장음표시 사용
131쪽
S I ad aliquam rectam lineam, ad eiusque signum, duae rectae lineae non ad easdem par tes sumptae, angulos ad verticem aequalos se cerint ;ipta rectae lineae in directum sibi inui
S I quatuor rectae lineae ab uno Punc O ex untes binos angulos oppositos inter se aequales fecerint, erunt qua libet duae lineae adueris in rectum sibi, Sc continuum coniuncta.
132쪽
tuor rectis,per a corost. praecedentis propos uisis δεο anutili B A E, BAC, kquales sunt duobtis reotis atque adeo CA, A E. nam essetiant lineam rectam. Eod pacti ostenderis, dum A A, A D, unam recZam efficere lineam. Nam eadem ratione e ni duo anguli SAE , E AD , aDatis Δsbus an suli, DAC. CAB, Quare, mi pratis, concludetur propostum. Petit artus aiatem demonsrat hoc irim ratione duc re ad id, o I i ne it . Nos tamen demons tronem nostram osen suam Asm demonstrationi rure optimo prapo mus . 1 orimi
PROPOS. 16 CVIVSCVN QVE trianguli uno
latere producto, eXternus anguluS Vtrolibet interno, & opposito, maior est.
TRIAN G U LI ABC latus BA, producatur ad
D . Dico angulum externum DAC, maiorem esse inten
no, & opposito ACB, itemque maiorem interno , &opposito ABC. Diuidatur b enim AC, bisariam in E;& ex B,per E, extendatur recta BEF, ita vi F F,ς abscis sa sit aequalis rectae EB; ducatur I que recta F A. Quoniam igitur latera C E, E B, trianguli CEB, aequalia sunt lateribus A E, F F, trianguli A E F , utrumque viri que, per constructionem ; Sunt autem & anguli ad F dictis lateribus comprehensi, a imter se aequales, cum sint circa verticem Ε, & oppositi: Erit . basis C B, aequalis basi AF, & angulus E C B , angulo EAF; Est autem angulus D AC , externus maior angulo EAF , totum videlicet parte . Igitur & externus angulus DAC , maior er4t interno , S opposito angulo ACB. Quod si latus C A, producatur ad G;& AB, diuidatur bifariam in H ; extendaturque recta C HI, ut H I, aequalis sit rectae H C,& ducatur recta I A: demon
strabitur eadem prorsus ratione , angulum externum
GAB, maiorem esse interno angulo , & opposito ABC;
133쪽
Est autem angulus D A C,angulo G AB, aequalis, iam lineae BD, C G, se mutuo 1ecent in A. Igitur & angu lus D A C, maior erit interno & opposito angulo ABC. Eth autem idem angulus D AC, maior quoque ostensus angulo interno , & opposito A C B. Cuiuscunque ergo trianguli uno latere producto, Sc. Quod demonstran
dum erat. NON dixit Euclides, angvium externum D AC, mala
rem esse angialo BAC, interno, qui bi es deinci s ; fed
tam magnitudine superare τί umhbet AC B, ABC. in orno rum , s biqtie oppositorum : quoniam externus angulus aeqtialis potost o se angulo internos i deinceps, quando scilicet eaeternus recitis ops Tuns eram necessiaris is, qtii bi οἱ uoinreps, rectas quoque erit: Potes Θ esse minor, quando nzmirum es
ansultis quoliber interno, Θ opposito Iessi esse maior; hac ratione ab Lemus .
134쪽
igitur Iatren A B, AC semi aequalia, ς erant
Aquatis. Quare cum utem angultis ACD, Θ ADB, aquatis sit avias ABC erit an itis ADB, aqualis avrati A CD, exteretis interno opposito, quod est absurdram, omper sane i c. nopos externtis interno maior sis. Non re plures linea rectae, quam Δa, interse aqtiales, ex A , ad B C,
anguli duobus rectis sunt minores, Omnifariam sumpti.
135쪽
cantur enim duo quaevis latera , nempe CB, CA, ad D, S Ε. Quoniam igitur a angulus A BDseXternus maior est interno & opposto angulo A C B; si addatur communis angulus AB C, herunt duo anguli ABD, ABC, maiores duobus angulis ABC, AC B: ς sed ABD, ABC, aequales sunt duobus rectis . Igitur ABC, ACB, minores sunt duobus rectis. Eadem ratione erunt adiguli CBA,& CAB, minores duobus rectis. Nam cum angulus externus ABD, 3 maior sit angulo C AB, interno es opposito; erunt apposito communi angulo ABC, duo anguli ABD,ABC, maiores duobus angulis C AB , CBA Cum ergo duo illi duobus rectis sint squales, erunt hi alia duo duobus rectis minores . Non secus ostendemus , duos BAC, BCA, ducibus osse rectis minores . Cum enim angulus externus B A E , g maior sit in tcrno Si opposito an ulo BCA ; si apponatur communis angulus B AC, h erunt duo anguli BAE, BAC, duobus aragulis BCA, B AC, maiores t ac pioinde cum illi duoi sint duobus rectis aequales, erunt duo hi minores duobus rectis . Cuiuscunque igitur trianguli , &c. Quod
citi us γ -teis. Non ergo pures perpendi Iares , quam una,
136쪽
Ut EVCLID. GEOM. COROLLARIUM. LC O N S TAT etiam ex his, In omni triangulo, cuius unus angu sfuerit re ius, vel obtusus , re- siquos esse actitos, ceu monuimus desin .a . huius lib. Cum enim per hanc propos. duo quilibet anguli sint duobus reritis minores , necesse es , si unus fuerit re- cIus, vel obtusus , quemcunque reliquorum esse ac Mium, ne duos aricos in triangulo rectis , aut duobus rectis malo res ess, fateamur.
COROLLARIUM. II. S E QVIT V K etiam ex hac propos silinea r
cita cum alia recla angulos inaequales faciat, unum acutum, ct obtusum alterum, lineam perpendicularem ex quovis eius puncto ad aliam illam rectam d musam cadere ad partes acuti anguli. Faciat enim recta A B, cum recta CD, angulos
II inaequales, nempe ABD , iactitum, ABC, obrosum, demit IurqueZ eae nunED A, quocunque auC D , - perperi laris AD. Dico AD, can D desee isd partes a Dij a xii ABD. Nam si non cadis ad partes acuti a tili ABD, c. dat, si feri potest per peducularis A C, ad partes amguli Obtus ABC. I ttir utis an Ii ABC, ACB, ostiarius, ct rectus, in triangulo ABC, misiores sunt 1 rimi. duobus rectis: a sed ct Aosus re lis sunt minores, q/eli absurdum . Aon ergo eae A, perpendicularis ad CD, de quota cadis ad paries is tili obstisi Quare ad partes acuti an ii cadet.
COROLLARII M. III. PARI ratione si ex hac propos. manifestum,
137쪽
omnes angulos trianguli aequilateri, o duos angulos trianguli Isoscetis supra basim esse acutos . i ama cum en quilibet duo in triangulo aequilatero , ct
duo in Joscele supra basinsint inter se aquales' sint
que simultam illa duo , quam hi duobus rectis minores ; erit quilibet ituram recito minor, hoc eri, ac tus . Si enim recesus foret, aut obtusus, essent ambo
vel duobus rediis aequales, aut maiores .
OMNIS trianguli maius latus maiorem angulum subtendit.
IN triangulo ABC, sit latus AC,maius latere AB Dico angulum ABC, sub tensum a maiori latere AC, maiorem esse angulo A C B, qui a minori latere fA B, subtenditur . Nam ex A C , e aus - s. primi. ratur A D , aequalis ipsi A B , & docatur recta B D. Quoniam igitur duo latera AB , AD, aequa lia sunt per construetionem, . erunt anguli ABD,ADB, d s. primi aequales Est autemς angulus ADB, maior angulo ACB. e Ic primi. Igitur es angulus A B D , maior erit angulo ACB Quamobrem cum s angulus totus ABC, maior adhuc is ron. st angulo A B D; erit angulus ABC, multo maior a gulo ACB. Eadem ratione, si latus A C , maius ponatur latere B C. ostendes angulum ABC, maiorem esse angulo B A C ; si nimirum ex C A , abscindatur linea aequalis ipsi C B , Rc. Quare omnis trianguli maius latus maior m angulum subtendit ; Quod demonstrati
A X hoc sequitiar , omnes tres a titis trianguli Scaleni esse unaequales , ut monaimtis desin. I s. huitis
138쪽
lib. Sit enim triangulum Galenum ABC, L cuius maximum quidem latus A C, mis , mum autem BC, ct medium locum habens AR. Dico eiusdem omnes angulos in qu les esse. Cum enim latus A C, ponatur m B c ius latere A Γ, erit,per hanc stropo sangulus B, angulo C, maior . Eadem ratione maior erit angulus C, angulo A. quandoquidemor latus A Γ, latere BC, maius ponitur. Sunt istis tur omnes tres anguli inaequales , maximus quid em B, minimus vero A, ct C, medium locum interutrumque t eris.
THEOR. 12. PROPOS. 19. O MNIS trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur.
IN triangulo ABC, angulus B , ma- ior sit angulo C . Dico latus AC, sub
I tendens maiorem angulum B , maius eses latcre AB, 'uCd angulum minorem C, subtendit. Si enim latus A C, maius non est latere A P erit vel squale illi, vel minus . Si dicatur A C, aecub te ese ipsi A B ,ὴ crit angulus B , aequalis an puto C: Est autem & maior per hypothcs quod est
absurdum . Si vero AC , minus esse dicatur latere AB , erit an aulus B, subici sus a minori latere A C,mi nor angulo C, subtenso a maiore latcre A R ; sonitur autem maior, quod magis ess absurdum . Cum igiturA C latus neque aquale sit lateri A D , ncque minus eo , erit maius . Eadem ratione probabitur , latus A C, maius ese latore S C , si angulus B , maior est e concedatur angulo A . Omnis creto trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur 3 Quod demonstrandum pro
139쪽
rum ex qtiotiis puncto ad reciam quamcunque ducta rum , eam, quae perpense ciliaris ess, minimam Ducatur enim ex ptincto A, ad γ
aha, ctim ex eodem puncti ad ean em rectam sola una perpendicularis duci posset, tr ex Pyotti ad propos. 16.demonstrauimu3 Dico omnium minimam esse A D. Nam in triangulo A E D, cum Λtio anguli A D E, A L D. sint duosi retus minores, pona ,h Muttirque A D Α, recti; erit A A D, acutus. Etiareb multis erit Ditis A E , latere A D . Lodem modo bis frimi. oriense min, omnes ahab re ira maiores esse recta AD: ac proinde perpendicularis AD, omnitim
SI trianguli angulus bifariam sectus suerit, secansque angulum recta linea ad basin dueta in partes inae uales ipsam diuidat; Latera it tum angulum continentia introualia erunt , L maius quidem illud, quod cum maiori basis segmento coincidit, minus vero, quod cum
minori. TRIA NGULI A R C. stiluae B A C , diuidatur bifariam pre V rfrim A II ,qtia fecer hasin E C. in partes ina- quatis, maiusis flamentum si D C. Dico laetis A C, maius