De calculo integralium exercitatio mathematica Petri Ferroni olim ... Leopoldi 2 ... nunc ... Ferdinandi 3 ...

281쪽

ideterminatur. Etenim si a dato punere L ad cireumferentIam genitoris emittaturt ingens M. et per S transeat ordinatx Curvae ST. punctum eius extremum erit seaur quaesitus, in quo eoneavitas convexitati subest, atque vicissim . Nam tangens in T, eoquod perpendicularis rectae M ex praeostensis, parallela erit Radio OS . Quum autem angulorum, quos Seeantes innumerae efficiunt in x eum Me. maximus sit Bra ex Circuli natura, tangens praedicta minimum angulorum eum ipso Me conficiet, et idcirco existit in puncto TIexus - contrarius. Duo Puncta T. T in Fig . II '. ae Ia . eo propius ordinatis suis adcedent ad centrum οgenitoris i ideoque et ad verticem Curvae B quo magis eontractae, protractaeve Cycloides fuerint . sed nunquam centro respondebunt, quod iure dixeris adces Sionum asymptoton. Secans quaelibet per punctum X ducta duo statuet puncta in Circulo genitore E, E , per quae transeuntes ordinatae oecurrent Curvae, supe Tius Concavae, inferius convexae versus Baiam, sed in huiusmodi punctis, ut emis Sae tangentes Sint aequidistantes. inter se, veI aequaliter Axi, Basique inclinatae. Cuncta haec , Pluraque alia a me praetermissa satis sunt sta demonstrandum non denegatum iri Geometriae .lementari adcessum ad sublimiora doctrinae Curvarum. Id saepius, et bonis avibus molitus sum in Disquisitionibus, quas adhue ineditas servo, exemplaque alia subii elam oeulis in III''. Seetione .

49 Theorema igitur statui poterit haud inelegans is Perimeter Cyeloidis primariae ad suam Basim est ut Perimeter Quadrati evivis Cireulo ei reumseripti ad Circuli inscripti Circumferentiam is . Quam autem fastidiosa elaborataque nimium sit in communi methodo Geometrarum raetificatio unius primoriae Cycloidis viae in Num '. Ia . ae Ii'. ad pag . I 8 '. ID. I 84. praeeitati Opureuli Boseovichii, de quo Ariolatio loquitur μ' . Montueta in IIM'. Volumine Hi lariae Matheiret ad pag''ss' . pro reetiyisaardis omnimodis a Cireaeo genitis Cycloidibus ope Ellipsium ad

Calculum Iuturalem confugere Lectorem exoptat, ut a Pase alio tradita intelligat, et veritati consona esse sibi suadeat. On demontra Deilemeau ee ravori des eourbes omidates auee rellipse par te mollen du eaIeul intemI. Car rexpressium dio eranti/ID ou de reument de certe courbe, est absolument semblabis a erito de relementde r are emptique. Idgenus experimentum facillimum quidem. Nam numeratis avertice in Axe Cycloidis, qui Sit m a, Abscissis, vocatoque m exponente rationis inter Basin et Circuli genitoris Peri Pheriam suppositam I, Aequatio Curvae est

. - . Hoc autem Differentiale , dum sat x

- , illico vertitur in Disserentiale huius formae

282쪽

-- - , per Im . Seetionis praecepta eum illa elementi Areus Ellipseos eonteae consentientis. Facto m I emergit Arcus primariM C, eloidis ne

V ax xx ret. Veruntamen semel atque inventa inrenni et Pase alii faciliter elariterque sola duce Ceometria demonstrari poterant, nonne Matheseos Historicum dedee et a Caleulo Integrali praesidium exposeere in eis explieandis, quae ei rea dimidium anteacti saeculi resoluta iam fuerant selieiter Nonne qui ita secerit in Historiae Mathemati eae leges, et in rem Chronologicam peceasse censendus erit 3 Nonne et Robervallius citandus fuerat, quippe qui in opusculo suo De Duisudine Trochoi-Diuers O rues ete. idipsum Problema iaciliter admodum enuinelea verit

Semi ellipsin sua perimetro Cycloidi datae in toto atque in partibus aequalem Semiaxes habere hac arte reperiendos. vi Fiat ut Circumserentia generatoris ad ixtius et Baseos Cycloidis Summam, sic Diameter generatoris ad quartam proportionRIem . quae erit maior Semiaxium Ellipseos quaesitae. Praeterea fiat ut Summa Circumferentiae genitoris et Baseos Cycloidis ad Di Terentiam C reum serentiae ac Baseos ipsius, sic Semiaxis inventus ad alterum Semiaxem , qui erit minor Ellipseos Prima proportio eadem est eum BO: ΓΟ -- Ox:: BG aut 2BO : 2 BO Ox ura. Secunda vero eodem redit eum BO-ORQBO - OR aut Ox OBram zi2Q-Erunt igitur ex Paseatio Semiaxes Ellipseos maior et minor 2 Ο ,2m, iidem sei licet a me superius deducti. allistus eandem adgressus est, quemadmodum liquido patet ex Operuiis eius Mathematiorum Volumine I ' fidpag . 533 . 39 . et M . J .

quat integrae Ellipseos conicae , quae, dum Cyclois primaria suetit, in duPlum vertitur Axeos Curvae . sive Diametri genitoris is . Ellipsis ista est ABCD in Fig'I '., euius Axis maior BD aequalis ΒΚ Cycloidis datae , minor autem AC m. 52ὶ Iloe Corollarium ad calcem Epistolae suae Pase alius protulit, demonstratione

53ὶ Evangelista Torrieellius in MX. Palatini sese iculo, eui Vivianus eoilector titulum feeit Argiunta di altri Forti travati , depicta Ellipsi linematite rubro isthue ipsum eontemplatus suit pro sola Cycloide primaria , quam semper eum Mathematicis Italis pene omnibus nuncupat Galilaeieam, tametsi Marinus Mersennus ex Ninimorum familia Cyeloidem atque Ellipsin conicam unam et eandem esse Cur- vam male fuerit auspicatus dum primum Cycloidem ip&am animadverterat. 54ὶ In loco Torrieellii citato demonstratione carens hoc exstat de Oetagono regulari, H li The

283쪽

Theorema. ,, Aluredo oetagoni eonstat ex duolus Lateribus Quadratuli et Di

metro Auetorem currente calamo errasse non iniuria putaverim . Est enimis altitudo oetagoni par Summae Lateris et Diametri illius Q distuli eleeti s per semissem ipsius lateris octagoni . Revera in Fig'. et '. posito in I Polygoni centro habetur BO : OIt: BA: AD AC: CDrt AC: IC AI, scilieet ob AC ram, quum angulus AIB semirectus sit, in ratione Late iis ad Latus eum Diagonali Quadrati et c. ccci Inseriptum semper adpello Τriangulum commodo verborum inserviens, quamvis non ita sit ad vocabuli reetam fidem servandam in te tractis Cycloidibus. Cet rum modus iste dimetiendi unius Theorematis ope Areas omnigenarum Cyeloidum Circuli exstat in MS. Torticelliano ubi agitur de Cycloidibus, nimirum earum Spatiis, atque Τangentibus. 56J Eodem iure nuneupari possent ex sereni Antissensis doctrina Ellipses cylindrbcae. Eae sunt, quas Galli voeant vernacula lingua Ovales da Iardiutor, atque in Fornicum Testudinumque praxi Ellipsibus variis posthabere solent Auses de pani r), utpote quae sint mRioris in Architectura elegantiae, Belliorisque organicae deseriptionis. Ellipses vero ac spurias aliquantisper illustrant Pereuitia mea hac

renus inedita, et Commotam de Florotivo Ponte percelebri SS ' . Trinitaris. 5rὶ Ita universalius redditur Problema Pasealii, euius mentio saeta in sq. I '. et

58ὶ Hue proseeto redit Problema perinsigne Archimedis de dimensione Super fiet ei

Coni reeti, memoratum in I'. 65 . Istitur toto iure adseribenda complanatio il- ius Conteae Superficiei doctrinae Pasealii. 5Φ Neminem latet idem valere de Conis etiam negatι vis, quorum vertices in inseriori collocarentur Semicircumserentia, etsi non depleta, quemadmodum Cylindris pariter notativis contingere in Adnotatione M''. superius monui. 6Q Consulatur Adnotatio 61ὶ Est in Sehemate eodem adposito CL t AL CO di Ao CL - CO : AL AO :: OZ . CZ : 4OZ. BZ:: CZ: BZ ex Elementis; quod erat in desideratis. Igitur ex praeostensis in sq. 2'. , ducta a quolibet punctorum D ordinata D V, ut v xa sit haee Proportio AO: AD:: CO: CD, aut AO : AD 'r: CO : CD , vel AB' BO i AB BO - 2ΟΝ. BZ:: CO': CO -F 2OX. CZ, sume it veram esse tantum modo Proportionem AO : CO :: BZ: CZ, quam nuperrime demonstravi. Va) Ex. gr. iisdem positis, ae secta bifariam CP in si, erunt AO' 2. BZ. OP, AL 2BZ. Ll, AL : AO , vel LP :PO':: Ll: PO, unde LQ .P2 OPH quema modum habet 8'''. prope signum Adnotationis a '' . Insuper si ZI fuerit Media geometrice proportionalis inter CZ, ZB. erit Co : AO:: CZ: IZ:: IZ: BZ. Cetera linquo . Occasio huiusce Theorematis alterum mihi in mentem revocat et g -

. tissimum,

284쪽

, tissimum, quod olim in Ms'. ineditorum Tortieellii perlegi l ad Num' '. rubium

I. pag'. 8''. , et rursus ad Num I 3I. in . Triangulo quolibet orthogonio Fig'. 's'. seeta in D eius Hypothenus a Bc ita, ut CA, AB . CB, BD sint in Proportione arithmetiea. et BD bifariam divisa in I, erit Area Trianguli aequalis Ree tangulo scgmentorum LI. Icis.

Q) Consule β' '. prope signum Adnotirtioms 64ὶ Nunquκm etenim in Cylindro seal no iseeus atque in Conoὶ EIlipsis plano genita Basibus non Parallelo Circulus evadere potest. Coni autem taeentis Supersietes qui tamen vere Conus non est a. Cireulo pendet Vid. se'. . 653 ΙIis quoque adnumerandus esset Iesulta P. Coursi erus, qui Lutetiae Parisiorum vertente anno M. DCLXIIIJ'. typis si meonis Pigeti opusculum in lucem edidit sic inscriptum De rectione Superfiei Sphaericae per Superficiem Sphaerieam, citi.

drieam. Conseam. Item Superfletei Calivdrieae per Superficiem Glindricam, atque C meam. Denique Sustis sciet conteae per Superfietem Conicam. Τitulo tenus, nomini husque ait innantibus Ellipsium Curviretarum, perfectarum . imperseetarum ete., Ciseculorum Carvis Drum etc., miserrimum opus in tres Libros divisum, eui Venusini

Poetiees effatum illud optimo iure adplicari nullus dubito Parturietit montes ete. ete. MEὶ Leg1ntur Volumina praeeitata in Adnotationuut 3'. et ψ', ae praesertim primum ad pagV. 2Ia. et 22I., alterum passἱm in Libro II . Curvam CyeloeyIindebeam alii voeant, et potissimum Guido Grandux, Sphaerocylindricam. LaIovera ipsam Lineam Cyeloeylindricam, aut marginem Ungulae semiorthogonalis Cylinis dri reeti, vel potius in plano expansam Lineam Sinuum, nuneupat Oelaidem pamuam, ne confundatur cum vera Cycloide, cui nomen praebet Tortieellianae. De antiqua epoelia Cyeloeylindrieae vide Notam in calce Pag . 5bo' '' mei operis Ma ' Exponentia imm Ge. Iohannis Wallisti operaim etc. Tom . 1 μ' ad par '

285쪽

6ssi Auetoris methodus deiam pagἰnas Implet veteris Voluminis Aeademi et is stia

impressi, solaque epitome tribus absolvitur paginis. zo) Traeer sar un QKndre droit an evaeo erat a an uaria domo ; et eo ae an reia trais de Compar I. c. . Problema istud absumit paginas ouo eiusdem Voluminis, scilicet, a pag . 2I3 . ad 22I i in Hue redit Propositio XXI . Libri II. Operis Latoverae, nomenque Auctor issebuit hisce Cyelocylindrie is seeundi nominis primariarum . Demonstratio ab eo data Praeter morem fastidiosissima. Glandus obiter in Seholio Propositionis XXIV ''. stapag ' I2O. et seqq. Geometrieae demonstratisrus Guianeorum Problematum , sed primcipio innixus indireeto. nova methodo isthue ipsum ostendendi usus est, absque eo quod nominaverit Latoveram primum quadraturae huiusce inventorem. Cetero quin quo. Ioci Monlucta ad pae . m. st. II: Voluminis Hisoriae suae ait Lalo ram Latoubere pronuneiationis vitio) demonstrasse mensuram Arearum Cycloc, lindriearum haud quadrabilium ope Superseiei Cylindri reateni aut in errorem lapsus est, aut saltem Obscure Ioquutus , quemadmodum in Capite VII' Mai setudinum Exponentiatium ete. ad pae'. 534 '': et alibi sustus explieui. ycripsit

etenim Historiographus ille de Lalovera. II montra que si Ia polute mobile ' un compas Uatteint par a erate extrimite du diametre ete. . Ia Igure retrunchode Ia furface dia cylinaere en question . sera aD ὰ eelle d'un oti re oblique . . termine. veruntamen demonstrationem suam a Pascalio mutuatus est Lalovera, ud ipse satetur in Corollario II . Propositionis XXVI' . sive postremae Iabri II'. Figuram, cuius dimetiemes Meeuater sunt reetis ex puncto suo sexcentrico in eductis esse aequalem superficiei catindri realeni demonstravit Dertonuiuaeus in Epistola data ad D. D. Hugruens, unde factum es ut ex demotistratione perlaeta istud nos luerum perceperimus pro praesenti et superiori propositione . nimirum superficiem Caelotalivdri cae secundariae erre certa quadam ratione aequalem supeνfiei Cmindri rea levi s ae proinde data huius realenae superficiei quadratura inuetitum esse a molis tetrarovismum Geloe lindricarum feeundariarum . de quibus agunt duae huius Libri postremae propositioner in Volumine V'. Pasealii Operum Couectionis Ergumenta epistoli ea ipsius Laloverae, a quibus constat anno M. .LVIII: Pascalio scripsisse nondum Areas CyclocyIindricas potuisse metiri. Demonstratio posterius

reperta sungamentum habet in Propositione V '. Libri II'. ad pac. M. Sq. 35. Ope vis in Adnotatione I ''. postmodum nominati vide quoque Vivianum in Prop' VII . Libri III . ad pag . 55 ''. Loeis Solidis ete. a Fermatio restituta, et in Praefatione ad Lib . VII . Pappi iamdudum expressa. G Iesulta Gregorius a Sancto-Vincentio in Parte III '. Lib . IX'. Voluminis II '.

Prop.

286쪽

riop. XLV. XLII. XLVII. ad pag' . 99l. N. R. Operis trametriet quadraturae cis.

exti et Seetionum Coui ete. Domui Austriacae semper Augustae dicati, et Antueris piae impressi apud Meursios vertente anno M. DC. XLVI P. . omnium Ceometrarum

primus quidquid contra sentiat De La Hire id decus tribuens Pascalio in Actis Aeademiae Parisiensis anni M. DCC. II . euadraturam Ungulae huiuscemodi in lucem publieam edidit. Tractatus enim pascalii de eodem argumento, cui titulum Reit Traite δει Stuus da quare δε Cereti T. U. ete. edit'' . Hagae Comitum J, plusquam decem post annis excusus fuit. Robervallii autem Opus de Indivis ilibus, ubi de Soeiae Cyeloidis, Figure des Sinus, aut Ungulae dimensione I quitur, typis editum anno MDC.XCm s Adnot. 3 Diverι Ouvrages etc. stapag ' ipi' . . Adnotatio Pasealii operum Editoris in Traite generale de Ia Rou- .

Iura deperditam quandam Auctoris illius praestantissimi Lucubrationem merens adfirmat hive e verbis Mus u avons par eo Tralle heureusement ii peut et re sunt e par celsi dei Sinus δε euari de Cere e . Nullum autem deesse Tractatum censuerim, illumque rebus Pase alii deperditis adnumeratum Epistolam esse de Cycloidalium omnium Curvarum dimensione Detonvillii ad Hugenium toties antea eitatam. πὶ Lalovera , atque Grandus utramque contemplati sunt Cyclocylindricarum speciem in locis paullo ante eitatis. Et admodum facile est demonstrationem, quam supra dedi pro puncto etiam pro altero x ii 4em pene verbis retexere.

O LScilicet in P relliani, haerenus ineditis. quibus titulum Rei De Thoma Perellio a Patito Frisio laudato Enarratio Geometrica. 75ὶ Monructa de Linea sinuum, aut socia et gemella Cycloidis, sive expansa Ungulari Notam eonsule . ad pag' . 6o''' . II . Voluminis loquens videtur eam Curvam limitare aretioribus quam pax es et eonfinibus. La partie AD de la eourbe dout nous paruus, es Ia in me eue Ia eourbe appeti e des siuus etc., Perinde ac si portio etiam inferior Linea Sinuum non fuerit. In Memoria XXX I'. sive postrema Voluminis V '. Partis ad pag 227'''. inusculorum Mathematicorum

Alembertus scribit Curvam , cuius Abscissae sint e. ordina me autem λ S n. e , esse Trochoidem comvmnem, in qua ordinatae Sin. E augeantur vel minuantur in ratione λr I . Alteram Τroelioidem eodem loco ad erit esse protractam aut eou-traetam in ratione ν: I Curvam illam Abscissas e. ordinaras Sin. re habentem. Veruntamen , meo saltem iudicio, neutra Troelinis est. Nam prima congruit cum Linea Sinuum secundaria vel reeundaria Troelio dis socia. Huiuscemodi est Curva , in qua flectitur Chorda vibrans, uti iam dixi, ex perantiqua theoria a Daniele Bernoullio valde promota in Commentariis Bercilinensibus anni M. DCC.LIII apas. ad et iterum a tra''. ad in, ubi etsi Scriptor egregius eam clariter nuncupaverit la eompaene d'une ocis. de extremement aIAraee

287쪽

i lin'. 1'. p '' I 8'' . , mirandum est eodem in Volumine Leonardum Euterum ad

ras . I9z . ac 9 . M . ipsam iniuria adpellavisse troch οIde allovee 3ι D. Vide 9''. hunc, in quo sumus, paullo superius 3. At tam nee Troelio is se Maria, nee secunιlaria est Socia Trochoidis. sed alia CuIva transcendens sui reveris , ut ex Praemissis cuilibet patet. Nam ut Soria ere. fieret, non Sin. να, sed v, ad modum diversae significationis atque valoris, deberet esse ordinata.' 6 Quaelibet enim pars dirimetri Helicis super Cylindrum iacentis est ad Areum subpositi Circuli ut Radius ad Cosinum Anguli in elinationis, et ad interceptum Cylindri Latus ut Radius ad Sinum . In planum expansam hane Helicem omnes

norunt in Lineam rectam se vertere . Helix ista eodem redit eum Cochlea Αrebi- modis. Linea est equidem celeberrima in Graeco tum veterum Geometria. Ad hoc autem, ut eius Perimetri dimensio in promtu sit, ad recti eatisveis Arcuum Peripheriae cireularis necessario est confugiendum, quum et ipsa Curvae constructio ab isto pendeat Problemate. Ceterum huius Lineae antiquiorem considerationcm tribuendam esse Apollonio Pergaeo, aut saltum de ea vetustiorem Tractatum scri

Psi se Π ι τοῦ κοχλίου γρα ut utari, auctor est Proclus in Lib. II'. Capite XI'. C. m-mentariorum in primum Euclidis sinitium 6i' . . Geminum Ithodium eandem Lineam h&ud Parum illustravisse idem Proclus testatur I. e. et rursum Lib . III ad pag' '. I i' . editionis rinetae anni MD. LX curante Francisco Barocio , qui Craeeum opus Iatine vertit, et Danieli Barbaro consecravis. Nova de ipsa Curva symptomata alibi protuli in Prole gomenis Maguitudinum Exponen-riritum ete. pae. LXIV. 3, et in II '. IM'. ae Ar ' huiusce . Plura vero conlegi in Tractatu adhuc inedito . et sie irae ripto D/i Solidi coeleari ed alare a si eleganαρ della Geometria deue Curve. wallistus Helicem ipsam consideravit geometrice in opere, eui titulum fecit Mechauisa sive de Motu Tractatus Grametrinus , tyris edito primum Oxoniae Vertentibus annis M. DC. LXIX 'R. LXX''t, et rursum e Theatro Sheldoniano a pag'. 5 δ''. usque ad Ic6T . Voluminis I .

''ὶ Unicum in Geometria recentiorum mihi eonstat exemplum etsi minus notum, neque uti par esset commendatum quadraturae Spatii curvilinei, euius mensura a facili non dimanet arearum aequipolientia quemadmodum Lunulae Hippocratis aut Oenopidis Chii v d. Dissertat. sur Oenopidas de Chio par M. Heis ius a pag'. usque ad 425 8 . in Volumine Berotinensis Aeademiae pro anno M. C.XLVI'. .

Parallelogramma Dian mixtilineoIum variae speeiei etc. ete. , et nihilominus consequatur a S1nthesi sinitorum, scilicet, nullis opibus impetratis ab indirecta seu negativa

288쪽

2. τxatἱ ex Exhaustianum methodo Aretamedea, multo autem mἰnus ab Indivisibilibus. aut a rationum Limituus ,-- paruorum, nliisve a, Euclidis pixeito absonis arguendi modis in re mathematica . Lxemplum illud suppeditat Philippi De L, Uite doctissima Lucubratio de dimensione Superficiei Ungulae ae Sphactae i Nouuoue methode pour d monti ν te de Ia superscis de la Sphere avee Ia superficie de ron plus aud cereis, et avee ta superficie δε C lindre qui a pour bare te mSme Cercle, et pour hau- rear te diametre de Ia Sphere a avee Ia quadrature de rongle olindrique O d. Ia I furedes Stuus. 3 in veteribus Actis Scientiarum Academiae Parisiensis relatis ad annum M. .XCH' . ab ea Ungularum Polyhedrarum se liciter derivata, quae rursum exstat in Volumine X '. Collectionis Hagae - Comitum in lucem editae. Quamvis enim methodus a Scriptore istius Lucubrationis adhibita eam imitetur iampridem publici iuris saetam a Gregorio ae Saneto Vincentio tam in Propositione XLVIII '. Partis III'''. Libri IX'. pag'. 993. , quam in Propositione LXXVI'. Partis IU'' eiusdem Libri pag'. Io I 2. oris praecitati in Adustatione , nunquam tamen Theorema vidi elegantius, maiorique resertum ingenii acumine prae nupe erecensita atquc nova Ungulae Superficiei dimensione. Ipsi quoque procul dutuo concedit simplicissima dimensio Ungulae, quam exposui in calce etsi ab unico Euclide originem ducat ad fidem alterius I: Θ': -8ὶ Aetorum ete. in Volumine anni M DC LXXXVI legitur Exeerptum ex Litteris Domini D. T. Lipsiam missis eo. Feb. I 686. ubi regit Epistolarum scriptor de euiusdam Curvae quadratura, subiungitque Tatis vero Curva mechanica a nullo quo Irriam haeterius exhibita etc. m.

Guido Grstndus in Praefatione ad opusculum de quadratura Cireali et inperἰο- Iae. editionis Pisanae anni M. DEC.XV., pag XIII '. observavit nee novam esse istam Curvam, nec novam eius quadraturam, at Lineam esse eandem cum Ungula expansa, iamdudum ab Ioanne Wallisio, Iesulta Honorato Fabrio, ae Stephano De Angelis Iesuxta non male Montuela Τ. II. P . 69. De Augesis erois de rord, e desILexovmites, quiuim Iesuatae IIieronymitae Fesul ei a Carolo e Monte Granello sundati fuerint ei rea annum M. CCCC ' , et Iematae Hieronymitae Venetiarum ab Ioanne Colombino instituti, quorum priores Augustini re uiam amplexi sunt, alteri Hieronymi, utrique vero a Clemente α'. suppressi labente anno Μ. . LXVIII'. ad Ellipseos perimetrum et geometricum tetrarouisinon redacta. Consulantur I . e. in Mea 66''. Iohannis Wallisti, qui Lineam illam adpellat opella Tabrii, cui titulus De Uuea Sinuum et Geloide in lucem emissa Lugduni anno M. DC.LXIX'. ad calcem sude SInopsir Geometri eae t pag'. UI3. excusae An- Ionii

289쪽

tonii Molini, et Stepliatu de Angelis Τraereres duo De Superseia O tutae, et de

uariis Liliorum Para momi , et C euidalium editionis Vmetae M.DC.LXI. Primcipi Leopoldo ab Leriiria bonarum Attium patrono amplissimo consecrati. Meo Ru tem iudicio non ipsamet est Tsebirnhausent Linea cum notissima Ungula expansa , sed Potius ad eandem speciem classemve pertinens ex demonstratis , nimirum verae Ungulae ad ir Euleri sensu , atque tali arte deformata inter eosdem extre mos, ut eandem Aream spatiumve elaudat antiquioris Ungulae aut Lineae si- riuum. Verba Grandii sunt quae sequuntur. Au referam celeberrimum Tsch Urhaurium iu Actis lapsiae I 6 q. pro uisa Curva areae quadrabitis proposuisse eam , quae ηι

hit alias es, quam Ungula Olindriea expauio, dudum a Vallisio, Fabrio, et Mepha no de Angelis considerata 's8M In Volumine II . seu contiuuatioso I '. impressa vertente anno M. DCC.XXIII . lege Diatribam sic inscriptam pag'. i 28V.ὶ Motura Untulae a Glindro rereissae

demonstrata etc. wallisti Mechauleam auctor eitat, et singulariter Propositionem XVI''. Capitis V Nee modo Ungulae euadraturam nescisse videtur, quin etiam nomina iamdiu pervulgata Lineae Sinuum et Sociae- Cycloidis . II. 8. 9. Pag. Ista a I. ae 32. . Boetius subtiliusque in Volumine Iv3'. aut continuatione ui . typis excusa anno M. DCC.XXXIU . Iohannes Baptista Clatrautius Ungulas Conicas metitus est m Mausere de totier Ies Oat is des oner 813 Soliditatis Ungulae demonstraendae ac breviter statuendae modus, quo nunc utRr, familiaris est Ceometriae- limitum e ultoribus. Ipsum sortasse Primus aente anni lapsum M. .XLUlI'. Tvangelista Τortieellius adhibuit. Nam in MS. Palatino re-Perio lueesentissimum illius methodi exemplum, quo ad pag . 6 l . idem Theorema et eadem penitus demonstratione explicavit de Solidis quibuslibet regularibus, irregularibus, polyhedris, curvis, mixtis ete. etc. Sphaerae eircumscriptis, a Francisco postmodum Zanorio evulgatum pae. mu'. et seqq. in commentariorum Bononiensis Seientiarum et Artium Instituti atque Academiae Volumine III in lueem edito Ix-Mnte anno M. C.LV . De Corporibus quibusdam Sphaerae eircumseriptis usque ad

82J Inter ali:i varii argumenti, quae eontinet opusculum a necdoton , cuius sermo fuit in Adnoramue M'. , exsint manu Torrieellii delineam Figura sequentis gene rationis Ellipseos Apollonianae per puncta . At praeter Figuram ne v cibum qui dem ab Auctore, nee Collectore exaratum occurrit.

82 Propositio CL s . Partis V F. Libri IV '. Voluminis I '. magni Operἰs Gregorii

a Sancto Vineentio antea citati in Adnotatione ru ., et signanter ad pagLineam hoe modo descriptam Ellipsin conicam esse demonstrat, unico tamen ca

290쪽

. . Tu tectaram aequalium Eo et EI , m et FI ete. Universalem demonstrationem: ita in Fisi etes'. eone ipi m. Ex Curvae genesi, quomodocumque inelinetur CIM super BIA, est D X OT, propter DL OI. ideoque DD. Ergo Tadiuto O , nimirum ut LIO. OA , vel tandem per Elamenta ut CT . m, in qua proprietate Ellipsin eoni eam sitam esse norunt omnes CX SP Diametros CIM, SIN coniugatas habuntem. 84ὶ Partes enim XDX Ungulae iacentIs, utpote aequxles Triangulis mT Fiet'. P.

proportionales sunt ad IO , dum e eontra partes Ungulae erectae eodem modo computatae Proportionem sequuntur ra. Io, sive του IO. Creseunt igitur . Reere- Scuntquo iacetitis Ungu Iae partes in dupluata ratione partium Ungulae erectae, et perquam taciliter ex praemissis Ungularum alterutra in data ratione Secatur.

8M Quibusdam in Sehedis Astronomiam adtinentibus Annuli Saturnii phases varias cuius Annuli rotationem divinum pene wilhelmi IIerschelii telescopium nuper dorexit huius Ellipseos deseriptionis praetidio, et Figuris rite adpositis Re distributis Summa faciIitate duetus Ad vivum olim depixi. At usus uberrimi speculationem

istam geometricam praesertim expertus sum ita Pontium Testudinumque, ovi - Se-etionis formam plus minusve in medio adsurgentem imitantium , eoneameratione apte . v viterque signanda. Harume e Curvarum . quas veluti rei aedificatoriae et praxi architeetonicae maxime idoneas Graeci Geometrae a voce κάμμα Vel nuncupa emni camarteas , et peeuIiari eas Traelatu hodie deperdito Heronem, Commentariisque Isidorum Milesium meelian eum Eut ii Ascalonitae magis millustravisse enarrant, susiorem habui sermonem in mea opero typi parato Memorie F sico - Asriematteii , cui ut memini In ADtHomo ad Paa' '. XIII. Adnotandum tanorummodo aequalitatem paullo antea demonstratam arearum Ellipseos testiuae, et ci rinculi aut Lllipseos aequirat rae non valde absimilem esse ab argumento Segotii, quoa

exstat in pag . I 8' . ae I9 . aure. Operis sic inseripti Franelaei a Sehooten Lerde sis dis Organtea ciuicarum Seeιiaxum iis plano deseriptiove zzz Gesuri, Batavorum ex M ina Ureviriorum M.D .XLVI. m. Vide insuper Propositionem C.LXXXV .

pag . Sos. partis VI . Libri IV . Voluminis I . Operis antea citati Gregorii a

Saneto Vincentio . 86 Geometri ea A, tum eonstruetio neminem latet Elementistam . In adlato exemplo. Proportio Cliordae ad SagitJam secte, sesto. He alio) Pontis oyalis est εν πλάτει : veluti ps:,I 8 in numeris integris. Maximum quo supra, constat ex Prvositio

senioris .