장음표시 사용
61쪽
IO obliquitas Cylindri respondens interiori foco προ eadem ae illa respondens X seo exteriori. Habetur enim propter harmonicam proportionem
Sinui obliquitatis in atroque Cylindro. Summa itaque rectaram x S per arculos quo ad exteriorem focum A ad Summam recta. Tam X' S per arculos ete . quo ad fetim interiorem a ' erit ut latus vel axis unius Cylindri x A ad latus vel axem alterias X A , sive in ratio De rectarum maximarum x'Aix A; aut ex proportione harmonica minimarum rivr X N, sive, ex notissimo Galilaei Problemate, cuia libet x S: X g, vel Z XV:gN, aut ZΝ: Zx', quod est unam Pascalii Theo rematam sat . Foco denique aer ea dente in centro Z. Cylinder evadit rectus, sitque Summa radiorum in arculos datae Peripheriae aequalis Semissi Superficiei Cylindricae rectae, cuius basis Semicircumserentia LAC, latus se a axis AZ, vel integrae Superficiei recti Cylindri basim habentis A V. et altitudinem AZ 8, quod etiam Elementa suadent. Si δε- e I x', X' , etc. ex altera e entri parte progrediatur, Superficies CFlindri qca denuo In scatenam se vertit, eodem modo et ordine renascentibus obliquitatis gradibus tam intra, quam extra Circulum datum. sed inverse tonsideratis rectis MN, MA etc. ete., nec negativis ad morem Analysta- Tum, aut positivis angulis separatim animadversis sau .
3. Consensu vere admirando cum anteactis speculationibus prospectus
idem, sed iucuntior, renovatur in Ellipsibus Superfities illas Cylindricas repraesentantibas Fig. r. . Et primum occurrit notandum Ellipses omnes
sine numero. Variam Puncti x ςirii. per universos Possibiles specieram gradus transire, unumque semper axem datum MN, aut PR commanem ha
here. Dum X infinities recedat a centro E dati Circuli, in aperto est punctum intersectionis I eonsandi eum M, et ideo Hemiellipsin MLN eandem esse cum Semicirculo circumseripto MCN, Ellipsinque PQRU eum Cir- ealo PSRΦ sibi pariter ei reumscripto. Promoto puncto X,ae, etc. versas A, diminuitur eontinuo tam Semiaxis Coniugatus AI, Ar, etc. Semiellipsis inscriptae, quam Axis pariter Coniugatas Ellipsis integrae similis. donec
in ob reetam HA, Semiaxis et Axis Coniugati evanescant, et ideo Semiellipseos 'perimeter in Axem Trans versum convertatur, sive in re
etam lineam --2CA, Ellipseosque similis PQRV in EPR - - 2CA,
uti saperias, vel duplo diametri circuli dati. Ex quo sponte fluit; AS e te.
62쪽
nuimus 3. 2'. Inter A et Centrum E selecto quolibet puncto XV, ducta isque recta Hx I', fit Ar Semiaxis Coniugatus Ellipseos eodem manente Transverso Axe MN - 2CA, qui Semiaxis a nihilo incipiens in A sem-Per augetur procedente x versus E, et in E fit aequalis AN sive CA, ubi Semiellipsis in Aequi lateram aut Semicirculum abit. Quae Semiellipsi um et ideo integrarum etiam Ellipsium similium communi Axe Transverso PR AC gaudentium in nova Series in intervallo AE Radii Circuli dati
homestae repetit Seriem alteram antea explieatam in immenso intervallo puncti X ex In sinito prodeuntis usque ad A. sed ordine inverso 33 . Constat et enim Semi ellipses, Ellipsesque, easdem tum esse Pro puncto exteriore x, et Interiore a , quum Ar AP , sive quum M'. xA αCM '. X A, scilicet, quum μ. XV A , AX sint in harmonica proportione. quod ex Elementis eodem redit ae esse in proportione harmonica xC. AC, X C. et in geometrica EXV: EA . Ex H-. In hac autem donstructione Commodum perquam maxime et elegacia acci ut quot traiecto a
puncto X Centro E nulla obstet impossibilitas fas , nec desinat Semiel. ii psiam aut Ellipsium continua Progressio. Hoc . tantam discrimine quod Semiellipses Semicirculam MCN, Elli luesque Circulum PDRq ABCD Cit-
eulo dato, non amplius circumscriptam, sed inscriptum habeant. Posito namque inter E et C puncto x , et emissa recta in V ΑΜ - Semiaxis minor seu Coniugatus costans novae huiusce euiuslibet Semielis lipseos. eritque Semiaxis Tiansversus sive maior variabilis Ar ; quod
ipsam etiam eontingit similibus Ellipsibus integris, sumendo dictorum Semiax iam dimidia. Semiellipsis itaque raM et Ellipsis tota RAPE eon
veniant puncto X , atque adeo conveniunt, ut suppositis punctis XV .
aequi distantibus a Centro E. sit Semiellipsis Mu simitis Semi ellipsi M M. sed inversim descripta . quod etiam de Ellipsibus integris RAPT. R PVsentiendum est. In ea quippe hypothesi consequimur proportiones ΑΔ:ΑΜ - AP :ω :AM : C : AX CII: AI AM'. AL. Tribus Igitur modis, si detur punctum quodlibet X extra vel intra Circulam ABCD,
exprimi poterit 1 S etc., cuius triplicis expressionis usum uberrimam inserius videbimus. Sit enim pune tum X ; et primum erit se S etc. B xC.
63쪽
P. . A ΔΜ. Quod postremi in dubio earet, quum ostensum iam suerit esse perimetros similes MM: NAM X C: X C. Et ipsa valet proportio quo ad perimetros integras similium Ellipsium RQ PV: RAPE. Duae igitur Ellipses similes communem Axem habentes . at in una maiorem, in altera minorem, eidem Problemati satisfaciunt. Nec tantummodo Ellipsis duplex totum hoc X S etc. repraesentat, sed etiam Partes homologae undequaque consentiant. Ad hoc obtinendum sussicit radio euilibet AO perpendicularem dueere AII; eritque semper=S e te. ab A ad Stam xGNO, quam . X C. ΔΠ; eademque ratione IxS etc. ab Asial ad S tam xc . ZRU, quam 'D: XV C. R AP, emissa ΩΓ normali ad AC sa 6ὶ. Ellipses autem istae ΝΔΜ, RAPE ete. eo magis a Circulis inscriptis recedunt, quo punctum X V ad pune tam C propius aecedit, et in puncto C limitem habent, quum vertices Δ, Λ in infinito se abscondant. Quo in limite nee in falsum abit inconcussa veritas Geometriae sar . Est enim ultimus limes perimetri Semi ellipseos 2 M tangens infinite-lcinga A P, cuius dimidiam, propter similia semper Triangula MX VP , AM , et pro-
portionem O: CA: FH, si I , ideoque tota ri , et Summa rectarum egredientium a puncto C in arculos ete. Circumserentiae datae AD , quum sit - . ΝΔM, evadit ', uti de pancto A
tor pro puncto eodem C in Summam ete. rectarum ab A n. 2CA' , puncto x tum abeunte in A quum X V abeat in C vel XV in .. , ut sarta tecta sit Harmoniea proportio rectarum xC, AC, MC, nec non proportio Geometrica EXV: EA: Ex- . de quibus antea loquebar. Superato extremo diametri C a puncto x , Semiellipsium Ellipsi umque eadem series, ed
64쪽
sed retrograda, redit; quod adeo lae illimum est, ut explicationis non
9. Dignum potius existimo quod Geometrae admirentur ab uno hoe simplicissimo Pascalii Theoremate, aliquantulum exornato, ea omnia deri ari, quae ope motus repentis aut reptorii, ae Curvarum, quas vocavit munigibbas, Ioannes Berno ullius, et post longos Calenti finitorum atque infinite-parvorum labores Leonardus Euterus dedere ad proximam inveniendam aequalitatem perimetri Ellipseos conicae, et Circularis peripheriae sa8 . Libet in re amoenissima paulisper immorari. Coniungebat Bernoullius Fig. 8.ὶ in eandem lineam rectam duos Semiaxes BC, cuiuslibet Ellipseos datae, ac super AB, eorum summam, veluti diametrum describebat Circuli Semicircumserentiam. Qua Semicircumferentia divisa in quosvis numero aequales arcus 2, 4, 8, I 6, 32, 6 etc., ductisque a puncto C ad omnia divisionis puneta rectis lineis, adfirmabat Lineam rectam Mediam arithmeticam rectarum ad puncta imparia pertinentium sin Schematis eXemplo ---- - Δ fore radium Cireula,
cuius Perἰphorἰn proxim maior Euἰpseos datae Perimetro, Mediamque arithmeticam Summae rectarum ad divisionis puncta paria ductarum et
radii AED nimirum ἡ esse radium
alterius Circuli Cireumferentiam habentis proxime minorem Perimetro ipsius Ellipseos, hosque Limites arctiores esse, quo magis augeatur numerus divisionum descriptae Semiperipheriae . Sed universalius Euterus Limites istos in unum componens adseruit, eadem hypothesi facta. radium Peripheriae circularis proxime aequalis Perimetro Ellipseos Apollonianae exprimi a Formula generali
quieumque fuerit divisionis numerus n, et hoc in immensum adaueto persee tam haberi Perimetrorum Ellipseos et Circuli aequalitatem . Cuius pulcherrimi Theorematis nosterimetrici, et in praxi geometrica perquam maxi mae utilitatis 39ὶ, demonstratio non e longinquo petenda est , quam sit ipsum Theorema Pasealii. Et re quidem vera, si concipiatur descripta tota Peripheria diametrum habens AB, erit an numerus arculor m ae qualiam, Summaque rectaram omnium in arculos quo ad focum C par. si et
65쪽
producto unius areuli in summam earundem reetarum. Igitur si π Ci cum serentiam Circuli radio I gaude iuem indigitet obtinebitur ex prae
qnalis dimidio Perimetri Ellipseos, cuius Semiaxis Trans verius AB et Con-
CB in Perimetrum Ellipseos similis, quae Semiaxem maiorem habeat AD, et minorem Exinde oritur Proportio geometri ea CB: AD '. Circumferentia Circuli, cuius R. ad inf
Perimetrum Ellipseos praedictae. Sed ut CB: AD. ita est Perimeter Ellipseos CR CA AD similis Semiaxe transverso CB gaudentis et Coniugato ta--CA ad prie lietae illius Ellipseos Perimetrum. Deseripta igitur Radio
y --- Peripheria circulara, Peraequabit ista Perimetrum Ellipseos . euius Semiaxes fuerint m et CA . dummodo sit π ἐα- finitus, ac summopere ad longitudinem illius Perimetri adpropinquabit sin praegrandis etc. ): quod Paucis demonstrandum assumpseram. Io. Alio praeterea modo exponi potest Theorema illud Euteri, ut eandem adquirat rectarum in Circulo excentricarum Ssmma uniuersalitatem, quam habet ipsarum Productum in eximio Rogeri Cotesii Theorema. te i . Si etenim Ellipseos datae Semiaxes t Fig. p., CB. GA in eadem reeta iaceant, et super ipsorum di orentiam AB. veluti diametrum . deseritatur circuli Peripheriae medietas, dividaturque in arcus aequales. numero ιν, eductis a puncto C reetis lineis ad divisionis puncta singula, erit AD Fir'. 8 . - Fig '. V . - Semi summae CB, CA. Verum Elementa docent quamlibet rectam C 9 ex puncto C parem esse As in concentrico Circulo ex pune to A st . sive Cp in Fig'. 8 . Ergo
in Fir. 9 ., unde liquet posteriorem sormulam. aeque ae priorem. suppeditare Radium Circuli aut proxime aut vere lioperimetrici cum eadem Ellipsi adsignata. I. Sed
66쪽
3. Sed etiam reetificatio Cycloidum eontractarum et protractarum ne dicam de omnimodis a Circulo genitis Epicycloidibus aut Hypoeycloidibus iuxta H dpitalium ope eiusdem Pascalii doctrinae reetificandis , quae praecipuum erat Pascalii Theorematis argumentum, eumque subsidio Cal. euli, hodie deperditi s ain. adlaborantem valde detinuit, mira quadam facilitate restitui poterit . Tota res pendet a Tangentium Cycloidam omnium theorice, quam ego ab unius Lineae reetae asseetionibus deductam in Adversariis meis olim reposui 44ὶ, et nune pulvere excusso tran. scribo fideliter. Hemie yeloidem primariam ABC Fig'. ro. relatam ad Semiperipheriam genitoris GEB omnes norunt vicem gerere aequicruris Trianguli rectilinei. Tangens igitur ad punctum D in tangente genitoris EF necesse es: ut abscindat EF ED; quapropter angulus FDE
-- ΒΕΗ, et tangens ideo DF paralleIa chordae genitoris EB. Eodem modo in Cyeloidibus seeundariis Hemicyclois ad Semiperipheriam relata
genitoris sui repraesentat Triangulum scalenum specie datum. Quae sphcies ea est . ut in contracta Fig - tr. sit DE ad EB in ratione constante minoris inaequalitatis Baseos AC ad Peripheriam genitoris BEG H. et in protracta Fir. I 2. in ratione pariter constante, sed maioris inaequa. litatis. In utraque igitur Curva Triangulum Tangentiale DEF specie da tum erit. quod fieri nequit nisi pars EF tangentis Circuli genitoris sem. Per adaequet re pondentem arcum BE, ut in Cycloide communi 45ὶ . Diviso itaque arcu quolibet genitoris ERV. determinato a producta recta DE. in puncto I. quod ita eum fee et, ut Chorda EI ad Chordam msit in illa ratione constante vel minoris vel maioris inaequalitatis, erit EI parallela tangenti DF, quum similia evadant Triangula DEF, Em ex Euclide. Quod punctum Ι non idem manens, sed perpetuo mobile pro qualibet DE, ef facillime determinatur ex EIementis, et in visarium pune tum fixum convertitur sequente modo. Fiat Radius genitoris OG ad OK, ut Genitoris ei reum serentia ad Basim Cycloidis contractae seu protractar. iunctaque XE, et ad istam educta normali EI, haec dividet arcum Esses in Puncto quaesito, ita, nimirum . ut sit ED. ΙΗ'. OE . OG s 6 . Eadem
ergo lege, qua in primaria Cycloide Chorda GE. ab extremo Axis ducta, est semper Perpendicular s Tangenti DF, non dissimiliter in Cycloidibus secundariis recta ΚΕ, a puncto immobili Axis, vel eius protra et ionis, Xemissas
67쪽
emissa, normalis est ad Tangentem DF. Habetur enim Triangatum EORin centro O Genitoris simile tam Hre, quam FED, Ob aequalitatem an gulorum Eox, Em, DEF ex Elementis, et ERO, HEI propter XE perpendicularem ad EI et KOB ad Eu ι' . Ex quo proportiones emergant Acr BEGH OK: OG OK . OE EI: IH DE: EF, methodusque facillima oritur ducendi Tangentem in puncto D vel educta DF perpendiculari ad ΚΕ, vel parallela ad EI, quae cum KE angetlum rectum efficiat 48 . Hisce iam positis, quum tangens DF ad M. ideoque et elementum curvae Cycloidalis omnimodae ad elementum circumferentiae Cir
culi genitoris rationem eandem habeat, quam KE ad radium Eo, erit etiam tota Perimeter Cycloidalis ADBC ducta in Radium Eo aequalis etc in arculos universae genitoris Cire uti Peripheriae. Hae e Summa pro communi Cycloide Fig '. ex gI. et 8 R. par est 2GB 4GB. EO, et ideo fit tota Perimeter ABC- έGB, ac Semiperimeter AB 2GB, necnon ex ipso g. et '. Areus quilibet BD - 2BE , quum habea tur ΚΕ etc. ab E ad B GB. BE aBE. EO - BD. Eo propter demonstrata superius 49ὶ . In ceteris vero Cycloidibus erit per iam dicta in g. 8 φ. Perimeter tota ADBC in Radium genitoris OG aequalis Perimetro Semiellipseos conicae X Fig'. I 3. , cuius Semiaxis transversus TA
- BG axi sive diametro genitoris, et Semiaxis coniugatus re H. BG, duetae in rectam R B. Valet igitur haec proportio, nimirum, Curva Cycloidalis ADBC ad Curvam Semi ellipticam X ut ΚΓ: OG, vel MaXB: BG- TX, sive ut Perimeter Semi ellipseos LMN similis deseriptae XYZ et
Semiaxem transversum habentis TL - 2LB, Coniugatum am, tam in protracta, quam contracta Trochoide. Aut si integram mavis Elli- '
ptis et Semiaxe transverso gaudente υ - - - ΕΒ, sive Axe transVerso PR - ara , et Coniugato QV-am . Hemi ellipsis itaque LAm, aut Ellipsis PQRU, partesque earum homologae iuxta g. 8 φ ., Cycloidali perimetro ADBC, eiusque partibus peraequantur. Et semiaxes Axesve mira facilitate inveniantur, quum pares sint Lineis datis 2 ΚΒ, 2m sso . I 2. Multa coronidam ad instar a praecedentibus derivantur. Ac pri
68쪽
mum observandum redit in Cycloide primaria, propter reetae in evanescentiam, Ellipsin PQRU, utpote Coniugato Axe carentem. in bis Transversum Axem RP commutari , ideoque longitudinem Semieycloidis illius esse M. PR u in EGB Fig . io. duplae diametro Genitoris. Quod ipsum paucist immutatis et ab Hemi ellipsi LMN sponte fluit si . Dimanat etiam Theorema. cariositate nulli secundum, quod datis duabus Cycloidibus, una contracta, et altera protracta Fig. Ir. I 2. , adeo compo sitis, ut Basis unius AC adaequet Circumferentiam BEGΗ genitoris alterius, et vicissim, Cycloides istae ABC sint isoperimetricae ssu . Punctam etenim, seu foeus X in quavis secundaria Cycloide ille erit, qui determinet Radium OL Cire alaris peripheriae Basi Ac longitudine aequalis . FIypothesis autem suppeditat vi in contracta aequalem Bo in protracta, OB in contracta parem in in protracta, et ideo in utraque Cycloidum, et RG m, nempe aequales erunt in una alteraque Curva Se miaxes Ellipseos Fig'. a. PQRU eandem cum contracta et protracta Cycloide habentis perimetrum. Ellipsium denique istarum contemplatio pro dimetienda Cycloidum perimetro in mentem revocat Ellipsim pariter conicam pro arearum mensura 53 . Semibasi AG et Diametro Genitoris BG veluti Semiaxibus circumscribatur primariae Cycloidi Fig . Io. Hemiellipsis ALBuc. Huius area ad illam inscripti Semie ire uti radium ha- . bentis G B erit in ratione AG:GB, in qua ratione pariter erit ad duplum Circuli genitoris BFGH. Ea propter area ALBuc ad triplam aream genitoris, sive ad aream totius Cyeloidis ADBM, se habebit ut AG ad Axem BG cum dimidio, scilicet in risione Circumferentiae cuiusvis Cire uti ad triplum Diametri, vel ut quaelibet Cire uti Peripheria ad Perimetrum inscripti Exagoni sιὶ, aut in ratione Baseos AC Cycloidis ad eius Areum ADBN, cuias extremum N determinetur ope ordinatae PN ductae a puncto P bisectioiiis Radii OB, non secus ae pro obtinendo Hugeniano Segmento qua habili, in quo puncto N, ob latus Exagoni BR aequale Radio, evidenter Areas Semieycloidis BC bisecatur. Non aequa in Cycloidibus seeundariis facilitas , sed nequidem disse ultas manet huiuscemodi, quae Geometrae fastidium moveat. Area etenim cuiusque Cycloidis ADB- aequalis est inscripto ssὶ simul ariangulo rectilineo ABC et Circulo genitori BEG H. Ellipsis autem conicae medietas ALBMC, quae habeat semiaxes AG , BG, est ad Circulum genitorem BEGH ut AG ad OG, Circulus
69쪽
Circulus ipse genitor ad Triangulum ABC eum Cireulo genitore ut OG ad OG --2-: ergo ex aequo Area Semi ellipsis ALBMC ad aream Cyeloidis ADBM erit ut Semibasis Cycloidis AG ad Summam genitoris Radii,
sive Semiaxis, OG-haox. Quae nunc reperta arearam Proportio non m do mirabilem exhibet analogiam inter Ellipses Meet fleatνises et quadratrices/ Cycloidum , quum utraeque puncto eodem X sint innixae , verum etiam manifestueti iacit casum illum singularem in Cycloide contracta, Persectae, nimirum, ac geometricae aequalitatis arearum Cycloidis et Semi ellipseos, qui casus contingit dum Ox sit tertia Proportionalis geometrica post dis- ferentiam Semiperipheriae genitoris ae diametri BFG - BG, et Radium , scilicet, quum ratio determinans AG:GEB eadem sit ae Radii ea-iusqae Circuli et Disserentiae inter Semiperipheriam atque Di ametrum. quippe tum Lanulis AD, DB, nee non CN. se mutuo peraequantibus. S. Haec omnia, quae parerga sunt Theorematis Pascalii, iacem prae ferunt ad maiora. Contemplati hactenus sumus focum, a qao rectae in numerae ducantur ad Circuli ei reum serentiam , in eodem huius plano iacentem; nunc autem in Fig . 6 . panctum ω extra planum Circuli positum contemplemur. Formula g 2 . manet nihilominus ineo assa . Fit nam que . Post emissam a dato puncto M ad planam Circuli dati A V perpendicularem datam ωX, ductamque per Centrum a rectam X A,
-- Z.AT; adeo ut sco X in focum ω permutato nulla in formulae compositione mutatio consequatur . Dissert enim tan tum modo postrema haec expressio ab illa g. a . in Quadrato ωΝ', quod in priore erat XU. Disserentia autem ista patefacit Summam innumera Tam rectarum quae latera sunt Coni scaleni Basim habentis Circulum AI NU. Verticem vi, Altitudinem rua , ductarum in arculos aequalem esse Saperficiei Hemicylindri sealeni . cuius basis sit Semicirculus idem L. latus vel axis MA, altitudo ωN, et sinus - rectus anguli obliquita
tis ta , eidem manente longitudine reetae AD uti pro X puncto ichn graphico, quum Euclides statuerit A UXA - xv . Ellipsis pariter conica, a cuius recti sica tione Summa ipsa dependet, in e tantum discrepat, quod pro foco X, seu Proiectione orthographica puncti ω, ratio Axis transversi qui manet idem tam pro ω, quam pro X, vi delicet
70쪽
delie et ad eoniugatum sit XA .XV. dam pro puneto sublimi ωeόt ωA:ωN, nimirunt maximi ad minimum laterum in superficie Coni obliqui iacentium . Omnes igitur affectiones, quas antea in 33. 3'. 4'. 5'. et 6'. fusius exposui vel ad dimetiendas ope superficiei cylindricae, vel ope Ellipseos Summas rectarum a focis emissarum in plano Cireuli ad eius Circumserentiam, et quamlibet harumce partem, conveniunt eodem modo
etiam scis extra Circuli planum sitis, ita ut fabS. SV etc. - ω A in Perimetrum Hemi ellipseos, seu integrae Ellipseos, et si e de partibus Pro portionalibus in infinitum, quemadmodum obviam sit praeterita repetentibus. Quinimo, dato quolibet Cono scaleam , et secto ope Plani A N ad Basim normalis facillimum erit invenire in diametro Baseos, eiusque Productione, puncta ν,ε, focos vicarios suppeditantia, adeo ut ipsa mei specie Superficies Cylindrica , ae ipsa emet magnitudine et specie Elli Pses conicae 56ὶ . quae Summis rectaram νS in arculos SV, aut 8S in SUTe praesentandis natis faciant iuxta β. et' . et 8' ., inserviant quoque ad
Summam consequendam. eiusve partes, Tectarum a joco ω Progredientium. Bisecto etenim angulo AωN ope rectae ων, et ad istam educta Perpendiculari-, pancta oecursus ν,ε erunt foci vicarii quaesiti. Habentur quippe ex Theoremate elementari Proportiones geometricae
Αθ:εN; et ideo ratio transversi Axis ad coniugatum n pro rectis in superficie Coni Scalani eadem manet s rectis emissis a s to ν, seu θ in circuli plano. Summa igitur rectarum in Cono; S. SVete.
ete. 5r . Q ao rite concepto Sammae rectarum in Cono quolibet, nequidem recto excluso 58 . a Sammis rectarum in Plano Baseos facillime determinantur. atque unum et idem sunt duo Problemata hactenus explicata , uti sustus in I. 2 '. schematibus novis adpositis palam fiet. I 4. Huic commodo perinsigni accedit proprietas elegantissima, quam silentio praeterire nefas foret. Punctum idem θ et analogum ν non uni obliquo Cono ωΝ AIta vicarios focos praebent, sed innumeris Conis sca lenis eadem Basi gaudentibas, quorum vertices ω, ω', ω', ω ' etc. siti sint