De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

41쪽

LO DE INFINITIS PARABOLIS ET . Quoniam ergo, ex scholio 2. sympos 3. est semiparabola AB E, ad HBD , ut A E , ad M. Ergo

per conuersionem rationiS , .& conuertendo , erit

segmentum AH DE, ad . A A E, ut excessus A E, supra, M, ad ipsam AE. Verum, quoniam ut EB, ad BD, sic potestas AE, eiusdem gradus cum parabola, ad similem potestatcm H D;& vitalis potestas A E, ad potestatem H D, sic AE,

ad penultimam proportionalem inuentam, nempe ad L. Ergo S per conuersionem rationis, ut B E,

ad E D, sic A E , ad excessum ipsius supra L. Sed ex propos. q. ut BE , ad ED, sic semiparabola A B E , ad semiparabolam A D E. F i go & ABE, erit ad A DE, ut AE , ad excessum ipsius supra L. Cum autem etiam probatum sit, esse AH DE, ad AB E, ut excessus A E, supra M, ad A E o Ergo ex aequali, erit AH DE, ad ADE, ut excessus A E, supra M, ad excessum A E, supra L. At excessus ΑΕ, supra M, aequatur, ex schol. propos ant. omnibus excessibus, qui tot sunt, quotus est numerus parabolae unitate auctus quia Omnes termini proportioni8 excedebant numerum parabolae binario, & solus ultimus terminus alium non 'xcedit & excessus Α Ε, s pra L, continet

tot xcelsus , quotlas est numerus parabolae; & excessus magnitud num continue proportionalium , sunt proportionales continuem cadem propo Hione cum totis magnitudinibus ex propos ant. Vnde

ut excessus Ah, supra M, ad excessum A E, iu- pra

42쪽

& caeterae tot pro- - portionales, quotus est numeruS parabOlae unitate auctus, ad

les , quotuq est numerus parabolae. Ergo A FIDE, erit ad ADE, ut A E,

caeterae tot pro PortionaleS, quinus est numerus parabolae I

Secunda parS propositionis , pateb t faciliter. Cum enim, ex proposit. i. st R DE, ad GE, ut numerus parabolae , ad numerum parabolae unita. te auctum; nempe ut A E, H D, cum caeteris tot proportionalibuS, quotuS est numerus parabolae,ad magnitudinem, quae ad ipsas sit, ut numerus par, bolae unitate auctuS,ad numerum parabolae. Ergo ex aequali, erit A H D E, ad G E, ut A E, & caeterae tot proportionaleS, quarum numerus excedat numerum parabolae Unitate, ad magnitudinem, quae ad AE, cum tot caeteris proportionalibus, quotus

43쪽

11 DE INFINITII PARABOLIS ETC. quotus cst numerus parabolae, sit ut numerus parabolae vrmate auctus, ad numerum Parabolae. re putet propositum.

COROLLARIUM.

Ex prima parte propositionis insertur, quod diuidendo, erit AH D, ad A DE, ut ultima minima proportionalium antecedentium, ad easdem probortionales consequent es. V. g in prima paraboli , ut H D, ad AE. In secunda , ut L, ad ΑΕ, H D. In tertia ve M , ad A E, F D, ML. Et sic in infinitum. '' ,

Si quodlibet ex infinitis trilineis scetur , dictum e si

Π p ps. 6.i er fiant eadem , qua ibidem. Erit tr penium ad iri eum a se inclusum , Utar tot proportio-Nales in ratione Hametri tribuet, ad diametrum tria eι ad merticem , quarum prima maior sit diameteretri ea , quotus est numerus trilinei et nitate auctus, ad Haiserrum tνιbnei. . d parastelogrammum mero sibi cιr, umscriptum, mi idem antecedens , ad tot Ha-

metros totius trιbhri , quotus ent numerus tritaeι mniatate auctus.

IN schemate propos. 6. Esto trilineum FBA, cuius basis F A , cum alio trilineo uiusdem ge

44쪽

neris FDA.&c. Dico trapeZium FDHA, esse V trilineum FDA, VI taproportionaleS Conri-nu in Iatione F B, ad BD, quarum maxima sit F R. quotus est numerus trilinei vn itate auctus , ad FB. V. s in primo trilineo , Ut FB, cum B ia, ad Frs . in secundo , ut FB, cum BD,& L , ad F B. In tertio, ut F B, B D , t , &M . ad FB . & se in infinatum . Ad parallelogrammum vero FG, fibi cir mscriptum, ut idem antecedens , ad 2 , na UtOt F B, quotus - -- -, i Dest humerus trili-

ad duplam F B.

finitum . Continuetur,

ut factum est in propos ant. Ratio FB , ad BD ' in tot terminoS, ut numerus eorum exeedat numerum trilinei

binario, & sint duo ultim termini, M M.

niam

45쪽

a DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

a. proposit. 3. est rFBA, ad DB H, ut FB, ad M. Ergo

per conuersionem rationi S,&con Uertcndo, erit trape

FDA, ut excessus

tu S cst numerus trilinei unitate auctus a & FD, est Unicus excessus, nerhpe malon ; M ut excessus FB, si pra rus, ad F D, sic ex propos. 7. tot illarum proporti6n altilin Catio tus cit pumerus trilinei unitate auctuS , ad Flia Ergo & trapezium FDH A, erit ad tril meum FDA , ut FB, Sicaeterae tot proportionales, quotus est numerus trilinei Vnitate auctus, ad FB. Vnde patet prima pars, Secunda pars sic probabitur. Cum enim , ex propos prima, sit trilineum FDA , ad FG, ut unitas

46쪽

LIBER GPRIMVS. asinitas ad numerum trilinei vilitate auctum; nempe. ut i8 B, ad me FB, quotus est numerus trili rei unitate auctus . Ergo ex aequali patebat propositum

COROLLARIVM.

Ergo ex prima parte, erit diuidendo, ADH. ad A F D , ut illae proportionales , F B , excopia , ad ipsam FB. V. g. in primo, ut DB, ad FB. In secundo, ut DB, cum iis , ad FB. In tertio ut DB, L, & M, ad FB. S sic in infinitum.

PROPOSITIO DECIMA.

Si quaelibet semiparabola cum ριι circumsicripto puriata grammo secetur linea diametro parallela . Irit ρο- νa ura μα- ί -- raptum figmento ad diametrum , ad E=m segmentum , tot bases semipar - baia , 'Motvis es numerus ipsius cranitate auctus , ad excessum ipsarum pupra mormam mιuorem proportis-nalem , si proportio basis semiparaboti, ad interceptam inteν Hametrum, in Usi ductam parallelam, conrena

tur in tot terminos, quotus in numerus parasola ν-sau auctus.

Semiparabola ADB, cum sibi citcumscripto

parallelog mmo BC, secetur MN, dia- , D metro

47쪽

xs DE INFINITIS PARABOLIS ETC. metro AB, parallela; & ratio D B, ad BN,

continuetur in tot terminOS, Vt PumeruS eorum excedat numerum parabolae unitate ; sitque ultimus terminus Κ. Assero parallelogrammum M B, esse ad segmentum A O N B, ut tot B D, quotus est numerus parabota unitate auctus, ad excessiimipsarum supra K. Ducatur OP, parallela BD.

. Quoniam e

nim B M , A

est ad P M, ut BA, ad

ra parabolae, ut potestas BD, et undem gradus cum para

bola , ad si u

accepta secundum numerum parabolae unitat aucti m , ad tot numero Κ . Ergo & B M, erit ad PM, ut BD, accepta secundum nu inerum parabolae unitate auctum, ad tot numero Κ. Sed ex quadratura infinitorum trilineorum, P M, est ad trilineum A M O, ut numerus parabolae unitate auctus, ad viaitatem; nempe ut Κ, accepta secundum

48쪽

LIBER PRIMUS. AT

cundum numerum parabolae unitate auctum , ad Κ, semel acceptam. Ergo ex aequali, erit B M, ad trilineum AMO, ut B D, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad h. Quare& per conuersionem rationis, erit B M, ad segmentum AON B, ut tot B D , quotus est num rus parabolae unitate auctus , ad excessum ipsarum supra h.

Ex dictis ergo potest concludi , quod in parabola quadratica, erit B M , ad AON B, ut tripla DB, ad duplam BD, cum excessu DB, supra k, quae sit tertia proportionalis ipsarum D B, B N &subtriplando terminos, quod erit ut DB, ad suta sesquialteram DB, cum tertia parte excessus DB, iupra k , quae tertia pars excestus, aequatur tertiae parti DN, & tertiae parti excessu, BN, supra k. Cum ergo subsesquialtera D B, nempe duae ter-.tibe partes DB, aequentur duabus tertijs partibus DN, & duabus tertiis partibus B N; ergo B efit ad AON B, ut BD, ad N D, cum duabus tertiis partibus B N, & cum tertia parte ex

49쪽

SCHOLIUM II.

Sed & aliam rationem B M , ad A O N B, licet uniuersaliter colligere. Nempe, quod sit, ut tot AB, quotus est numerus parabolae unitate auctis, ad tot AB, quotus est numerus parabolae, simul cum PB, seu NO. Quod est euidens ; quia BM , est ad PM, ut BA , ad AP ; nempe ut

BA, accepta secundum numerum pata lae unitate auctum, ad tot numero A P. Parallelogram

mum vero

P M, est ad

trilineum AMO, ut tot A riqu tus est numerus para bolae unitateatinus , ad

A P. Ergo exaequali , &

si onem rationis , erit B M, ad A O N B, ut B A, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum, ad excessum supra A P; nempe ad tot B A, quotus est numerus para

50쪽

LIBER PRIMUS.

Ex superiori SchoIio licet colligere in parab la quadratica, B M, esse ad AON B, ut tripla BA, ad duplam BA, cum B P, seu NO; nempe subtriplando terminos, ut BA, ad duas tertias partes BA, cum tertia parte BP, scii NO. Imo cx dictis licet colligere quandam proprietatem p rabolae cuiuscumque, quam licet iudicemus parum , aut nihil sequentibus inseruire , attamen nobis videtur pulcherrima scitu . Proprietas autem est. Quod .

PROPOSITIO XI.

OVoniam enim ex dictis, B M, est ad AON B,

ut AB, accepta secundum ni merum parati iis uni rate auctum , ad eandem AB, acce-pram secundum numerum parabohe, cum Nos ut vero tot AB , quotus est numerus parabolae V-nitate auctus, ad tot Ad, quotus est numerus parabolae, una cum N O, sic tot triangula AN B, quotus est numcFGS parabolae unitate auctLS , ad