Archimedis De iis quae vehuntur in aqua libri duo

31쪽

αν, prinu ungulus h us aequalis angulo ρ g D quod cum sit go Aerpendiaciduris ad e-b n ad eandem perpendicularis erit. quod de

monstrare oportebat.

G Et quod in humido est sursum seretur secundu 1n pe pendicularem,quae per b ducta est ips1 rt aequidistans. JCur hoc quidem sursum , illud uero deorsum per lineam perpen-disularem feratur,diximus supra in octauam primi libri huius. quare neque in hac,neque in alijs, quae sequumtur, eadem iterare necessariuM existimavimus.

PROPOsITIO III. REcTA portio conoidis rectanguli quando axem habuerit minorem , quam sesquialterum ciu , quae usque ad axem, quamcunque propo

tinnem habens ad humidum in grauitate ; demi sa in humidum, ita ut bassis ipsius tota sit in humi

do ,3c posita inclinata, non manebit inclinata, sed ita restituetur, ut axis ipsius secundum perpendicularem fiat.

DEMITTATUR en1m aliqua portio in humidum, qualis diecta est: sitq; ipsius basis in humido & seeta ipsa plano per axe, recto ad stiperficie humidi, sit sectio p o Irectangtili coni sectio: axis portionis sectionis diame ter p s: superficiei autem humidi sectio sit: i s .Quod si inclinata iaceat portio,non erit axis secundum perpendiCul rem . ergo p fcum i s angulos rectos non faciet. Itaque ducatur linea quaedak ω aequidistans ipsi is; contingensq; sectione ap ol in o: &solidae qui ide magnitudinis apolsit r grauitatis centrum: ipsius autem ipos centrum sub tun

32쪽

distantes ; pars quidem solidae magnitudinis, quae in huimido est,stirsum seretur secundum perpendicula moer g ductam i quae autem extra humidum secunduperpendicularem per b deorsum seretur: &non manebit selidum apo I sic habens in humido: sed quod quidem est ad a seretur sursum: quod autem ad l deorsum, donec p s fiat secundum perpendicularem. ΡROPOSITIO III Ι.RgcTA portio coinoidis rectanguli, quando . fuerit humido leuior, & axem habuerit maiore, qnam sesquialterum eius, quae usqtie ad axem : si in grauitate ad humidum aequalis molis non mi norem proportionem habeat ea, quam quadratu, quod sit ab excessi h quo axis maior esst , quam sesquialter eius, quae usique ad axe, habet ad qua

dratum, quod ab age; demissa in humidum, ita ,

33쪽

ARCHIMEDIs

ut basis ipsius hurni dum non contingat; & potta inclinata, non manebit inclinata, sed recta re

stituetur.

SIT portio conoidis recta1nguli, qualis dicta est:&demissa in hinnidum,si fieri potest, iton sit recta; sed incliti ta : secta autem ipsa plano per axem, recto ad sit perficiem humidi,portionis quidem sectio sit rectat aguli coni sectio a poli axis portionis,§ionis diameter no ;&sii per ficiei humidi sectio sit i s. si igitur portio non est recta,no :faciet n o cum i s angulos aequales. Ducatur Ic ω contingens rectanguli coni sectionem in p; sequidistansq; ipsiis: &a princto p ipsi on aequi distans ducatur ps. Itaquestumantur Centra gratulatum:& sblidi quidem a pol centrum sit r; eius autem, quod intra humidinu centrum biiunctaq; b x pro ducatur ad g, ut g sit centru grauitatis solidi, quod

extra humidum.

Quoniam igitur u o ipsius quidem r o sesquialtera e;

eius aute,quae uia

que ad axe maior, quam sesquialte-ἀγquinti Ta:patet r o maiore esse, quam quae

A usq; ad me. Sit ei, quae Usque ad axe B aequalis rh: & oh dupla ipsius h m. quod cuno ipsius rois quinti sesquialtera sinitemq; mo ipsius oli: & reliqua n m reliquae r h sesquialtera erit. ergo axis tanto maior est, quam sesqtri

34쪽

sesquialter eius, quae usque ac laxem, quanta est linea mo . Ponebatur autem portio ad humidum aequalis molis non minorem in grauitate proportionem habere, quam quadratum,quod fit ab excessu, quo axis est maior, quam sesquialter eius, quae usque ad axem, ad quadratum, quod ab axe, quare constat portionem ad humidum in grauitate non minorem proportionem habere, quam quadratum lineae ino ad quadratum ipsius no . Sed quam proportio nem habet portio ad humidum in grauitate, eandem portio ipsius demersa habet ad totam portionem: hoc enim supra demonstratum est: & quam proportionem habet demersa portio ad totam, eam quadratum ps habet ad noquadratum: cum demonstratum sit in iis, quae de conoidibus,& sphaeroidibus, si a rectangulo conoide duae portio nes planis quomodocunque ductis abscindantur,portiones inter se eandem habere proportionem,qnam quadra ta , quie ab ipsorum axibus Constituuntur . non minorem ergo proportione habet quadratum p fad quadratu no, quam quadratum mo ad idem no quadratum . quare Ep f non est minor ipsis m o; nec b p item minor h o. Si Figitur ab li ducatur linea ad rectos angulos ipsi no , coia Gbit cum bp, atque intcr b,& p cadet. coeat in t .&quo Hia iam ps quidem aequi distatis est diametro , hi autem ad diametrum perpendicularis; & r l, aequali S ei, quae usque ad axem : ducta linea ab rad t&producita angulos rectoufaciet cum linea sectionem in puncto p contingente. qua re&cum is, &cum humidi superficie, quae per is transit. Itaque s1 per bgpuncta lineae ipsi xt aequi distantes tu cantur, angulos rectos facient cum siuperficie humidi i&quod quidem in humido est solidum conoidis feretur suo sum secivadum eam, quae per b ducta suerit ipsi ri aequi distans: quod autem extra humidum, secundum eam, quae per g deorsim feretur. atque hoc tandiu siet, quoad co-noides rectum constituatur.

35쪽

Λ Sit ei, quae' usque ad axem aequalis rh.J Ita legendi est , non rnr, ut transatio habet, q/ιod ex js, quae Reqmntur, manifeste constare potest . B Et oti dupla ipsius lam.J Intranssatione mendose legebatur,on dupla ipsius rm. Hoc enim supra demonstratiam est.JEt quam proportionem nabet deinersa portio ad tota , eam quadratum p fhabet ad n o: quadratum.J Hoc loco in transsatione non inulla desiderabatitur,qube nos restituimus. Illud autem ab .Archimede demonstratiis es in libro de conoidibus es spharoidibus propositione 16. E Quare p f non-2Vam exdecima quinti sequitur, quadratim ps non eminus quadrato mo . quare neque linea ps minor erit lineam o eu et 1 sexti.

F Nec b p item minor la o.J . Est enim ut ps ad p b, ita m Mad hos est permutarido,ut p fadmo, ita b p , ad bo . sed ps nou, . quinti en minor mo, ut ostensum cn. ergo neque bp usa ho minor erit. G Si igitur ab hducatur linea ad .rectos angulos ipsi n o, coibit cumb p , atque inter

Corruptus erat hie locus in trallatio ne. Illud uero ita de monstrabitur. Quo niam p non est mun V om, nec pb ψ-

36쪽

cruare per o ductaini a I aequIdistans cadet extra siectionem ex II. 'primi conicorum: O cum b p producita coibit insta p. ergo pendicularas d Baper h cum eadem infra b coibit,atque infer b Op necellano cadet. msito autem magis illud idem eqs elucis pona mus ps ipsa O m maiorem esse. Et quoniam p i quidem aequi distans est diamctro,h t ali sit ad diametrum perpendicularis;& rh aequalisci, qua usque ad axem,ducta lilaea ab r ad e, Sc producia angulos rchios facere cum linea se tionem in p contingente Hocsterius a nobis demor strati est in secundam hm is .

REcTA portio conoidis rectanguli, quando

leuior humido axem habuerit maiorem, quam sesquialterum eius, quae usque ad axem ; si ad lul-midum in grauitate non maiorem proportiona habeat, quam excesssius, quo quadratum quod fit ab axe maius est quadrato, quod ab excessu, quo axis maior est, quam sesquialter eius, quae usque

ad mem, ad quadratum, quod ab axe: demisia in humidum, ita ut basis ipsius tota sit in humido ;& posita inclinata non manebit inclinata, sed re stituetur ita, ut axis ipsius secundum perpendicularem fiat.

DEMITTATUR enim in 11umidum portio aliqna, quali ρ di ista est: & sit basis ipsius tota in humido. Secta autem ipsa plano per axem,reeto ad superficiem humidi, erit , sectio rectanguli c0m se Stio,quae sit a P o l: axis portionis,

37쪽

ARCHIMED Is

& sectionis diameter n or superficiei autem humidi semo sit i s. Quoniam igitur axis non est secundum perpendicularem; ipsa no cum is non faciet angulos aequales. DI

Catur liti contingens sectionem a pol in p; atque ipsi is aequidistans: per p auteni ducatur p faequi distas ipsi n o:& sumantur grauitatuin centra: sitq; ipsius a pol sblidi centrum x; eius quod extra humiduni sit b:&iuncta brproducatur ad g, quod sit centrum

grauit*tis soluti iluimido demersit 8

siuuatur praeterear li aequalis ei, quae usique ad axe: O lagiitem dupla ipsi us h m; & alia fiat, sicuti superius diactum est. Itaque cum portio ad humidum in grauitate non maiorem

Proportionem hahere ponaturiqu1 excessus,quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad

ipsum no quadratum :& quam proportionem in grauitate portio habet ad humidum aequalis molis, eandem habeat magnitudo portionis demersit a totam portionem , quod demonstratum est in prima propositione :quin- magnitudo demersit non maiorem proportionem habebit ad totam portionem , quam sit dieia illa propo A portio. quare non maiorem proportionem habet tota portio ad eam quae est extra humidum, quam quadratum B no ad quadratum mo. habet autem tota portio ad eam, quae extra humidum proportionem eandem, quam quadratum

38쪽

dratum in o ad quadratum p f. quadratum igitur n o ad quadratum ps non maiorem proportionem habet, quam ad quadratum mo .ex quo efficitur, ut p f non sit minor ipsa o in ; neque p b ipsa o h. quae ergo ab li ducitur ad rectos angulos ipsi no, coibit cum bp inter p & b. Co eat inr.&quoniam in rectanguli coniseetiones fest aequi distans diametro no; h t autem ad diametrum perpedicularis: & r h aequalis et,quae usque ad axem: constat r tproductam secere angulos redhos cum ipsa kptii. quare&cum i S. ergo ri perpendicularis est ad superficiem humidi. et si per bg pim Aa ducantur aequidistantes ipsi r ad superficiem humidi perpetidiculares erunt. portio igitur, quae est extra humicium, deo tim in humidum feretur secundum perpendicularem per b diuetam; quae uero intra humidum secundum perpendicularem per g siti uinferetur:&non manebiti olida portio a pol, sed intra trumidum mouebitur, donec utique ipse no sucundum Per pendicularem fiat.

COMMENTAR IV S.

Quare non maiorem proportionem habet tota portio ad eam, quae est extra humidum, quam quadratum n o ad

quadratum moJ Cum enim magnitudo portionis in humidum demersi ad totam portionem non majorem proportionem habeat, quam csus, quo drati no cedit quadratum mo,adip- - no quadratum: conuertendo per uigesima extam quinti et mentormn ex traditione Campani,tota portio ad magnitudinem demersam non minorem proportionem habebit, quam quadratum noad excessum, quo ipsi quadratum v o excedit quadratum mo. IutGigatur portio,quae extrahi id ,magnitudo prima: quae inhuhiido demersa en ecundat tertia autem maguitudo sit quadratummo: excessus, quo quadratum n o excedit quadratum mo sit quarta. ex bis igitur magnitudinibus,primae ct secundar adsecu

39쪽

ARCHIMEDIS

Iam non missior en proportio , quam tertiae ct quartae ad quartam; est enim quadratum m o un i cum excessu, quo quadratum n o eXce. At quadratum mo aquale ipsi no quadrato. quare per conuersio . nem rationis ex go eiusde primae o secundae ad primam non ma- ior proportio erit, quam tertiae quartae ad tertiam: O idcirco to- ita portio ad portionem eam, qua est extra humidum non maiorem proportionem habebit quὰm quadratum n o ad quadratum moquod demonRrandum proponebatur. Habet autem tota portio ad eam, quae extra humidum proportionem eandem, quam quadratum n o ad quadra

tum p f. J Ex Alesimasexta libri de conoidibus , O sphaero

C Ex quo emcitiar,ut p snon sit minor ipsa om ; nequep b ipsa oli. J Sequitur illud ex decima decimaquarta quinti, ex uigesimasec das ti elementorum, uisuperius di tum est D ' Quae ergo abii ducitur ad rectos angillos ipsi nocoliabit cum p b inter p & b. J Cur lucita contingat, nos prox i

PROPOSITIO VI I REcTA portio conoidis rectanguli, quando leuior hutnido axem habuerit maiorem quidem quam sesquialterum eius, quae usque ad aXem, minorem nero, qu m ut aὰ eam, quae usque ad axem proportionem habeat, quam quindecim

ad quatuor; in iuina id tim demissa adeo, ut balis ipsius contingat humidum, nunquam consistet inclinata ita, ut basis in uno pii iusto humidum

contingat. sit

40쪽

DE IIS QUAE VEH. IN A a V A.

SIT portio, qualis dicta in humidum demittatur, sicuti diximus, adeo ut basis eius in uno puncto contingat humidum. demonstrandum est non manere ipsam portionem, sed reuolui ita,ut basis nullo modo humidi sit perficie Acontingat.Secta enim ipsa per axem, plano ad superficiem

humidi recto, sit sectio superficiei portionis a p o I re et aguli coni siectio i superficiei humidi se

ctio sit as: iS autem portionis , ac sectio anis diametor uo: &siccetur in

f quide ita, Ut o f sit dupla ipsitus fia; in Quero , ut ia o ad f eannem habeat proportionem, quam quindecim ad quatuor : & ipsino ad rectos angulos ducatur.h. Itaque quoniam n o nail f ω maiorem habet proportionem, qualia ad eam , qtiaetasqtie ad axciri; sit et,quae usique ad axem te litatis i b: & diicatur oc quidem ipsi a s aequidistans,c5tingensq; sedctio

nem apo I in p ;pi uero aequidistans ipsi n o primum secet pi ipsam h ob inli. Quonia ergo in portione ap ol, C quae continetur recta linea, &rectanguli conisectione, cra quidem aequidistans est ipsi al; pi uero diametro aequi distat: secaturq; ab ipsa cliinh:& as tequidistat contingenti in p: necessarium est ipsam p i ad y li uel eandem proportionem habere, quam habet 11ω ad D o, lici maiorem: hoc enim iam demonstratum est. At uero Ia ωsos filialtera

est ipsius Δ o. & p i igitur uel ses'iuialtera est is sitis h p ; uel maior,quain sesquialtera. Qinire pii ipsius si i aut du D