sammam productorum Rectarum Circuli excentricarum per arculos ex doctrina Pascalii. Nec pauca admiratione dignum est, an eo saltem iudicio, unum eorum Semiaxium a eundem manere, alterum vero ita esse compositum , ut sit ad coniugatum e Basis ellipticae Coni dati in proportione V --b' : Ue' -b', seu maximi ad minimum Laterum eius dem Coni, non seeus ae passim in I . Sectione de Pascalii Theoremate praedicavimus. Ceteri diversarum quarumcunque a Circulo Basium praeiliti Coniante omnes, si recte meminerim, animadversi fuerunt ab Isaaco BarroNio in Lectionum praecitatarum pag . Iz φ. II 8 '. sub titulo Conicorum sustem scies dimetiendi methodus, quo loci exemplum prodidit etiam, tametsi alienum, in Fig . Izr φ. Superficiei conicae scatenae, et usque partium IIyperbolam aequi lateram Apollonianam pro Basi habentium geometrice quadrabilium. 55. Analogia quoque ista ulterius progreditur, novaque , nec minas admiranda. patefacit. Quamvis Cylinder et Conus scaleni Corpora geometrica sint adeo inter se discrepantia, ut eae, quas nune collecturus sum, proprietates utrisque communes, impossibiles serme videri debeant, nihilo tamen minus alacri animo ad has demonstrandas adgredior, tum quia inventa Pascalii, quae mihi potissimum illustranda proposui, faciant locuple- tiora, tum quia illa omnia. quae sequentur, Geometriae deliciis rarioribus sint iure optimo adnumeranda. Alava Acta Eruditorum Lipsiensia anni
N. DCC.XXXIV. inter Problemata Neapolitana ad Collectores ea tempe
239쪽
scateni perpendiculariter aerecto abseἱvdere portionem, cuius superficies ipsius Coni supersciem adaequet. Si conieetationi Iocus fuerit, censeo Scriptorem
Neapolitanum Robervallii deperditam de Superficie Coni obliqui investigationem, cuius supra memini, post elapsum saeculam restituisse i*56l. Quamvis etenim demonstratio, quae in praedicto exstat Eruditorum Diario, Involuta et prolixa nimium sit, non modo eam ad Robervallii mentem componere parvi laboris existimo, veram etiam alteram imitari a Bobervallio ipso traditam. et initio 15'. a me cone Innatam, qua Superficiei Cylindri senteni partem Superficiei Cylindri recti aequalem constituit. IIae porro imitatione innititur analogia illa, nec non intimum foedus Cy Iindroram atque Conorum, quod erat hactenus in desideratis. Expedit autem rem omnem εynthetice pr equi . Ac primum sit Conus obIiquus DR BZG in Fig . sa. , cuius altitudo DR cadat In R punctum Baseos peripheriae, qualem animadvertere iamdudum placuit Pascallo s ) , in quo si a puncto eodem R ducantur normales LM, RN etc. ad tangentes AMS, Bψ ete . . aliaeque ad diametrum Baseos SQ, AP etc., erunt semper priores normalium RN. Ru e te . pares abscissis aut Sinubus - versis RQ, R P etc. Nam a centro C emissis G, CO ete. tangentibus parallelis, sani triangula orthogonia CBQ, RI, tiee non CAP. O ete . similia et aequalia ; quamobrem RI - , unde R RQ, pariterque RO CP, ni miram Ru RP etc. Interea patet ex ipsa demonstrationis IIuiusce methodo sore etiam BN BQ, Auz- AP ete. , cuius perpetuae aequalitatis in k'. sr ''. proderit meminisse. At perpendiculares a vertice Coni ductae DN,DΜ etc. ad ipsas eangentes sex F. lementis possunt summas Quadratorum DR - RΝ' . DR'-- Ru' etc. uitur poterunt etiam DR -- RO , DR -- RP' etc. Dum ergo centro R , ac Semiaxe R D describeretur Hyperbola aequilatera DD V D' , quaelibet eius ordinata PD . QD' etc. par esset
D M, D N etc., quum ex natura Carvae sit PDε - DR RP .QDV etc. Sed Coni Superficies est Summa productorum Arcuum Baseos infinite - parvorum per semisses Normaliam DR,DM, DN, DX etc..ae Linea transiens per puncta E, F, Γ, X etc. Ordinatas praedictas bifariam secantia est ex Elementis Conicorum Hyperbola scatena Es C eodem eentro R praedita, Semiaxe transverao RE - - , ac conIugato
240쪽
ERE M DR. Itaque ea portio Supersciei reet; Cylindri, quae super Planum DRZx eommuni eius Basi et dati Coni perpendiculare habeat ichnographiam RZXUM. adaequabit Superficiem dati Coni scalent. Constructio graphiea Hyperbolae illius scatenae, quum facillime consequatur ab Hya erbola aequi latera, non secus atque Ellipsis a Circulo 458). obtinebitur ope fili atque ponderis alligati ea methodo, ac lege, qua Gui do Grandus usus fuit in Constructione novi expeditissimi MesoLbi anno M. DCC.XXUIII '. Florentiae vulgata t459 , ita ut, si producta a Ititudine Coni dati RD usque in sa donee evadat L a D Z laterum maxima, statua tur deinde Div DR. seu DΦ - ΩR DX, eique normalis saerit in definita ΩΠ, filum qin eum pondere in D, manens in puncto et , et stilo admoto per nn incedens. veluti in 'r, Γ etc., ponderis ipsius centro ae qui lateram Hyperbolam D D DV D ' etc., cuius supra mentio saeta, describet. Quod valde elegantius videbitur iis, qui meminerint eadem methodo describi posse Curvam Cyeloeylindrieam primariam in Superficie Cylindri
recti, hoc tantum discrimine, quod heie Semiperipheria Circularis ac Semicirculus subeant vice Lineae rectae D PD ac Trianguli orthogonii, quemadmodum in Capite VII l . mei Tractatus Magnit adlatim Exponentialium ete. ostendi 46ol. Istud vero hactenus inauditum non modo analogiam intimam Hyperbolae et priinariae Cyeloe Tlindricae Robervallii patefacit. sed etiam Cylindri et Coni scalenorum, de quo argumento Potissimum loquor . Ut e eteros Conos obliquos brevius et unico Schemates 4. complectar, Conos omni modos LMA , AGA KQ A. rectumque ipsum LPA super eandem Basin ALER erectos animadverto, hae etiam mente, ut eos praesertim in v ieem comparem. Dam altitudo Coni dati MI ea dat intra Circulum Baseos , liquido constat. repetita superiori ratiocinati ne, et a puncto quoque I, praeter A. ductis normalibus ad tangentes,