장음표시 사용
101쪽
mo ignorat, cum dua linea inaequales data mes inter se dia sent, ita Σt nextra alteram continga via non ὰd υel coniungantur ad inum extremum, messe muttio ferant, vel certe altera alteram suo exrremo tangar duntaxat, cte. de qua re Iege Proesum hoc in ioco
SI duo triangula duo latera duobus lateribus ς qualia habeant, utrumque utrique; habeant vero& angulum angulo ς qualem sub aequalibus rectis lianeis contentum : Et basim basi aequalem habebunt ό eritq; triangulum triangulo aequale ; ac reliqui anguli reli
quis angulis aequales erunt,Vterque Virique, sub quibus aequalia latera subten
duntur. 1, SINT duo triangula ABC,
in in D , & unius utrumque latus AB, AC, squale sit alterius utrique la-B- teri DE, DF, hoc est,A B, ipla D E,& AC, ipsi DF; ansul usque A, C tentus lateribus AB, AC, aequalis angulo D, contento lateribus D E, D F. Dico basim B C, aequalem quoque esse bas F F ; & triangulum ABC, triangulo D E F; &utrumque angulum B,& C,utrique angulo E,& F. id est, angulos B,&E, qui opponuntur lateribus aequalibus A C, D F, inter se ; & angulos C, & F, qui opponuntur aequalibus laterihus A B, D E, inter se quoq; esse qQua
102쪽
les . Quoniam enim recta AB, rect D E, ponitur aequa lis,sit,ut si altera alteri supponi intelligatur , collocat puncto A,in puncto D,' ipsi; sibi mutuo congruant,punia a I romctumq; B, in punctum Ε, cadat. Neq; enim dicere quisl poterit,partem rcct A B,rectae D Ε, congruere, & par tem non, quia tunc duae rectae haberent idem segmen tum commune, h quod est impossibile . Quod si quis di- b I Osren. cat, posito puncto A, in D, cadere quidem punctum B, in E, sed rectam AB, cadere vel ad dextram,vel ad sni stram D Ε, claudent duae rectae lineae supersciem.e quod φ x .pro fieri non potest. Quare recta A B, rectae D E, congruet, vi dictum est. Cum orgo angulus A,angulo D, ponaturaequalis,4 congruet quoque alter alteri,hoc est, recta ψδdron. A C, recti D F,congruet,punctumque C, in punctum F, cadet,ob aequalitatem rectarum A C , D F. Basis igitur B C,bas E Rcongruet quoque t alias si supra caderet, aut infra,vi efficeretur recta F G F, vel f H F, claude
rent duae rectae E F, E G F; vel E F, E H F, supersciem ,
negare enim nemo poterit,iam E G F, quam E H F,re cta esse, cum utraq; ponatur esse eadem,quae recta BC. quod est absurdum . Duae enim rect superficiem ς claudere non possunt.Quocirca i basis B C, basi E F 1qtiali me ν - η erit, iam Deutra alteram excedat; & triangulum A B C, i 4 DG
trian Mi D E F; & angulus B, angulo E; & angulus C, angulo F,aequalis,ob eandem causam , existet. Quare si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia ha beant, &c. Quod demonstrandum erat. S C Η O T J V M,
RECTE Euelides dum conditiones νlatis antecedente Auitis theorematis, qtiartim nima est, me o lateria unius trianguli aequalia fine duobus lateribi alterius triangtiti,
virum' utrique s Secundia, mi angulus etiam initis conten
etis tuis lauri s pq qis sit langulo alterius contento lateribus, qur Brissent aquatia. Descionte enim nise tra sartim conduionum, neque bases, neque reliqui anguli poterunt unquam esse aequales , me probe hoc Ioco a Proeti demon
103쪽
duntaxat conditione desic ense, mi ex schotio 'vos itis lib. consabit amen Paro admotam illud confinget. Sint enim tria tigomm A B C, D E F. anguli A, D, kquales, nempe recti, latera A B, A C , a alia Iarediistis D E.
tis, erit lasis A C. ,, O MO E F, Fadiae quadrata Mitis nutam i as.quae maior quidem es quam s.minor autem, Damc Irem area tDiautili A B C, erit s. Λstea mero triangtiti D L p. s. An ti deniqtiessis basemm C, inaquaera reuntanaetitis sis hasm T F. Qua quirim omma ita esse, hicos eias, emas, ni se ad eorum demons fionem requirerenitirmulta, qua nondam sane consermata. Viris igitur omnia AEquatia esse rapterea quoti non utramque Iarus meriqtie larem aeqtiale Mistit in dictis rei sulis A B C . D E F.
Α, maior, a D. Era, s concum, erit bases B C, maioν ό se E F, me propi f. a V. Liatas libri ostendetur . Ωuodsi ba B C. ponamus esse R. fasim a tem E F, . erit area triangu-h A B C, 12. Λνea etexo Diautili D E F, radix quadrata ius semen M. quia maior quidem es qtiam s. minor mero, quam io. id quod notissmum eis Geometris . Ut igittir Δη-riam triangulorum is sa es. Si an ti, nee non triantita ipsa aquatia interse i, necessis es, me mi mque latus mistis quale sit tirique lateri alterius, ct an Ii qtioque dictis lateribas contoriaeqtiales existiant,me optime dixit Ttichris
104쪽
1 SOS CELIVM triangulorum , qui ad basim sunt, anguli inter se sunt aequales: Et productis equalibus rectis lineis, qui subbasi sunt, anguli inter se
SIT triangulum I sceles ABC, in quo duo latera AB, A C, inter se
sint aequalia . Dico angulos ABC, A C B supra basim B C, aequales inter se esse : Item si latera aequalia AB, AC, producantur quantum libuerit, avsque ad puncta D, & Ε, angulos quo- ue D B C, E C B,infra basim eanΘem BC, etsi equales . Ex linea enim A E, producta ins nitea abscindatur A F, equalis ipsi AD , h& ducantur rectae B F, C D. Considerentur deinde duo triangula A B F, A C D Quia ergo duo latera A B, A F , trian guli A B F, equiata sunt duobus lateribus A C, A D, trian uti A CD, utrumque utrique , nempe A B ipsi A C, ex hypothes, & A F , ipsi A D , ex constructione ;angulusq; A, contentus lateribus AB, A F, aequalis est araetulo A, contento latoribus A C , A D, immo angu lus A, communis est utrique triangulo: ς Erit basis B F,
aequalis basi C D; & angulus F , an ulo D ; & angulus A B F, an ulo A C D ; cum x priores duo, & posterio
res opponantur equalibus lateribus in dictis triangulis, ut patet. Rursus considerentur duo triangula B D C, C F B. Quoniam vero recte A D, A F, squales sunt per constructionem , si vi, si auferantur ex ipsis equales
A B, A C,4 es relique B D. & C F, snt equales . Quare duo latera B D , D C, triangul4 B D C , equalia sunt duobus lateribus C F, F B trianguli C F B , utrumque utrique , videlicet B D,ips C F, & D C, ipsi FB, ut pro batum est : Sunt autem & anguli D, & F, contenti dictis
105쪽
lateribus equalibus quales, ut ostensum etiam fuit . Igitura erit angulus DBC, angulo FCB, qualis angulus BCD, angulo C BF. Tam enim priores duo, quam posteriores , eo ualibus opponuntur lateribus , existuntque supra communem basim
Quod si ex totis angulis aequalibus
A la F, A C D , quos squales esse iam
demonstrauimus in prioribus triangu-
D lis) detrahantur anguli equales CBF, BCD, quos itidem in posterioribus
triagulis modo probauimus esse qua lcs h remanebunt anguli ABC, AC B, supra basim B C, equales: Ostensum est autem in posterioribus triangulis , & angulos D B C, F C B, qui quidem sunt infra candem basim B C, ese quales . Igitur & anguli supra basim inter se , & anguli infra eandem inter se sunt equales ; Ac propterea Isoscelium triangulorum qui ad basim sunt anguli, &c . Quod erat demonstrandum. SCHOLIUM. IIAE C proposito fera eriam eis in tria tisis a Milate
sequitur , or angulos supra bis sim inrεr , or angulos infra
106쪽
qtiidem quoniam Campantis non apposust, cati fuit, ut confusa esse videatur, hystisobscura eius demons tio. VERITAS porro huius egeorematis . quoad utramque partem, facile quoqs demon ira
ri potest per suprapostionem, τι la C demonstrata fuit propositio . . N.
Sint ruditiam in tri stilo II ABC, istitera a Hia AB, A C, qua prodacantur quantumsigae et quo E. Dieo iam angulos ABC, ACB , se O hasim B C, ixtisse aequales esse, iam avtius D B C, E C B, infra eaniam basim . Si enim concipiamus mente rei stilum ABC, frian stilo A C B , ira Ct idem triangultim se ins, duo m9
preponi, ita ut recta A B . recta AC, stiperponatur . em in nratim B, in C, ob aqualitatem Iateriam AB, AC. Quo positi, cades recta AC, stipis rectam A B, ob aqualitatem , e Moritatem aviati A s aeqtie stinctum C , in punctum R, incides, propter aquatitatem laurum AC, AB. Quapropter angulus ABC, angulo ACB, Θ aviam DBC, an Io E C B, coumer, R ae proinde tam iEF, qtiam si, im
Z X haepropositione quinta liquet,
omne triangulam aequilateru- esse ae- quiangulum quoque: Hoc en, tres an- gulos cuiuslibet trian Pli aequilateri 6- n je inter se aequales. Sis enim trianaetitam aquilate rum AB C. Otioniam igitur tio latera AB, AC, fiant aeDabab erunt Eo an si B , O C, aquatis . Item quia duo latera AB, B C, sunt aqualia , erunt es anguli C, ct AE aequatis. Quare omnes tres A, B, Gr C, aequales erum. Quod inendendam erat.
107쪽
que angulis illis opposita esse squalia. Non autem mirum ali rei thoi mideri, si Mathema ici interdum contis; tun propositiones, ita ut nunc ex antecedente qui iam concessi coli grper demonstrati vim et oras ahqras , ne vera n Ora ex consequente sol concesso inferant per altam demonstrationem autecedens iilud. vi ab Luclides in fisce dualm proximis pγο- missionibus factam osse non icimus: Non dolet, inqtiam, maderi mirum,qtioniam non semper in resus Mars est scis reciprocan ur antecedens cense Mens. Nam in proposition binecessari , quasses sint propositiones Geometricς , potest interdum editatum esse υniae aliausistrato, αρ ctim Di P ii- cis A amur Quare tunc non poteris conuerri propositio .
plam tale in metum proferam . Demonstrat Exesides propos 1 ς. ius lib. Si trianguis cuius is inam fartis producatur, an tam exteratim maiorgm esse duosm interatis bi ορ- possetis ι In qua quidem p op ositione net D modo an ecedens, se consequens reciprocas aer. Non enim j liatur Usus cultimis recistines υno latere producto, angulas exteratis maior sit sima tis infernis oppostis, guram illam esse resan sim, ctim possit etiam esse qMittit a Atira, mi adpripos a c. Axius lib. offendemin Eodemqne modo mnite ale pro istiones con-tierri nequeunt. Ω am ob rem nec se es, ve nius demonstret
Geometra, opositionem H qtiam contis ni, Loc es ante re iras consequens ilitas reciprociari, antequam ex cons ente concesso rei igat antecedens. Non conuenit oram Etithris omnes propositiones,qus conuertipossunt, sed ens duntaxat, stia m me Ane maxime sndiget: Nos tamen dabimus ope am, ut fere omnes ADG conuerta G, quς aliqtiam uidebis se asse
S E . UT V Reae hae propositione, omne triangulum aequiangulum, id est, cuim omnes anguli sunt
109쪽
THEOR. q. PROPOS. 7. 7 SUPER eadem recta linea, duabus eisdem rectis lineis alis duae rect line
aequales, Utraque Virique , non constituentur , ad aliud atque aliud punctum , ad easdem partes, eosdemque terminOS
cum duabus initio ductis rectis lineis
S U Ρ p Riecta A B,constituantur ad phctum quod-uis C,duae rectae lineae A C , B C. Dico super eandem rectam A B, versus partem eandem C , non posse ad aliud punctum,ut ad D, constitui duas alias rectas lineas, quae sint ,quales lineis A C, B C , utraque utrique , nempe A C, ipsi A D,que eunde habent terminu A; & B C, ipsi B D , quae eundem etiam terminum possident B. Sintcnim, si seri potest, rectae A C, A D, inter se , & rectae B C B D, inter se etiam aequales. Aut igitur puctum D, erit in alterutra rectarum A C, B C, ita ut recta A D,in ipsam rectam A C, vel B D, in ipsam B C,cadat; aut in
110쪽
uiuidi δε B C; aut extra. Sit primo punctum D, in altera rectarum AC, BC, nempe in A C, ut A D, sit pars ipsus A C.Ouoniam igitur rectae A C, AD, eundem terminum R, hatientes dicuntur aequales, erit pars A D, toti A C,s quatis. Quod seri non potest . Sit deinde punctum D , intra tria ultim A B C , & ducta recta C D , producantur rectae B C, I, D, usque ad E, & F. Quoniam igitυr in triargu lo A C D ponuntur latera A C, A D, aequalia a erunt anculi A C D, A D C, si per hasim C D, aequales; Est auiatem angulus A C D, minor angulo DCE; nempe parsiolo: Igitur & angulus A D C, minor erit edidem anguialo D C E. Quare angulus C D F,pars ipsus A D C , multo minor erit eodem a neu lo DCE. Rursus , quia in triangulo B C D,
latera B C B D, po nuntur aequa ia, ς erunt
anstuli CDF,D C F, si1b bas C D,aequales Ostensum autem fuit, quod idem angulus C D F, multo sit mitior angulo D CE.Idena orgo an ulus C D F , D minor est angulo D C E , & ei dom qualis, quod est absordum. Sit postremo punctum
D,ex ra triangulum A B C Aut igitur in tali erit loco una linea super altera cadat ut in priori figura,dum
modo loco D, intelligas C, & loco C , ipsum D ; ex quc
rursus colligetur pars aequalis toti, quod ese λ absurdum . Aut in tali erit loco ut posterio res duet linoe ambiant priores duas, ceu in posteriori figura si modo loco D, iterum in tolligas C, & D, loco C. Quo post , in ideabsurdum incidemuri nempe ansuluD C F,& minorem esse anculo C D E , & ci
dem equat m, ut perspicuum est. Aut de nique punctum D, ita erit extra triangu lum ABC, ut altera linearum posterio rum, nempe A D, secet alteram priorum,
ut ipsam B C . Ducta i itur recta C D, L. B cum in triangulo A C D , latera AC, A D , ponantur aequalia, d erunt anguli A C D, A D C, si Pa