장음표시 사용
221쪽
ga intens S, aut duobus panetis ivst x ι nos vel regressus, tangentes habet iii eodem nodo se a vertice CSD. ASB sibi invicem perpendiculares, Curvamqae omnem complectentes, pro uti in 4I . de utraque Lemniscata disserui. Proprietas autem nulli secunda quae in Linea ista. Tangentium clueet , hactenus quod sciam a nemine Geometrarum detecta, non modo elegantem comparationem respicit Areae ipsius Curvae asymptoticae OS cum altera pariter asymptotica FESm Hyperbolae - circuli. ex qua fit ni secunda ad primam sit in proportione Quadrantis circumserentiae genitoris EPH ad Radium ES, vel Semicircumferentiae ad Diametrum, verum etiam consistit in elegantissima ae persecta aequalitate Arearum' infinite - longa rum tam nostrae huiusce Lineae OSIm, quam Logarithmicae Ca
ius subtangens et Ordinata Radio EX SH pares fuerint. Porro haec
ultima adsectio miraculam Geometriae redolere aliqui existimabant, eo quod aequalitatem sistat Arearum, saepius incomparabilium, Curvae Geo metricae ac Mechanicae, vel aptiori Milo Astebraseae et Transcendentis . Primum faciliter demonstratur, quum in universum ostenderimus Quadran
tem Areae FES-- aEQHS ES. EPH 49 '. , et Quadrantem Areae alterius Curvae OSm , nempe in postrema hypothesi
Tma Eg- Eq. ES; ex quo etiam consequitur, si Velis, Area rum asymptoti carum OSI . FECG proportio aequalis ei, quae intercedit inter Diametrum cuiusvis Cireuli et Disserentiam Semicireumferentiae eius dem ab ipsa Diametro . Secundam autem deducitur a notissima Logarithmi
cae theoria, quae Aream eius infinite productam SΝPH Quadrato SL M. aut ESH vel ex demonstratis OSIIGὶ aequalem esse concludit 4or . Quaestio tamen omni iure hie suboriri potest . unde nam fiat duarum Curevarum SO, SN ab eodem puncto S digredi eiulum , et communi tangente DSC praeditarum, ideoque se invicem contingentium, ac toto caelo disinsitaram, Areas aequales cum communi asymptota HCPG claudere posse Qaod Mi inlustrem aliquomodo, concipio primum Logarithmicam Neperianam in puncto A ordinatam habere CA, seu Numerum, cuius Logarithmus huerbolicus negativas sit Subtangens M I; eritque --,
nempe maior ordinata ra, quum Tangens EC CH respondeat Sindi
222쪽
, videlicet Q CΛ. Logarithmica Igitur
SH initio remotior est ab asymptota Hm prae Linea Tangentium MA; sed deinceps duo Curvae ita invicem adpropinquantur, ut tandem Loga rithmica ipsa secet in F Lineam Tangentium, atque exinde asymptotae suae vicinior fiat. Inventio huiusce intersectionis puncti F non dissiciliter derivatur a resolutione Aequationis cubicae. Nam punctum istud huiuscemodi est, ut ductis YR asymptotae parallela, et YZ perpendiculari, esse debeat in Rr - Tangenti arcus Sinum habentis SR, aut Logarithmo negativo του -- --π- I-x. Quibus omnibus praemissis
-: vel γέ Hyperbola aequilatera directam originem noscunt ,
223쪽
seunt, sicilesque adeo sunt, ut post eam, quam supra tractavimus ortam fi Cireulo seu Ellipsi aequilatera, in ipsis immorari supervacaneum exsistimem . Libet tantummodo, neglecta Para metro V m , aut facto m I, Aequationes earum addere Trigonometricas; videlicet pro prima Ab
-a x meto valet elegantior z- - . Origo, figura, asymptu
tae, aliaque Linearum harumce symptomata in promtu sunt; id autem. quod earum Areas spectat, ope superiorum Functionum Circuli ludentem potias, quam serio cogitantem Geometram poscit. Unum duntaXat pergratum futurum iri lectoribus censeo in Arearum, quibus hactenus operam naVavi, tur unda quadam contemplatione. Sit enim in eadem Fig'. 4z. descriptum trium Curvarum Systema aemulans frusto su Equitum Crucem *oo , quod complectitur Aequatio I f. ordinis --, ubi S centrum commune triplicis Lineae
hoe in 3'. consideratae, et Quadrati BAcu, in quaterna divisi ope re-etarum ESL. DSII, cuius Latus AB - SE SFam SG SN se. Tres istae Curvae, praeter commune Centrum S, communibus quoque gaudent quatuor asymptotis, quae sunt Latera antea descripti Quadrati, vacuumque omne tanta implent elegantia , ut qua earum una ob imaginaria existere nequit, subeat altera, atque vicissim, instar Systematis Circuli et Hyperbolae, aut Hyperbolarum coniugatarum. Pulcherrimam prosecto obviam sit Geometriae spectaculum, nimirum duas rectas illas, sibi invicem normales BSC, ASH atque diagonales praedicti Quadr ti, adeoque semirecto angulo inclinatas ad Axes Curvae duplicis circa centrum et communem verticem S dispositae, dum Tangentes sunt geminae eiusdem Cur Vae, versa vice Axes esse tertiae Curvae octo infinitis ramis conssatae, nempe totidem, quot ad amussim habent duo simul Lineae interiores. Exin de nascitur quatuor vertices E, N. G, simul coniunctos Quadratum e GDrmare EΝGF praefati duplum B ACM, quemadmodum hoc postremum aeque duplum potest του OP - QR EP . Aequalitas ista quatuor rectarum OP, QR , , ZP evidenter ostendit duas curvas in S se mutuo
224쪽
mutuo contingentes ipsanimet esse Lineam geminatam; quod non solum confirmatur ab Aequationibus
a γ o, quum inversis Axibas των x, , ut in Figura, unam eandemque Aequationem, eundemque geometricum Locum significent. Adcedit elegantissima methodas Areas trium Curvarum constructione synthetica adipiscendi. Nam si a puncto quolibet K Quadrantis Circuli, centro S et radio ES descripti, educatur tam recta ΠΕΣ Δ parallela ES, quam secans SLet , erit Rectangulum ΙΙΣ. Σx ex iam demonstratis aequale Trilineo man SROT, alterumque Rectangulum SA .R P aequale Trilineo SRO' --; adeo ut unum ad alterum Triline oram sit in proportione τοῦ ΣΚ'. L p, primaque Tri linea crescant decrescantu e ut 'ΣΚ, et idcirco semper sinitae magnitudinis sint etiam in infinitum producta; secunda vero uti et c., ideoque magnitudinis infinitae tum, quum in infinitum protensa suerint. Revera I'rilineum nΘΨ PE . Γ-ΣΚ.ES- Γ ΣΚ ES ΦΚ. ES pK. M, quia-- . φὶ I; Cos. p Cos. φquae proprietas minus nota ceteris adsectionibus Circuli est non immerito adnunieranda. Id ipsum, quod Circuli Quadrans effecit in Area determinanda SOAIi praesidio Rectanguli ΠΣ . ΣΚ, efficit etiam Quadrans aequilaterae Hyperbolae μνε centro eodem S, ae vertice II descriptae. Area enim - ελ .εν, - ita ut Areae istae, magnitudinis semper sinitae praeter casum τι pancti sa in infinitum progressi, proportionem servent inter se των ε ν, με etc. ordinatarum Hyperbolae. Puncto autem intersectionis Ie id accidit singulare, ut determinationi sa-cillimae inserviat frusti Areae ipsius Curvae infinite- longi, aequalis Quadrato EBIIS, vel spatio a symptotico infinite- longo adiaeentis Lineae Τan. gentium. Haec omnia, mutatis mutandis, ad universaliores etiam pertinent
Lineas quicumque suerit valor τοῦ m, propterea quod τὸ 4 V Para metri vicem gerit codem penitus modo, quo vidimus in g'. 49 . disserentes de Hyperbolis- circuli aequilateris et sealanis, non secus ac in I 5 '. de Ungalis secundariis atque primariis.
225쪽
set. Dum hasce Curvarum speculationes In additamentῖ speeimen ad praeeitatum Caput XUIII M. Voluminis I . Tractatur Glauci rategralis a Bouga in villio editi e schedis meis exscribebam occurrit mihi molimentum quiddam perantiquum Curvas omnes distribuendi in classes, genera, ac species non Cariosiano more, uti solet Cain, sed Trigonometrico, plerumque commodiori, et Eutero omnium primo docente ηο ὶ inventorum pene dixerim mirabilium ultra spem Decundissimo. Aliqua, nec poenite da, de hoc argumento iam delibavi in praecedentibus gβ' . 4I'. 49'. so'.
si ' ., totumque si complecti unquam vellem peculiarem tractationem exposceret. Pauca obiter eorum, quae multis abhinc annis meditabar, et festinanter aperiam. Linea recta hae Aequatione distinguitur Σ - duoque rectae parallelae Σ - - prouti dixi in g'. so L, vel potius Σ --. Universaliter interim animadvertam Aequationes Omnes trigonometrico more expressas significare Lineas easdem semel atque substituatur Sin. Q pro Cos. φ, et viceversa , scilicet na meratio Angulorum p ab uno Axium ad alterum transeat illi normalem. Quae animadversio Aequationum omnium possibilium sormas arctioribus coercet limitibus ad sequentia anlustranda. quam prima fronte adtrareret. CircuJus autem Aequatione exornatur et a Cos. dum anguli a diametro incipiant, vel E a Gn. p. dum initium sumant a tangente ab extremo diametri educta: Circulus deinde geminatus, vel duo simul aequales Circuli se invieem et exterius contingentes, atque Lemniscatam imitantes,
vel pro Lineae rectae aut cor. se Sis. pantiquoram Conchoide, vulgo dicta Nicomedea sέos , nee non Σ his a Cos φ, aut Σ - bria Sin. ν pro recentiorum vel Circuli Conchoide eum polo in extremitate diametri collocato o6l, de qua plura in s 5''. et seque nribas measione doctrinae Pascalii eo magis ampli scandae explicabo. Di manant a primis, Ordine comparationis servato, Lineae ita ex
Pressae Σ - - - - Mediana parabolica so f. , Σ - ,
226쪽
ad α - is a s Cor. φ ὶ , in eadem τοῦ n exponentis suppositione . Eadem de Sinuum potentiis dicenda sunt praeditis exponente integro positivo vel negativo. neminemque latet id genus Potestares summa iacilitate in Cusinas. Si nusque Angulorum multiplorum converti or . Potentiae Sinuum, Co- sinuumve simplicium, aut multiplorum Arcuum exponentibus fractis, post livis se a negati vis, adsectae originem praebe ut pluribas aliis Lineis, quas nimis molestum esset enumerare. Exemplo sint et sive Media..cis. Ona hysto ues i. .i I et .. Σ σύ 2 seu Lemniscata percelebris Berno altior uin i . Lia I 4i' . ac 49'μ . Procedunt Lineae, quarum Ae- qaationes fuerint reconditiores, utpote et a Cos. , scilicet Multi solia aut Guidonis Grandii Rhodoneae 4o8ὶ, Σ vel Linea , cuius Cos. φAequatio x'--a γ' - o Clatrautii trinomialibus non absimilis, et
. Cos. φad Parabolam Apollonii, sive etiam univer-
salius et ad ternas Coni . sectiones, Σ Ι - - 13 Cos. φ
227쪽
Iste fastidio vertatur, Σ - - pertinens ad egregiam Lineam Cos. φillam nodatam et duobus infinitis ramis praeditam, quam antea laudatus Hyerosolimitanus Eques Nieu portus in Actis vulgavit Caesareae Academiae Braxellensis 4 Il). Haec vero Nieu porti Linea 6 ordinis eo nobilior censeri debet, quod cognationem maximam ha heat Hyperbolae aequilaterae ad alterutram asymptotarum relatae. Quemadmodum enim in prima est AE tam AC - , AF AD DB et e. t Fig'. 48 ὶ, nec non AE AC - CB , AF -AD - DB ete. , ita in secunda est CB LA- AT, FR LO- Ο ete. , et LA - AT. FR Lο - OT etc. ex Conicis Institationibus. Diversum genus classemque adlinent Aequationes aliae, quae lanctionibus Circuli et eiusdem Areu bus simul componantur. Omni bus serme istius elassis praecellit ea Curva transcendeas Aequatione distincta Σ --, quam Gregorius Fontana veluti novam consideravit, et rei harmoni eae utillimam, in Parte I . Voluminis INL Memorabilium S cietatis Italicae, ea iidemque dixit a se prius animadversam in Problemate Il iri Disquisitionis IX φ. inter ceteras Papiae editas vertente anno ΛI. DCC. LXXX'. Ego autem Lineam ipsam elegantissimam Problemati etiam I '. memoratae Disquisitionis satisfacere arbitror, et insuper cum ea consentire publici iuris facta usque ab anno M.DCC.LXIII '. in Volumine VIII '. Novorum Commentariorum Academiae Petropolitanae ad pag m. 26 δ . Nam aut Curvae Aequatio sit Σ .d . , aut z:
dio I gaudentis, natura Lineae eadem manet, quippe sola permutata Pa rametro aut modulo. Si nomen Curvae desideres, eam non immerito nuncupatidam
228쪽
eupandam putaverim Quadrantariam potarem, valde diversam a Quadri trice Spirali. Quemadmodum enim proprietas, aut Aequatio simplicior Hyperbolae conicae. ae Logarithmicae ab Ordinatis Asymptotae normalibua ad Radios translata Hyperbolam Logarithmicamve spiralem genuit, non eodem iure de antiquorum sive Di nostrati Quadratrice sentiendum est illi superius expositae comparata, ut liquido constat a conlatione praecitata Pag. 26 . Summarii et 367 φ. ae 168 e. Scholia Voluminis VIII . antea
dicti Imperialis Aeademiae. Vera profecto Quadratrix spiralis congruit Helici Archimedeae . Quadrantaria autem potaris hoc trabet praeci-Puum Figr. 49. a me nuper detectum, quod vocatis I Radio IBCirculi genitoris, 2 eius Quadrantis Peripheria BDO, Radio vectore IA- z, numeratisque Angulis φ a Radio maximo α - BDO, sit ubivis Areus Circularis AT, centro I, et radio IA descriptus, Quadranti
DS, cuius radius Sinus - rectus anguli φ: ex quo et nomen Curvae, et Figura innumeris contexta soliis circa centrum I. et eam describendi facilitas summa, et ceterae adsectiones ipsius luculentissime derivantur.53. Ea inter . quae sparsim ac sestinanter illa iuvenili saustissima tempestate adnotaveram dum de Curvis universis novo ordine disponendis excogitabam, numeris omnibus reperio a me tum absolutam Ovalium praestantissimarum Seriem cum adiunctis rarioribus illarum proprietatibus. initio Tabulae sumpto ab Aequatione Σ a Cor. p sive Circulo cuncta
rum Ovalium pinguissimo, et fine ipsius Tabulae posito in Aequationeti a Cos. φὶ , quae Pancta Axis extrema. Ovaliam graeilissima, oculis subiicit. Post Circulum statim occurrunt nativum ordinem prosequentibus Ovales duo, Aequationibus distinctae a metas Cor. φὶ , Σ a Cos. φ eaedemque sunt, quas Ioannes Baptista Villat pandus Iesu ita Cordubensis. utpote duplicationi Cubi inservientes, apto nomine proportionatrices vocavit, exornavitque in Volumine . IIIJ . Apparatus Vrbis ae Templi merosolimitani typis excuso Romae vertente anno M. DC. IV'. ial. Quod dum memoria repeto, haud parum obstupesco ignotum istud fuisse Antonio Mario Lorgnae , qui in III '. Opuscularum trium ad res mathematicas pertinentium Veronae editorum anno M.DCC.LXVlI'. , non modo Ovalium unam Villat pandi s ia in praeditam Aequatione γ' --2x, -- α' - 2ax -', aut mea methodo B a s Cor. φὶ saeto a a, veluti novam prodiderit , Problemati Deliaco aeque adplicuerit , minusque idoneo nomine Z a Cissoidis -
229쪽
Cissoidis-lemniseeroti eae insigni verit l4ὶ . sed etiam praeeipstas eius adfectiones Calculo detexerit, quarum nonnullas iamdudum Vincentius Viis vianus lineari Synthesi duce adseruerat usque ab anno M. DC. LXXVl' in Appendice Contismationis Geometriei itineris i5 Itali eo sermone Florentiae editae s i 6 . Ut hoe evidentissime pateat, et divinatione quadam utar
in celatas a Uiviano hodieque deperditas elegantiores sistendas demonstrationes , libet inprimis genes in ipsius ovalis ab eodem Viviano repetere . quum prae constractione a , illat pando data simplicior sit, atque admodum ingeniosa im . Neque hac solum ratione excitatus Ovalem istam nune pertractare iri animo habui, sed praesertim eo quod Medianar -parabolicae Cia ira ut ii in β'. so . expositae sit veluti supplementam , eius denaque omlinis 40. secus ae altera Vil talpandi Ovalis i8ὶ Σ a s Cos. φὶ'. aut sx' a 'P- a x' - o ad 6':'. ordinem pertinens, de qua sum alibi loquutures , et propter insignem adfinitatem argumenti potissimi Exercitationis huiusee, quum ipsius Ovalis perimeter a Sectionum Conicarum rectificatione impetretur. Revera Ovalis eadem ita deseribitur. Sit Circulus diametro praeditus AP Fig . 52 3. cuius ab extremo elevetur tangens indefinita BCD, dum ab altero extremo A , veluti foco, ducatur qaaelibet Chorda AEC usque ad oecursum tangentis, et sat AC : AE :AFri, erit punctum P in Ovali quaesita . Ab tua constructione simplicissima consequitur Protinus Aequatio Curvae, ob praedictam Proportionem --: a Cos : a scis. φ a, quemadmodum supra. Conse-Cos. Oquitur etiam ratio evidens analogiae quo ad Lineam memoratam Clatrau-tii: nam foco A ad centrum Circuli G translato, et Proportione inita GR : GC : GH-, punctum II est in Curva postrema HBLLAM, quia -
a: ---: ---- Σ, ut in β'. anteceden re. Praeterea consequitur
230쪽
normali No et chorda AOyi pune tum T in Ovali gaudebit max1ma Ordinata TV, at tangente Axi ΑΓ parallela , scilicet propter AB: AN: AI M. aut I : - τῆ , erit Abscissa AU --AB, aut BU - - AB . et
4 IUve TV: ABi6; quae omnia cum Viviani, et Lotanae sententia ad unguem eonveniant I9 . Consequitur denique Area Curvae, quae brevi manu invenitur. Multum equidem Iaboris et Calculi impendit Lor-gna ut Aream ipsius Ovalis ad Quadraturam Circuli perduceret, nimirum ad L-----. supposito Ea Curvae Axe, et vice Abscissae ae substi
u aut ut a Functione instituebam. Elementum Areae Ovalis datae FZ .dAz 42o . Ego autem sic potias sermonem syntheticum
ex praemissis, sive u. . -- . dAX
sive duplo Solidi Cyclo -γ-raboli et facti a Semicirculo genitore A B dueto in Trilineum Parabolae conie .ie AT A p. vertice A. parametro AB deseriptae, quod duplicatum So. lidum ner AB dividatur. At ex theoria de ductu Plani in manum elapso saeculo valde promota, ac potissimam ab Iesu ita Gregorio a Sancto Vin .eentio s4a i , Cyclo- parat olicum illud adaequat IIemleγlindri , cuius basis sit Henii circulus idem genitor A FB , altitudo aut axis AB 422 . Igitur Area Semio valis par est Semici Fculi genitoris . totaque Area ra- totius Circuli genitoris et circumscripti s 22 . Haec conclusio mirum
in modum congruit alteri simplicissimae a Calculo derivandae. Nam Elementum ipsius Areae, dum Ovalis ad ficum A reserator, est