장음표시 사용
51쪽
3o DE INFINITIS PARABOLIS ETC. tot triangula A N B, quotus est numeruS parabolae , simul cum triangulo OB N. Ergo , & ut tot triangula A Blu, quotus est numerus par bolae unitate auctus, ad tot talium triangulorum, quotus est numerus parabolae, cum triangulo OBN, sic BM, ad AONB. Ergo & permutando , Ut tot triangula AN B, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad BM; nempe ad duplum triangulumJAlNβ; nempe ut numerus parabolae auctus unitate , ad binarium , sic tot triangula AN quotus est numerus parabolaticum triangulo OB N, ad segmentum A ONB. Quod Sc.
Ex quibus licet notare, quod in parabola quadratica dumtaxat, illa triangula , ad segmentum retinent semper eandem rationem , quam habet parallelogramum s C, ad semiparabolam; nempe talia triangulii, sunt segmenti sesquialtera, ut consideranti patet.
Si quaelibet semipar Lia , eum sibi circumscripso parasi
logrammo , seretur duabus lineis diametro parallelix. ParalyMogrammum inter has contentum, erit ad Amemtum semiparabuti, quod includit, mi tot bases semip raboω , quotus es numerus gsius nitate auctu 3 , ad. excessum
52쪽
- LIBER FRIMVS. ' st, excessum ipsarum seupra tot numero continue proporei
. uales ιο υιione interceptκ inter diametrum,qpara uiam ab ipse remotiorem, ad interceptam 1nter meis rrum, es' paria iam praxinorem, quarum prima ma- .lor sit altera proportionaliam in ratione basis semipar boti, ad interceptam inter diametrum, parallelam ab Esa remotiorem , mi earum numerus superet numerum paraboia initate.
BC, ergo paralli logrammum, cum sibi inscrupta semiparabola, secetur MN, FG, diametro AB, parallelis ; & ratio DB, ad BG,
continuetur in tot terminos , ut numerus eorum
53쪽
excedat munexinta parabola: vnstate , sitque ultimus terminus amnimus k; fiat autem ut Gn, ad se L, ad H; quae ratio continuetur in tot teranimos, t merus vorum excedat numerum parabolae v aitate , sitque ultimus minimus terminus L. Dico N F, esse ad O E G N, ut tot B in quotus est numeri S pat abolae v n Ira te auctus , ad
excessum ipsarum sup a k, H, Scaeteras tot proportionalas, quot sunt ipsae. Ducatur hin parallela NG. Q cniam enim N F , est ad Q F, ut CF, ad F E ; non pe ex genesi parabolae, ut potestas DB, congruens parabolae, ad similena potesta-
54쪽
ut D B, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad tot numero h. Pariterque conuertendo, ex stcunda parte propos s. est Q F, ad trapezium M FE P., ut tot FA, seu GB, quotus est numerus ipsius unitate auctus , ad tot numero continuὸ proportionalium in ratione F A, ad A M, seu GB, ad BNs nempe ut tot M qu tus cst myaerus parabolae unitate auctus, ad k, H,& caeteras tot proportionales quot sunt ipse factum est enim supra , ut G B, ad BN, seu F Α, ad AM, sic k, ad H. &c. Ergo ex aequali, erit N F, ad trapezium MFEO, ut tot DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad k, H, &Caeteras tot proportionales quot sunt ipsae. Quare per conuersitonem rationis, erit N F, ad segmentum OECN, ut tot D B , quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum supra k, Η, & caeteras . Quod &ς.
In parabola prgo quadratica , erit N F , ad OEG N, ut tripla DB, ad excessum supra tres k, H, L.
Sed & aliam rationem parallelogrammi Np, id
55쪽
34 DE INFINITIS PAR AsoLIS ETC.
segmentum OEGN, possumus in parabola quadratica assignare ; nimirum quod sit, Vt quadratum DB, ad rectangulum BD G, cum rectangulis BGD, BN G, & cum duabus tertiss partibus quadrati NG. Cum enim parallelogrammum N F, sit ad χῆ, ut GF, ad F F; nempe ut quadratum DB, ad quadratum BG; nempe ut triplumque sit,ut supradictilest, Q F, ad trapezium MFEO, ut tripla GB, ad G B, BN,& R; stertiam minorem proportionalem G B, BNὶ nempe ducendo omnia
in B G, ut triplum quadratum BG, ad quadratum BG,
56쪽
, B G,cum rectangulis G B N,G B, R. Ergo ex aequa erit N F,ad trapetium M FEO, ut triplum quadra. tum DB, ad quadratum G B, cum duobus rectangulis G BN I GB, nempe ad quadrata 'GB, BN, cum rectangulo GDNs quia recta Π-gulum extremarum G B, R, est aequale quadrato mediae B N. Ergo per conuersionem rationis, erit N F, ad segmentum OEG N, ut triplum quadratum DB, ad excessum supra duo quadrata GB, BN, & supra rectangulum G BN; neminpe ut quadratum DB, ad tertiam partem huius excessus. At tertia parS huius excess s , sunt rectangula BD G, BGo BN G, cum duabus tert ijs partibus quadrati ν G, ut statim patebita
Quod vero assumitum est , sic patebit. Nam quadratum BD , excedit quadratum BG, rectangulis BGD. Paxiter quadratum BD, ζMedit quad tum B M , rectangulis B N D Ivi N. ιdemque quadranum B D, excedit rectangulum G BN , rectangulis B G D, PD G, &BG.N, 'de totus talis excessus, aequabitur dumb s rectanguI s BD G, duobus B GD, dc recta uis BDN, BN D, BGN.i At rectangu- luirn B DN, aequatur rectangulis BD G, & so,NGs quod iectangu Ium BD, NG, arquatur rectangulis N GD, BN G, & quadrato NG. Ergo rursum colligendo, praedictus excessiss aequabitur tribus rectangulis BD G, duobus B GD,
57쪽
& quadrato NG. Pariter rectangulun* BND, aequatur rectangulis BNG; BN, GD ue&duo rectangula ΒΝ , G D ; N G D , faciunt recta gulum B G D. Ergo denuo colligendo, praedictus excessus aequabitur tribus rectatὶgulis que D G, tribus B GD, duobus BNG , rectangulo BGN. deiquadrato NG. Sed pariter restangestim BGN, aequatur rectangulo BN G, & quadrato . G. Em go a primo ad ultimum, praedictus excessus aequatur tribus rectangulis BD G, tribus BG'D , trihus BN G, & duobtis quadratis NU . nu brum
58쪽
s cuilibet parabolae sit circumsiriptum paria Amrammum, quod cum ipsa secetur linea diametro parastela . LGl pars ipsius includens maiorem portiovem, adi am, , t tot bases praedime portionis, quotus in numerus parabolae funitate auctus, ad tot bases semiparaboti, quotus est numerus parabolae, Muna cum excessu tot interceptarum inter diametrum , ω parallelam ductam, quotus eR numerus parabolae initate aucZus , supra θιώ am minimam coistinue pro 'raronasem ; quarum maxima sit basis semiparabola s secunda intercepta inter diametrum , er parallelam ductam est quarum
cumscripto parallelogrammo PD, quod cum ipsa secetur Gk , EF i. diametro parallela 3 & ratio. AF , ad Fh , . continuetur in tot terminos, i numerus eorum excedat numerum parabolae bunario; sintque duo ultimi minimi termini M, &Q.. Dico parallelogrammulti v k, es. ad porti nem maiorem AEH h, yt Ak, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad AF, aiceptam sec. ruiusn. numerum parabolae, una cum
59쪽
e cessu. tot F h, quotus est numerus parabolae mirato auctus, supra unicam Quoniam enim paralIeIogrammum B K, est ad parallelogrammum GF, ut Ah, ad kF; nempe ut AE , accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad tot numero pli 3 paralle-IOgrammum antem GF, est ad segmentum ΕΗ K F, ex propos Io. ut tot AF, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum supra M; nempe ut tot FK, quotus est numeruS parabolae unitate auctus, ad excessu m ipsarum supra Q. Ergo ex aequali, erit ΒΚ, ad L H K F, ut A K, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad excessum tot numero F , , supra Q. Rursum
60쪽
. . . . LIBER PRIMUS I DRursum , eodem modo probabitur , , B, esse ad BP, ut ΚΑ, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad tot numero A F. Sed BF, est ad semiparabolam AEF, ut AF, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad eandem, acceptam secundum numerum parabolae . Quare rursum ex aequali erit Bk, ad semiparabolam, ut Ak, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad AF, acceptam secundum numerum parabolae. Ergo colligendo ambo consequentia, erit dK, ad portionem maiorem AEHk. ut A L, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad AF, acceptam secundum numerum Parabolae, una Cum eX- cessii tot F K , quotus est numerus parabolae unitate auctus , supra Q . Quod erat ostenden.
In parabola , ergo quadratica erit B K, ad AI, ΗΚ, ut tres ΚΑ, ad duas AF, cum excessu trium Fλ, supra Q.
Si parallelogrammum cum portione antecessi proposit. secetur alia linea diametro parallela, adeo πιυt duae paraLlelae includant diametrum . Erit paralleloErammum ' inter