Archimedis De iis quae vehuntur in aqua libri duo

21쪽

YRCHI MED I s

eentro graui itis fistularim demouser inus: erit magnitudi-ms ex utrisque portionibus b n Gbge constantis; hoc es portionis in himido de nersa grauitatis centrum in linea n qua ipsarum sybaera portionum centra graui talis coniungit. si enim heri pote st, sit extra laneam ut M.q: sitq; portionis b nc centrum grauitatis u; O ducatur u q. tiuoniam igitur a portione in hi mido demerga aufertur lybocris portio b ne, nou habens idem centrum grauitatis: erit ex octaua

primi libri.Archimedis de centro grauitatis planorum, reliquiae portionis bgc centrum in linea u qpro lina. quod seri non potest; es enim in axe fur mg. sequi tur ergo ut portionis in hMnido demersae centrum grauitatis sit in linean h. quod ostendendum proposuimus. D Se i totius portionis grauitatis centrum est in linea D, inter k, & quod sit x.J Compleaturi haera, ut sit portionis addita

axis ty; centrs grauitatis et . Itaque quonia ὰ totasthbera, cuius, i iiii cet is a istam in eodem libro demostrauimus, au i est, . nrtu ortio e F b centru grauitatis habens et: erit reliqua portionis Ei,. esbctim in linea; si producta. quare inter of necessario cadet. E Resi quae ergo figurae, quae est extra humidusn, centrum critin linea rY proaucta.J Ex eadem ob tam primi libri Archim dis de centro grauitatis plauorum. IJ Foretur ergo grauitas, figlirae quidem quae caetra humi duna per rectam S I deorsum; portionis autem , qtiae inlitumdo sursitim per redham ri. J Ex antecedenti positione. magnitudo lenim, quae in humido emersa ensaurus i perlianeam r. horismi fertur i quanta qms extra humi δε- per i neam sa, deorson: id. qi od ex propositione sexta huius

siri constare potest. O Doniam: strantur per alus, atque alias lianeas;

22쪽

Mas is neutra alteri obsistit, quo miuus moueatur; ιdq; continenter fiat, dum portio in rectum fuerit consituta: tunc enim utrarumque magnitudinum auitatis ce=ntra in unam, eandomq; perpor dicistarum conuenium Gelicet in axem portionis: S quanto couatu, impetitue ea, qua in humido est sui si , tanto qifae extra humidi in deorsum per eandem lineam contendit . quare cum altera alterapnnousuperet, non amplius mouebit Arportio sed consistet, manebitq; in

eodemsemper situ; iussorte aliqua caussa extrinsecus accessunt.

PROPOSITIO IX.

v b n si figura lium idoleuior in humidi i Indes uittat hircita ut basis tota sit in humido ; insidebi; recta, ita ut axis ipsius secundum perpendicu

larem constituatur.

INTELLIGATUR enim magnitudo aliqua, qua lis dicta est, in humidum demissa: δc intelligat tir planturipe P aXem portioni S,&per centrum terrie duetum: sitq; sta perficiei quidem lata mi disiecitio ab c d circunferentia; figi irae autem sectio circi in ercndia es h : desit cli recta linea, R axis portionis fit. Si igitur fieri potest, noli sit si secundum perpendicularem . Demoris pandi im cli non numere liguram; sed in rectium 1 estitui . est autem centrum spluerar in lineas t: rursus enim sit figura primo maior dimidia nihiluaera: & spluerae centrii iiii dimidia spli aera sit pun et una t, in minore portione p; in maiori uero siti C: &per& terrae centrum I ducatur ICl. Itaque figura qiue es: A

23쪽

extra humidi stiricrficiem, axem liabet in perpendiculari per .: &propter ea,quae superius dici a sint, centrumn uitatis ipsius est in linea n his quod sit r; totius autem po rionis centrum grauitatis est in linea it, inter quod sit x. reliquae ergo figurae, eius scilicet, quae est in humido, centrum erit in recta linea rx producta ad partes xi&as. sumpta ex ea linea quadam,quae ad x r eandem habeat proportionem,quam grauitaS portionis, quae est extra humi dum,ad grauitatem figurae, quae in humido. Sit autem ocentrum dictae figurae: & per o perpendicularis ducatur 1 o. Feretur ergo grauitas portionis quidem, quae est e tra humidum,per rectam x I deorsum; figurae autem, quae in humido,perrectam o I sursum . non manet igitur sgura ; sed partes eius, quae sunt ad ii, deorsiim fieretur ;& qtiar ad esursum . atque hoc semper erit, donec f t secundum Perpendicularem fiat.

COMMENTAR IV S. Α ITA Q V E figura, quae est extra humidi superficiem, axem habet in perpendiculari per L .JD v C A T v R enim bc, quae secet tineam n rim: ipsa uerou si circunserenuam ab ed Iecet in g. eodem modo, quos ra, d monstra

24쪽

monsrabimus portionis sphaeric bne axem esse ipsam n me in portionis b Ic axem x m.

quare centri rauitatis utri usque, erit in lanea v m. quoniam i sorii e bnc asse fertim portio b go, non habens dem grauitatis centrurreliquae magnitudinis, quis in extra humi ij eoiciem.cα- gπ- grauitatis erit in linean qui e scilicet earum portionum centi grauitatis coniungit: ex eadem octava Arebimedis .

25쪽

ARCHIMEDIS DE IIS

QUAE VEHUNTUR IN ARVA

LIBER SECUNDUS.

CUM COMMENTARIIS FEDERI CI

I magnitudo aliqua humido

leuior demittatur in humidum, eam in grauitate proportionem habebit ad humi dum aequalis moliS, qua pars magnitudinis demersia habet ad totam magnitudinem.

DEMITTATUR enim in humidum aliqua magnitudo χlida, quae sit fa, leuior humido: & pars quidem ipsius demersia sit a; quae autem extra humiduni f. demo strandum est, magnitudinem F a ad humidum ae qualis molis eam in grauitate pro portionem habere, quam habeta ad fa . accipiatur enim aliqua humidi magnitudo si iaequalis

26쪽

aequalis magnitudini sa; sitq; ipsi faequalis 11: & ipsi a le-

qualis i. magni rudinis autem fa grauitas sit br& magnia tudinis ia i grauitas o r; ipsius i sit r. magnitudo igitur f a ad n i eam proportionem habet, quatri grauitas bad grauitatem o r. Sed quoniam magnitudo fa in humi dum demissa leuior est liumido; patet tantam humidi molem, quanta es pars magnitudirus demersa, eandem quam magnitudo fa habere grauitatem. hoc enim superius de 'prrimi monstratum est. At ipsi a respondet humidumi, cuius qui 'dem grauitas est r; 8c ipsius fa grauitas b. ergo b grauitas eius, quod habet molem aequalem toti magnitudinifa, aequalis erit grauitati humidi i, uidelicetipsi x. Et quoniam ut magnitudo fa ad humidum n i sibi respondens, ita est b ad 6 ri est autem b aequalis ipsi r :&utrado itai ad n i;& a ad fa. Sequitur ut fa ad humidum aequatig Π, quinti molis eam ingrauitate proportionem habeat, quam magnitudo a habet ad fa . quod demonstrare oportebat.

REcTA portio conoidis rectanguli, quando axem habuerit minorem, quam sesquialterum eius, quae usque ad axem, quam gulaque proportionem habens ad humidum in grauitate; demissa in humidum , ita ut basis ipsius humidum non contingat 1, 3c posita inelinata, non manebit inest nata; sed recta restituetur. Rectam dico consistere talem portionem, quando planum quod ip

sam secuit, superficiei humidi fuerit aequi distans.

SIT portio rectanguli conoidis, qualis dicta est;&4M 'C a

27쪽

ARCHIMED Is

ceat inesiliata. Demonstrandum est non manere ipsain; sed reci ana restitiri. Itaque secta ipsa plano per axem, rect o adplalium,' quod est in superficie hutnidi, portionis sectio sita 13 ol rectanguli coni sectio: axis portionis, & sectionis diameter ii o: sit perficiei autem humidi seditio sit i s. Si igitur portio non est recta; non utique erit a i ipsi i s re quidistans. quare n o cum i s non faciet angulos rectos. Suppleta ducatur crgo kω contingens sectionem coni in 13 squae E eόri ipsi i s aequi distet: & a puncto p ad i s ducatur p faequi lin stans ipsi on, qua erit sectionis i pos diameter,&axis portionis in humido demersis. simantur deinde centra graui C tuum: sitq; λlidae magnitudinis ap o i grauitatis centrsi D r; ipsius uero i p o s centrum sit b: & iuncta b r produca tur ad g,quod sit centrum grauitatis reliquae figurae ista.

Quoniam igitur 13 o ipsitis quidem r o ses otii altera cst; E eius aute, qllaeusque ad axe minor, quam sesquialtera; erit F ro minor, quam quae usque ad axem. anguluS rpsit acutuS erit: cum enim linea, quae usqtie ad axem maior sit ipsii r o; quae a puncto r ad k ω Psrpendicularis ducitur, uidelicet ri, Cli. linea f p extra sectionem conueniet: & pro pterea inter p, ι, puncta C dat necesse est.

ducantur lineae

los rectos clim '

G superficie humidi cyntinebpnt: quod in humido est suo: stria seretur sectuidum perpendicularem, quae per b ductacst usici aequidistant: quod uero est extrahunti dum s cundum

28쪽

cundum es1' quae per g, deorsiim seretur ι iram ne Thit soli itura a p o li nam quod est ad a seretur sursiam ς α quod ad b deorsuiri, donec n o secundum perpendicu larem constituatur .J

COMMENTAR IV S.

Da s 1 D E RA Tvat propositionis hi s demonstratio, gram nos et iam ad Archimedis Iguram apposite restituimus, commentarijsia

Redi a portio conoidis rectanguli, quando axem habite' Arit minorem, quam sesquialterum eius, qine usque ad axe JIu transatione mendose legebatur. maiorem P sesequialterum: f O ita legebatur insequenti propositione. est aurem restae portio conoesis, quae plano ad axem recto abscinditus: tamquo rectam tunc

consistere dicimus, quando planum abs indens, ut micet basis planum,superficiei humidi aequidi sans fuerit. a erit sectionis 1 pos diameter, &asis portionis in Bhumido demer e J ex ψ6 priri conicormi Apollonis: veL G co rollario 3I eiusdem. Sitque s blidae magnitudinis a p ol grauitatis centrum r, Cipsius uero ipos centrum sit b. J Tortionis enim colaoidis rectanguli centrion grauitatis est in axe,quem ita dirudit , ut pars eius,quL aduerticem terminatur,reliquae partis, quae ad basim, sit dupla: quod nos in libro de centro grauitatis solidortim propositione 29 demonstraqimus. Cum igitur portionis apol centrumgrauitatis tri erit o f dupla r n: propterea n o ip s o r sesquialtera. Eadem ratione b centrumgrauitatis portionis i pos earuaxeps, ita ut pb δε plasit b . . e Et iunctae br producatur ad g, quod sit centruiri graui Diacis. reliquae si gurae i si ad Si enim linea br in g produs ti basiegi gr ad rb proportionem eam, quam conoidis portio ipos ad reliquam figuram, qua ex humidi supremis extat: erit punctio a situs grauitatus centrum, ex octava Archimedis . ,

29쪽

Erit ro minor, quim, quae usque ad axem J decima propositione quinti libri elementor . Linea, quae usque ad axem apud Archimedem, es dimidigeius, iuxta quam possisnt, quae iss Eltione ducuntur ; ut ex quarta propositione libri de conoidibus , Osthaeroidibus apparet. cur uero ita appellata sit, nos in commentariis in eam editis tradidimus. Quare angulus rpω acutus erit J producatur linea no adb; i ityi r b aequalis ei; qua Upue ad axem. si igitur a puncto h ducatur linea ad restos angulos ipsi Db,conueniet cum fis extra I ctionem: dudia enim per o ipsi is I aeqvidistans, extrasectionem cadit ex decima sept ma primi libri com-

corum . Itaque conueniat in v. est qU

niam spen aequi di tuns diametro; h u itero ad diame trum perpendicularis; is rh aequalisei, qκά usq; ad axe linea ὰ pun to γ adu duncta angulos r uosfaciet ci ea, qAae se tionem in puncto p contingit, hoc est vili , ut mox demon habi gr. quare perpendicularis ri inter p O

Sit rectanguli coni festio, seu parabole abo evicis diameter bde atque fam contingat linea es in pune ἰο g: siumatur autem in diametro b d linea b L aequa-Irs ei, quae usique ad axem: Q per g du Ecta gi, diam tro aequidi fiante, a puncto k ad refctos angulos ipsi b d ducatur Lm, secum gi in m. Dico lineam ab h ad

30쪽

DE IIs QUAE VEN. IN AQUA . Iam pro tu Elam perpendicularem esse ad ipsam es, quam fidem secet in n.

DuCATVR enim a puncto glinea go ad rectos angulos 'sies, diametrum in o secans:strursus ab eodem puncto ducatur g yad diametrum perpendicularis secet autem ipsa diameter prodi faIinea es in q. erit pb ipsi bl squalis, ex tragesi aquinta primi conicori m : se gρ ρ portionalis iter qp, poquare quadratu g p re-9angulo op q. aequale erit: sed etia aequale enre tangulo colento ipsa

ad diametru ordinatim ducuntur, ex undecima primi conicorum. ergo

qua est proportio qρ ad pb eadem en lineae, iuxta qua possunt , qμαὰ sedlione ducumr ad ip

en. Limea igitur tota

quam postsent, qis.s 2s Aione ducuntur ipsius p o dupla erit propterea po aequalis et , quae usque ad axem , uidelicet ipsi hi: sed est pg aequalis L 3 O angulus opg angulo h m; quod uterque rectus . quare O Og ipsi iam est sequalis O angulus p o g angulo χhm. aequi linantes igitur sunto Obn