장음표시 사용
251쪽
autem isthue ipsum valde saei lius Robervallio hunc in modum ostendo. Super BC veluti diametro describatur Circulus B NOCR. ducanturque chordae BD ete. Erit BA , OB - BF BA, et siede ceteris in infinitam . Ergo Curva AHV etc. est ea omnium simpli cissima Circuli Conchois, quae polum habet in puncto C dati Circuli circumferentiae, vel extremo Diametri, intervallum Radium Baseos tae Coni aut Cylindri, et Cireulum genitorem illum, qui diametro gau deat BC. Omnia igitur data sunt tam in Cγlindro, quam in Cono ad eam describendam. Hanc Circuli Conchoidem, quam Geometrarum non nalli iniuria Cisso idem esse adfirmarant s4rs , vel Lineam antiquissimam
Dioclis hederae solium aemulantem r6ὶ, David Rivalias in Arch mede suo Parisiis edito vertente anno M.DCXV ., cui titulam se eit AP XIM H ΔΟΥΣ TANTA ΣΩΖΟMENA, ante omnes protulit ret), nuncupavitque Con choidem secandam 478ὶ, ne cum antiquiori Nicomedis z9ὶ praecognita,
quam primam ideo vocavit, confunderetur. Nihilo tamen minus istam Rivalli et Robervallii Conchoidem, utpote tangentiali Ungulae congruentem, primariam adpellabo dum BC BA, protractam vel oblongatam si BC Q. BA, ae demum si BC BA contractam seu decurtatam. Robervallius, qui sortasse imaginem istius Lineae a Rivallo mutua verat. Folam eias partem de pixit S MAHri H , illam nempe a puncto A distantiae maximae a Polo C usque ad normalem HVCS a Polo ipso digredientem Protensam, ratus eum eodem Rivallo Conchoidem Circuli in B , S obtruncari, eique finem imponi, nec ultra progredi posse s 8oin. Ex adverso Parentus veluti de medietate dixi in g'. sr . in Curvam describens
aequilibrationis, neque unquam suspicatus fore Circuli Cone hoidem, reliquam tantum illius partem delinea vit ΠΡΗ ΗΠ DTS; adeo ut Conchois integra duabus seiunctis partibus coalescat a Robervallio, et Parento separatim consideratis, ac diversa aetate, diverso itinere, constructione , atque usu in Geometriae et Mechanices commodum recensitis. Quemadmodum
enim in Linea Robervalliana quilibet Radius CH etc. a Pola C emissus adae quat BA- - mete. . sic in Linea Parenti quivis Radius in V ete. RH N- CR BF V - BA - ete. . non secus atque in Nicomedis aut Rectae- lineae vulgata Conchoide Summa in Differentiam versa, et vicissim, duas Curvae ipsius partes, sed unam continuam Curvam determinat . Ut
252쪽
autem in vulgata antiquorum Conclacide duo Curvae partes, inferior, sei. licet, atque superior Asymptotae, simul iunguntur qua simul Asymptotae eidem ad infinitam a Pola distantiam conveniunt, unamque Lineam componunt Algebraicam, ita et partes daci Conchoidis- cireuli se invicem nectunt in punctis M', S. sed sinito distantibus intervallo CS AB a Polo C, ideoque Lineam undique clausam in spatio sinito per fieiunt. . Aequatio Curvae Robervallii et Parenti , ex superias ostensis ad Cylindrum et Conum simul scalenum pertinentis, mira facilitate a mea methodo profluit. Vocatis enim AB a, BC b, Radiis CH, CH etc. Σ, Angulisque ACH. ACH ete. - φ, eonsequitur statim et a b cis. φ uti antea dictum in β'. Nam CN,m etc. Cosinus sunt Angulorum BG, BCO etc. ad CB veluti Radium relati, ex Circuli natura , et hi Cos. ultra GD versus D evadant negativi, nimirum Σ - a bos. φ in Σ a-ι Cos. p. salva semper eadem universali Aequatione. convertitur. Sin vero Angulos φ numerare potius libeat ab Ordinatam , Aequatio Curvae sor mam acquiret 2 a-b Sin. φ, quum CN.m ete. Sinus sint Angulorum CBΝ HVCH, O H CH et e. posito BC Radio, uti supra. Interea monendum est Formulam Aequationis
huiusce Trigonometri eam parum differre ab ea Conchoidis Ni eo medeae, seu a Recta genitae XBZ , quae Curva iisdem positis, quemadmodum in Conchoide - circuli, sic exprimitur z a - . , Vel potias, si placeat
eomplementa Angulorum revocare, Σ a - - - , Functione uniea Ciris Διπ. φculi a numeratore in denominatorem translata, et vicissim. Istarum Co choidum, uti et priorum, primariae a ceteris distinguuntur ope b a.
etis evadentibus dum b a, et protractis dum bαa, aut vicissim. Nee minori Aellitate dimanat Aequatio Conchoidis - Circuli, omnium equidem simplicissima, Coordinatis orthogonalibus CV, CV ete. -x, VH, V H etc. I in computationem inductis more solito Analystarum. Superior elii a Aequatio Σ - a- θω. φ eodem redit atque
253쪽
2G2uii de sit xyses Ebx- .a ὶ x - - γ ὶ --b'x' o. quae L ἔ- Deam nostram illis ordinis 4 . , aut Curvis a'. generi. evidenter adseribit. Initio Abscissarum collocato in puncto D, et non aliter in polo C si de contractis, pratraetinue Curvis agatur, quum in primaria C et D iii unum coeant , Aequatio ipsius Curvae implicatior evadit, sed aeque sa-ciliter derivatur. Facto namque Σ -Α-- - a - ba vel x z - a-b z-e, neminem latet Aequatio subsequens a ' Σ - e ' - - a ---b Σ - e sive post Calculi superatam molestiami Σ' γ' )' - a' - qaΣ - 2ba Σ - ν' ὶ - - 6a -6ab -- b' Σ' - 2a - 2 ab I ' - ga - a 'b --2ab Σ o . Ista Aequatio decernit punctum D esse quadruplum, duosque invisibiles contrarios - sexus coniungere eo casu, quo Potas C bifariam secet Radium BD, aut sit nam, quum in D Ordinatae I valor pendeat ab Aequatione γ' - ab ' nab' o, hypothesis saeta istam reddit γ' - o. Patet etiam praeter duas ordinatas puncti D qualibet in Conchoide aequales o, alias inesse duas realas, scilicet, istina . Ust a donec quo limite traiecto evadunt imaginariae. Leonardus Euterus totam omnimodarum Conchoidum generationem complexus in Capite XVII '. Voluminis II . Introductionis in Ana-ι sin In itorum , ae praesertim Conchoidis- circuli 8a , Aequationes ipsas supra traditas Radiis, Abscissi sue a Polo numeratis invenit. Illa et eonim, quam suppeditat, ita expressa a ' a: --γ' a ' - γ' - baer. si fiat, quemadmodum ait, a - 2e , sormam induit ta: - γ ubae Fe' x - - γ ) - ο 'x' - o superiori a me traditae congruen
6 I. Quaenam oriatur Aequatio istius Curvae dum Abscissarum initium locetur in Centro B Circuli genitoris ad mentem Parenti, haud abs re fore iudico investigandum. Itaque suppositis B V, BI etc. x , V Π , V H ete. Σααγ , nascitur Aequatio a '--γ'ὶ - - 2bae -- a j x -3 - - - 2a 'bπ --- Aequatici ista tantam habet adfinitatem eum universalissima Spiricarum Linearum Aequatione, ut hasce cum Conchoidibus Cireuli pene dixeris confundendas. Adfinitatis huiusce caussa et origo patebit legentibus Asalacia mea ex pura et mixta Ma
thesi 48 ), brevi ut dictum alibi j proditura. In amplissima vero
254쪽
Spiricarum familia prae ceteris omni bas longe emicat simplicior illa. quae gaudeat Aequatione x'--γ'ὶ - .r' x' - - γ' - byx o, aut potius trigonometrica E in v a'-b' M. φ, vide Notam I9I' . . vel Σ - ΣΕ - - θ' i Sin. φ j'. et meo saltem ia dicio, propter mirabiles eias Proprietates, quas l'. e'. detexi, est Linea illa ab antiquissimo Geometra Menelao paradoxae nomine distincta iuxta Proclum Diadoelium in
Lemniscata Bernoulliorum fusius animadversa in s'. cuius Aequatio more Algebraico scripta -a' x' - γ' --za 486ὶ, sive Trigonometrico x is Ua' - 2a' cis. φὶ Ἀ--Cos. up . Nam hae duo Curvae una eademque larent si coefeiens postremi termini b' aut b assa , ceteris omnibus congruentibus. At quum iii illa Persei Linea sit semper bWa, ea Vere congruet Curis vis anaisis Lemniscatae Berno ullianae ab Ellipsibus conicis ortum ducenistibus, et in c'. contemplatis sub Aequatione , a ' x - - .na x o ubi quomodo innueram. Quae CilrVae omnes quum facillime praesidio Circuli describantur vide 4I M. , mirum non erit si in meo de Lineis Persei Decimine varii, nec minus elegantes occurrant modi has quoque Secantibus Vrculi in auxilium vocatis et ad morem Epicyclorum graphice construendi. Interea, ut cognationes et adsint tates praedictae clarius universali usque elucescant, eas nunc in compen
dium actas et icta oculi iacile comparandas subiicio. Prospe etsi
255쪽
Prospectus Curvarum identisarum adfiniumque inter Lineas quasdam ordinis quarti s 8' . Rivalli Robervallii Parenti Hopitalii Conchois 2'. , aut Cir euli Conchois omnium simplicissima . et Linea Aequilibrationis primaria vel secundaria γIo. Berno ulli Epicyclois a Circulo super aequalem sibi rotan te genita Linea transiens per concursuum a puncta Tangentium Baseos et fPerpendie utariam a Vertice lediusvis Coni circularis su-IPer ipsas duetarum, sive Li-anea Robervalliana ID. , et lLinea transiens per concursuum spuncta Tangentium Baseos et IPerpendie alarium a supremae lBaseos Peripheria super ipsas ductarum in quolibet circu-h
Curva illa cordi similis, quam Britannica Encyclope dia Camdioidem vocat, teste Gregorio Fontana in Parte I'. Voluminis II . Actorum Acietatis Italicae consulatur Disquisitio ete. apag . 323 . ad 3424- . 88 , una eademque Curva sunt Algebraica.
eadem est eum Conchoide Circuli.
256쪽
adfinis est ConchoidiCirculi ad panctum Axis medium relatae, cuius Aequatio F
nec sorma, nec terminorum numero, et qualitate ab opposita .dissert.
Lemnis eata universalis in 4i M'. oeca sicine Berno allianae saperius animadversa , ad quam Aequationis pertinet forma Num . IX . si ad Centrum suum resera
ad sinis quoque est eadem ratione Conchoidi- Circuli. XI .
257쪽
Lemniscata singularis Berno ullio. adfinitatem servat illi singulari Conchoidi-Cire uti interrum Aequatione gaudens κ' contractas, in qua b - a US, XII .
Curva Cassiniana percelebris, quam vulgo, sed iniuria, vocant plerique Cassinoidem s49M, Lemni se a tam ac Circulum habens spe- ad sinis est spiri eae num'. eies inter suas, Aequationeque VII ly ., ideoque etiam Cir- xl II . exornata, absciisarum initio poeuli Conehoidi ad punctum sito in focorum alterutro, x' - - Axis medium relatae, vel ti,' a' -uax x' γ' liquido constat. - ab - . ubi a sit scorum distantia, ab Rectangulum constans, vide 4IR . , Nee Hopitalius, neque Brage longnus, Euterus, Cra merus, Monlucta, Eneyelopediae Parisiensis Collectores etc. quibus in loris de hisce separatim egerunt Lineis, earundem identitatem, et ad mitatem suspicati unquam sunt 49lὶ, praeter IVμ . et V . easur omnibus antiquiores. Ut in huius Prospectus veritatem toto iure adserendam nihil desideretur, oportet tantummodo congruentes Ostendere, sive, quomodo aiunt
258쪽
iuxta Hopitalii resolutionem ex parte negat; vorum, nimirum a C vel Dversus E in Fig . 56. 493 . et propter constantem peregrinam actu
Integrationis adiunctam, quae sit et o in casu Carvae primariae, ac uiri. - usque ex se ηιlariis, scilicet, nodatae et puncto coniurato Praeditae in
in num'. IX N.; nam saetis 2 a. b - ab , formam induit lac - ' - a --2b G x -υ με ι 'x' o . Et re quidem vera, si consulatur Schema
ipsam ab Ilopitalio conteniplatum , nescio quo salo et Cartesianus ille Geometra , de quo loquitur Hopitalius. disse ultatem tulerit perquam maximam in Aequatione huiusce Curvae determinanda s494 . nee quomodo Hopitalius idem Calculum nascentem advocaverit infinite - parvorum. Nam Fig. 6 . reperta ab Hopitalio ex finitorum Analysi et primis Staticae legibus Aequation
m ua - --, in qua a CP CD Radio Circuli genitoris, et CG, b Reeta data. Illi eo profuit, ob CG - a . Cos. CD a zacis. p. Aequatio facillima C. f ua ab Cor. φ ad Cone idem-Cireuli, cuius exco ri et Fig . 56. intervallum constans diameter Circuli, a quo Conchois oritur, BC ab ut superius dixi, ac Polus in extremo situs nuper memoratae diametri . Quod ne difficultatem aliquam pare- ret, addendum curavi Figurae cli ' ab PIApitalio traditae Cireulos illos Lineae Conchoidalis generatores. in quibus ST RQ dia, in aue V S aut VVS tribus diversis hypothesibus animadversis) - 2b, Polusque Curvae in C punctis V. V , Circulisque quoad oporteat promotis eonlocatus. Cuncta haec mirabiliter adeo conveniunt cum H 3pitalii eiusdem inventis, ut quae de maximis Ordinataram , et Curvae Areis exposui symptomata in β'. 58 q. Elementis Geometriae in subsidium petitis, ille iamdudum sat minus universaliter s 95 I eadem explicaverit ope Cale uti In si ite - parvorum. Exemplum praebeat Arearum dimensio. Ait H3pitali u s 496ὶ Spatium integrae Curvae saequilibrationis j inclusum aequatur quatuor tuis circulis generatoribus plus duobus circulis Radio b descriptis. In Conchoi
259쪽
r ba In secundariis autem ostendi Aream Conchoiclis- Circuli aequalem Areae Cireali Tm' etc. -- Areae ipsius Circuli T- ete. , sive aequalem 4. et Areae Circuli, euius Radius sit b Reeta ab Hopitalio data, utpote semis τι ν, - 4 Areae Circuli R DP et e. iuxta Hopitalium
ipsum generatoris. At non modo Arearum dimensio confirmatur, verum etiam ceterae omnes illius Curvae adfectiones iacili ductu dimanant ex quo primum Ioannes Bernoullius eodem anno vertente M DC. XCV '. 98 Lineam aequilibrationis adscripsit Epic Teloidum familiae . Miror etiam id non vidisse Hopitaliam eundem ante Bernoullium, quum ille ipso met anno lucubrationes protulerit suas de omnimodis Epicycloidibus contractis, protractisve etc., quas primum Omnium se adinvenisse professus est 4997. Quadraturam universalem Arearum Epicycloidalium Hopitalius inveneraeua ab . ta--a
celi super alium immotum rotantis is vo . Radias Circuli immobilis est b, mobilis a. et e distantia puncti describentis a centro mobilis Cireuli. Quid si H3pitalici in mentem . Onisset praesidio huius formulae singularem easum contemplari Epicycloidis in se redeuntis ob aequales duos Circulos, nimirum a - b Nonne Aream totam inter Epicycloidem in se redeun
tem et Peripheriam Circuli immobilis cognovisset eis e a --π- per
Aream Circuli genitoris 3 Et addito Circulo genitore. nonne Area omnisub Epieycloide undique elausa emergebat aequalis 4 Circulis genitoribus -- a Circulis Radium e habentibus, ut in sua Curva aequilibrationis re pererat 3 Quo cognito, nonne Curvam istam Epicycloidemque, et cuius nam speciei. unam eandemque Lineam fore illico per ensisset Sed - Lei- Ie est inventis addere M. Ioannes vero Bernoullias ad Lineae aequitibω-rionis Epieycloidisque identitatem sistendam, quamvis ingeniose faciliterque hoc effecerit, usus tamen est Aequatione Hopit alii Cu 2a --.
260쪽
cycloidumque ἰδ ntitatem , dem semel atque iterum de hoe egit argumento, unquam est suspicatus. In illo etenim Introductionis Capite XVII M. ide6o s. Cone hoides-Cire uti, et in XX l V De Lineis Transcendentibus separatim descripsit Epicycloides, nullo cum primis foedere animadverso. Rumus sexennio post, nimirum in Commentariis Berotinensis Aeademiae relatis ad annum M. DEC. LIV ' R., quum pag . I 89''. et seqq. Curvam versaverit tu . Gurbe. Fig . s. Aequatione distinctam Σ a Cos. φὶ, sive xx DP Eax xx - aa I, Epicycloidem esse admonuit
a Circulo gen. tam super aequalem alterum se revolvente, haudquaquam
vero Conchoidem . Eximias profecto singularis huius Epic eloidis adsectiones conlegit , quas inter emicant illa Lineae reetae constantis per punctum regressus aut cuspidem Curvae transeuntis ad geminum usque
concursum cum eius perimetro id ostenditur ieta oculi si Figura inspiciatur 56 . , statimque oritur ab Aequatione Σ a I Cos. , nam Igo' -- p Cosinum eundem habet ut φ sed signo opposito gaudentem, ideoque in e3dem Radiorum direetione fit Σ a I Cos. φ ), et a Iethcis. φ), scilicet Σ--Σ a , et altera communis Parabolae Apollonianae . quarum postremam summopere amplificavi in peculiari Disquisitiove, cui titulum iaci De Sectionum ciuicarum . quae ad focos referantur,mperbolismis. Congruentiam igitur simplicissimae omnium Conchoidis Circuli Robervallianae et Epicycloidum Berno ulli quum mihi contigerit oculis subite ere derivatam ex Elementis Geometriae, non ingratum Idgenus demonstrationem proferre futurum iri consido in huiusce Theoriae complementum . Iisdem litteris tres Figuras 62. 63. 64. complectar, sed uni solummodo, scilicet, protraetae Fig'. 6 . demonstrationem aptabo. Sit ARCidem Circulus A D etc. β'. 56' . . et GD, cuius Centrum E, idem ae IIXOC etc. Bisariam secetur DC in puncto I, fiatque FG -DI AB; quod idem est ac promovere Circulum GC etc. per intervallum CI
- ita , ut positionem adquirat τοῦ IOG etc., deindeque τοῦ Gm sibi aequalis . Hic postremus super primum rotetur, sitque A punctam diametri BG , quod generet Epicycloidem ALPQc etc. In quolibet situ maneat Circulus mobilis, veluti in HORM. pune tamque descriptionis in L ,
evidens est centra E, Κ, punctumque contactus O in eadem recta taeere EOL, angulumque GEO HLO , et ideo, quum ED - KL, paralle-