장음표시 사용
61쪽
inter parallelas contentum , ad segmentum parabolae , quod comprehendit, ut linea , ad quam basissem' rabolae habeat eam proportionem, quam habet eum in terceptarum inter inam parallelarum diametrum, ad altam, 'rana cum basi semiparaboia , acceptis ambabus secundum numerum parabolae mmtate aucZum, ad magnitudinem constantem ex duabus magnitudinibus s. quarum mna , sit xxcessus tot basium semi arabolae ue. quotus en numerus ipsius et late auctus, seu a m timam minorem proportιonalem, quarum numerus eX cedat numerum parassiae initate, in quarum max, ma sit basis semiparabolas Secunda intercepta illa imter diametrum , ω parabiam , quae erat am cedens primae proportionis et Alta vero magnituri sit ilia , a quam consequens proportiovis basis semiparabolae i, mratioue Interceptarum inter parallelas , fgri diametrum, accepta fecundum numerum parabolae remitate auoru Nhabeat eam proportionem , quam habet basis semiparabolae accepta secundum n*meram ipsius yUmtate auctum, ad excessum Fupra illimam minorem proporti natem , qHarum numerus excedat numerum parabola Mitate , Oe quarum minxima sit basis semipa dola sncunda mero ilia intercepta inter diametrμM , es p rallelam, quae erat consequens primae proportiorai .
ortio maior AEA K, cum sita 'ciscumscri-- pro parallelogrammo B ἡ , secetur iN O P, EF, parallela, adeo ut NP, Gk, includant diametrum EF ι fiat autem, ut , F, ad FP, sic FD,
62쪽
ad L. Ratio auteri D F, ad F Κ, continuetur in tot
terminoe, ut numerus eorum excedat numerum parabolae unitate; sitque ultimus terminus M. Eodem modo,qon nuetur ratio AF, ad FP; sitque vitamus terminus QSTandem fiat ut tot AF, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum supra Q, sic L, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad R. Dico di Κ, esse ad P O E HK, ut L, cum A F, acceptae secundum nutierum parabola: vn itate auctum,ad R, una ς 9. essu tot AF, quOωS numerus haraholae unitate auctus, supra M. , Quoniam enim ex constructione, conuertendo,
63쪽
Rendo. erit P Κ, ad KF; nempe parallelogram-mum NE . ad parallelogrammum E Κ, ut L, cum F D, ad F D; nempe ut L, cum F D, acceptis ambabus secundum numerum parabolae unitate auctum , ad tot numero F D. Sed ex propos. IO. ΕΚ, est, ad EHEF, ut tot F D, quotus est nu- metu' parabolae unitate auctus, ad excessum ipsarum supra M. Ergo ex aquali , erit Nk, ad E H k F, ut tot L, cum tot F D, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad excessum tot numero FD, supra M. Rursum eodem modo pin-babimus, esse parallelogrammum kN, ad parablelogrammum N F, ut tot DF, cum tot L, quintus est numerus parabolae unitate auctus Q , ad tot
64쪽
numero L. At N F, est ad POEF, ut tot AF, quotus est numerus parab'lae νnitate auctus, ad excessiim ipsarum supra Q; nempe ut tot L, quotus
est numerus parabolae unitate auctus , ad R' factun est enim supra , ut tot A quotus est numerus parabolae unitate auctus,ad excessum ipsarum supra Q, sic tot L, quotus est numeris S parabolae unitate auctus ad R. J Ergo rursu n ex aequali, erit NE, ad POEF, ut FD, cum L, acce- /ptis ambabus secundum numerum parabolae vestate auctum, ad R. Quare colligendo omnia consequentia, erit NE, ad POEHE, ut tot L, cum tot FD, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad R, simul cum excessu tot FD, quotus est numerus parabolae unitate auctus supra M. Quod erat ostendendum.
, Deducemus ergo ex dictis , quod in parabola quadratica, erit N h , ad POEHE, ut tres L, cum tribus ad dum PD, cum kD, &cum excerni FK , supra M , una cum R ; & subtruplando tetminos, ut L, cum FD, ad DK, cum duabus tertij, partibus F S , & cum tertia parte excessus ipsius supra M , una cum tertia pax
65쪽
Si se paraboti quarumque secetur linea diametra paratilila ,-πrtioni ipsius, es minor totius parsi
ia , circumscribatur parastelogrammum . me erit ad portionem , includit, et/t-eontinue pr portionales , in ratione basis semiparabis , ad interceptam inter diametrum,Wparastelam ductam, quarum ma- seima At basis semiparabis, est numeruS par xla ι γ ba toe micibus acceptae , quotus in uam stus parabolae initate auctus , ad ea em proportion os sic acceptas , mr basis semiparabola accipiatur ses' eundum humeram parabolae; Secunda, secundum n - me Phit semisorem; sc Heitc P.
Esto semiparabola BAD, quae sit secta N O,
diametro A B, parallela; & segmento ON D, sit circumscriptum parallelogrammum NE. Dico I g. ad Ο D, ut tot in proportione DB, BN, quarum maxima sit DB, secunda N B, qtiotus est numerus parabolae; S hae , tot vicibus accepta, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad has easdem proportionales ; sed sic a ceptas , ut DB Z accipiatur secundum numerum parabiam BN, serendum nun erumparabo unitate minorem; & sic deinceps. V. g, in prima, Uxdupla DB, ad DB. In secunda, ut tripla DB, cum tripla BN, ad duplam DB, eum unica B N.
66쪽
ὸL AER PRIMUS. ηs In tertia, ut quadrupla DB, quadrupla BN, Mquadrupla E s si haec sit tertia proportionalis minor ipsarum DB, BN, ad triplam DB, duplam BN , & unicam h. Et sic in infinitum. Semiparabolae circumscribatur parallelograminmum BC; α No, producatur usque ad M, &ratio C Α, ad AM, seu DB, ad RN , con
tinuetur in tot terminos, ut numeruS eorum Excc-
dat numerum parabolae unitate , sitque ultimus mianimus terminus E. Quoniam , ex genesi parabo larum , est vi N M, ad M O, sic po restas CA,
conuersio i---- inem rationis, erit MN, ad NO; nempe paratilesogrammim MD, ad parallelogrammum NE, ut DB, ad excessam ipsius supra h. Et conue tendo, erit NE, ad N C, ut excessus B D, supra , . ad BD, n ea pe ut talis excessiis tot vicibus
67쪽
bus acceptus, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad tot numero D B. At, ex secunda parte propos. s. conuertendo, N C, est ad trapezium MCDO, ut tot C Α, seu DB, quotus est numerus parabolae unitate auctus , ad tot numero continue proportionales in ratione CA , ad AM, seu DB, ad B N, quatum maxima sit DB; vnde per conuersionem rationis, est N C, ad N O D, ut illae tot DB, ad excessum ipsarum supra illas proportionales. Ergo ex aequali , erit NE, ad NOD, ut tot excessus D B, supra K, quotus
est numerus parabolae unitate auctu,s, ad excessum tot DB, quotus est numerus parabolae Unitate auctus,supra DB, BN, & caeteras tot proporti nates, quot sunt ipsae. At ea scholio propos 7. excessiis DB, supra , , aequatur omnibus excessibus ipsarum proportionalium,qui sunt tot numero, quotus est numerus parabolae ; unde excessus DB, supra S, tot vicibus acceptus, quotus est numerus
parabolae unitate auctus, aequatur tot vicibuS inmnibus excessibus ; Pariterque excessus tot DB, quotus est numerus parabolae unitate amisso, supra DB, BN , & caeteras tot propoytronaleu, quot sunt ipsae , arquatur omnibus excessibus, tot vicibus , quotus est numerus parabolae ; omnibus excessibus a primo, tot vicibus, quotus est numerus patabolae unitate minus ; alijs excessibus a primo, S secundo, tot urcibus, quotus est numerus
68쪽
LIB A R TR IM VS. ' NE, erit ad oND, ut excessus omnes , tot vi cibus accepti , quotus est numerus parabolae unita te auctus, ad excessum DB, supra BN, acceptum secundum numerum paraboltu 3 cum excessu BN, supra K, accepto secundum numerum parabolae
unitate minutum;& sic deincepS . Verum expriecitata
proposit. 7, pexcessus ma gnitudinum
portionaliu, stat in prinportione c 5 Dtinua ei usidem rationis cum proportione totarum magnitudinum s unde est, ut excessus DB, supra K, acceptus secundum numerum parabolae unitate auctum , ad priedictos excissus, sic DB, BN, & caeterae
continue tot pr portionales, quotus est numerus parabolae, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad DB, acceptam secundum numerum parabolaes cum B accepta secundum numerum parabolae unitate minutum; cum Κ, accepta secundum numerum
69쪽
DE INFINITII PARAROLIS ETC. ερ NE, erit ad OND. ut DB, BN. Meaeterae
tot proportionales secundum numerum parabolae.& hae acceptae secundum numerum parabolae unitate auctum, ad easdem proportionales sic acceptas, ut DB, accipiatur secundum numerum parabolae; BN, secundum numerum parabolae unitate minu
Ergo per eonuersionem rationis, N E, erit ad O ED, ut prςdictum antecedens, ad excessiimipsius supra tale consequens. V. g. id prima parabola, ut dupla BD, ad BD. In secunda, ut tripla DR cum tripla BN, ad DB, cum dupla BN. In tertia, ut quadrupla DB, quadrupla BN, &quadrupla Κ, ad DB, duplam BN, cum tripla K., Et si in infinitum.
Ex dictis facile potest deduci im parabola quadratica, N E, esse ad O N. , ut DB,l cum δ' ad dimidiam DB, cum dimidia BN, & cum sexta parte N D. Nam, cum in parabola quadratica, sit N E, ad ON D, ut tripla DB, cum tripla B ad duas DB, cum B N. Ergo S subtriplatis tetaminis, et it ut DB, B ad tertiam partem duarum
70쪽
duas tertias partes BD; nempe duas tertias partes BN, Nduas tertias partes N D. Ergo NE,erit ad ONO, ut DB, BN,
ad tres temtias BN, nempe ad B N , cum duabus tertijs partibus N Dτ nempe cum quatuor sextis partibus eiusdem. At BN, cum quatuor sextis partibus N D, facit dimidsam B N, dimidiam B D, & sextam partem N D. Quare patet propositum . Imo potest deduci per conuersionem rationis, esse NE, ad OF D, ut DB, BN, ad BN, cum tertia parte NO, ut consideranti patebit.
Si quatuor magnitudines sint continue proportionales. Erit mi excessus prima maioris seupra secundam, evna cum duplo excessu secundae supra tertiam , , cum exce- . tertia supra quartam, ad seMessinalteram primae, γ'. se via , cum teri a purie excessus fecunda supra qηα