De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

31쪽

, o DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

Sint ergo data eaden ', quae in antecedenreproispositione. Dico ABD, esse ad EB F, ut potestas AD, uno gradu altior potcstate para-b ,lae, ad similem potestatem E F. V. g. In prima parabola, nempe in triangulo, ut quadratum A D, ad quadratum EF. in secunda, quae est parabola ordinaria, ut cubus AD, ad cubum E F. Et sic in infinitum. Quoniam enim ex Scholio antec. parallelogram-mum N D , est ad A B D , semiparabolam, ut L F, ad semipat abolam EB F. Ergo,& permutando, erit ND, ad L F, ut ABII, semiparabola, ad semi- parabolam EB F. Sed

ratio N D , ad L F,

componitur ex ratione

ratione DB, ad BF; Λ& ut D B , ad B F, sic potestas A D, elucdem gradus curn parabola, ad similem potestatem E F . Eigo & ratio semiparabolae, ad semiparabolam, componetur exi)sdem rationibus Sed illae duae rationeS componunt rationem potestatis A D, uno gradu altioris potestate parabol 'ad similem pote.

32쪽

SCHOLIUM L

Ex dictis saeile possumus deducere, quod etiamsi trilineum AN B, secetur LE, basi NA, parallela, erit trilineum N B A , ad trilineum L B E,

ut potestas N B, diametri trilinei uno gradu altior potestate trilinei, adsimilem potestatem L B. Etenim,cum probatum sit, esse, sic tam totum N D, ad totum L F, quam ablatam semiparabolam ABD,

ad ablatam EBF , sicuti potestas AD , seu N B, uno gr*si altior potestate parabolae, ad similem potest tem EF, seu LB. Ergo, & relμquum trilineum N BA , erat ad reliquum trilianeum L BE, ut illi totum, ad totum, nempe, ut est potestas N B, vho gradu altior potestate trilineis ad similem potestatem L B. Imo ductis, ut factuin est prius, rectas BE, erit etiam segmentum A E B A , Iem parabolae,ad segmentum E H B E, in eadem ratione . Quia in eadem ratione, est tam tota semiparabola , ad totam semiparabolam , &ablatum triangulum ABD, ad ablatum triangulum EB F. Quare , & reliquum segmentum, ad reliquum segmentum &c.

Cum autem praedictarum figurarum sit assignata ratio praedicta ; nimirum,quod tam semiparabo-B L la

33쪽

in DE INFINITII PARABOLIS ETC. la ad semiparabolam , quam segmentum , ad segmentum , & trilineum , ad trilineum, sint, ut potestas AD, seu N B, uno gradu altior potest, te parabolae, ad similem potestatem EF, seu LB; Et cum, ut talis potestas,ad talem potestatem, ita sit A D, ad ultimum terminum proportionis A D, ad E F, sic continuatae, Ut numeruS proportionum superet num rum parabolae unitate; numerus vero terminorum talium propo tionum, excedat numerum parabolae binario. Ergo, & ratio illarum figurarum,erit ut AD,

ad illum ultimum te minum. V. g. in par bola cubica, continu

ta proportione AD, ad E F, in quatuor proportiones , & in quinque terminos,erit semiparabola, ad semiparabolam dic. ut AD, ad illum quintum terminum.

PROPOSITIO QUARTA

Tam parabolae eiu em gradus , quam trilinea eis emgrasi , qμorum eadem basis, seunt simile, ad simit '

ratione Hametrorum.

sint

34쪽

IIsAR PRIMUS.

rabolae ABE, rADE, eiusdem gradus , quarum eadem hasis Α E . Dico ABE, esse , ad

E D. Circumscribantur ipsis parallelogramma FE, GE. Quoniam ex dictis in propositione an intecedenti , est ut

35쪽

PROPOSITIO QUINTA

Si quael bet semiparabola secatur linea basi parasiata , ω super eadem basi, er circa diametrum segmentiri constituatur alia semiparabola eiu em gemera1 cum priora. Erit residuum istius semiparabolae,dempta ab ea secumda semiparabola, ad semiparabolam ad merticem, et tbos, ad parastelum ipsi ductam.

ius basis AE,&ip- fi ubilibet sit acta H D , parallela , Nintelligamus A DE,

semiparabolam eiusdem gradus , cum AB E. Dico residuum AB DA, e L

H D , continuetur in tot terminoS , ut

numerus eorum exincedat numerum pa

rabolae binario ; & sint ultimi termini L, M. Quoniam ex propos. ant. A B E , est ad A DE, ut BF, ad

36쪽

LIBER FRIMUS. Is ad E D; Ergo per conuersionem rationis, &conuertendo , erit B D A, ad A BE, ut B D, ad BE . Sed ex narura parabolae , est ut BD, ad BE, sic potestis Hia, eiusdem gradus cum parabola , ad similem potestatem A E ; & ut talis potestas,ad talem potestatem, sic, ex dictis, ultima proportionalium proportionis A E, ad H l), comtinuatae in tot terminos , ut numerus eorum excedat numerum parabolae unitate , qui terminus,ex

constructione, est L, ad A E . Ergo & ut L, ad AE, sic ABDA, ad AB E. Ae ABE, est ad HB D , ex scholio. a. Propos. 3. ut AE , ad M. Ergo ex aequali, erit ABDA, ad HBD, ut L, ad M. Sed ut L, ad M, sic AS, ad H D.

Quare patet propositum.

PROPOSITIO SEXTA.

Si quodbbet tritaeum secetur linea basi parallela, ν seu

pre eadem basi constituatur trilineum circa diametrum trape j eiusdem generis cum priorι. Erit residuum torius , dempto a toto tritaeo tritaeo constituto , ad trilineum ad merticem , it basis totius trilinei, adis actam parasielam.

TRilineum. FB A , secetur DH , basi FA,. parallela; & super base F Α , & circa di metrum FD, sit constitutum aliud trilineum eiusdem generis cum trilineo FB A. Dico D BA, esse

37쪽

is DE INFINITIS PARABOLIS ETC. esse ad trilineum ad verticem DBH, ve FA,basis trilinei FB A, ad D H.

Ratio FB, ad DB, continuetur in tot termi-nOS , Ut numeruS eorum excedat numerum trilinei

binario ; & sint duo ultimi termini L, & M. Quoniam, ex Propos est F B A, ad F D A, ut BF, ad FD; Ergo per conuersionem rationis, &conuertendo, erit DBA, ad FBA, ut DB, ad BF . Sed ex scholio a. propos. 3. est FBA, ad DB H, ut FB, ad ultimum terminum tot proportionalium in ra-V U

eorum numerus eXcedat numerum

trilinei binario , I Zqualis terminus I est M. Ergo erit l Z I A

38쪽

rmiis

ita mLIBER PRIMUS. ITlem potestatem, sic, ex genesi parabolae, G D, seis A F, ad DH. Ergo & ut AF, ad DH, sic DBA, ad D B H. Quod erat Ostendendum .

PROPOSITIO SEPTIMA. '

s quotlibet magnitudines ,sint continue proportionales in proportione maioris inaequalitatis. Erunt etiam istarum excessus continuῖ proportionales in eade m proportione totarum magnitudinum.

HAEc propositio ab alijs etiam A

ostenditur. Sint ergo quotcum- . quemagnitudines AB, BC, BD, BE, - - CContinue proportionales. Dico, etiam . lillarum digrentias AC, CD, DE, esse continue propol tionales in eadem proportione AB, ad BC. Quoniam enim, per hyppothesim , est ut tota A B, ad totam BC, sic ablata B C, ad ablatam BD. Ergo & reliqua AC, erit ad reliquam CD, ut tota AB, ad totam BC. Idem de reliquis eodem modo concludetur . Quare patet proposi-

. . a ,

Ex dictis etiam obstruetur , quod si sint quot-C cumque

39쪽

-18 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. cumque magnitudines Continue proportionales, . erit disserentia inter primam, & vltimam, aequalis omnibus differentijs; ncmpe primae, & secundae; secundae, & tertiae; & sic deinceps. A E, enim, quae constat ex disserentijs harum proportionalium, est excessus A B, supra B E.

PROPOSITIO OCTAVA.

Si semiparabola cuiusiumque generis statur binea basiparastela s ω super eadem basi, in circa diametrum segmenti, sit alta smparabaa, ut diutum erim P 's 3. Erit Amentum , ad semiparabolam quam im

cludit , mi tot continue proportionales , In ratione tu

sis, ad actam parallelam , ἐν quarum prima , fit dicta basis , quotus est x umerus parabida innitate auctus , ad has proportionales , misima minorι exre a. eri paralla rammum mero sibi circumscriptum , που idem antecede s , ad consequens, quod ad primum con-Fquens praedimim, sit mrat numerus parabola et nitate auctus, adnumerum parabolae.

AD E , semiparabola qua libet, secetur ordinatim applicata H D, & sup et basi A E, sit alia semiparabola A DE, eiusdem gradus cum priori , cui sit circumscriptum parallelogrammum GE. Dico segmentum A H DE, esse ad A D E, ut tot proportionales , in ratione A E, ad H D, suarum prima maior, sit AE , quotus cst numerus

40쪽

ZIRER FRIMUS. Is parabolae unitate auctus, ad haS easdem propo tionales , vltima minori excepta. V. g. in par bola lineari, viduae UAE, H D, ad AE.

In quadratica,ut tres AE, H D, cum te tia L, ad duas A E, H D. in cubica, Vt

A E, F D; L, N M, ad AB, H D, Sc L. Et sic in infinitum. Pariter AHI E,erit ad parallelogram mum G E, ut idem

antecedens, ad con- A

sequens , quod .ad consequens prius inuentum , sit ut iam meruS parabolae unitate auctus , ad numerum parabolae . U. g. in priam a parabola , erit trapez um AH DE, ad paraulelogrammum GE, ut duAE, H D, ad duplam A E. in quadratica, ut A E, H D, S L, ad sesquialteram ipsarum AE, H D. In cubica, ut AE H D, L, & Ν', ad sesquitertiam AE, HI , & L,

simul. & sic in infinitum. continuetur ratio AE, ad H D, in tot termi-

ΠΟS , Ut numerus eorum excedat numerum para