장음표시 사용
121쪽
a quo iubemur exugere super A B, li- sneam ad angulos rectos, seu perpen- λdicularem . A puncto C , sumatur re- Ii
cta C D, icui aequalis auferatur C E.
Deinde super D E, b constituatus D C Etriangulum aequilaterum D E F, atque ex F , ad C , ducatur recta F C, quam dico esse perpendicularem ad A B . Quoniam latera D C, C F, trianguli DCF, aequalia sunt lateribus FC, CF, trianguli FCF,utrumque virique, nempe D C, ipsi E C, per constructionem, &CF, commune ; Est vero & basis D F, basi EF,aequa
lis, ob triangulum aequilaterum :ς Frunt anguli ad C, contenti dictis lateribus, aequales. η Quare dicetur uterque rectus, atque adeo F C, recta , ad A B, perpendicularis. Data igitur recta linea a puncto in ea dato &c. Quod saciendum erat.
E X puncto C, ab indantur utrim e senea aequales C D, C E . Et ex D, Θ E. G sirin ti= dtis arctis secantes me in F . Recta namquὰ desecta F C, Eerit perpendicularis. Demonstratio ἡa C jdem es, qua Euclidis, s modo ducan-
ν retiae D F, E F, qtia aequatis erant, Ropter aquatis circulos ex D, to E, descriptos, Di se intemerant m puncto F. aetio ptinerum dartim m Iinea rectastierit extremum, pro- randa erit tinea in re tam 9 eontis titim , ad partes sum Hi dari , ut ex illo erigatur secundum praxim diariam tinea
ctis A, o B , -buscunque tinea proposita A Bde ban αν tam sentemne,3xam in se me duo harcus ris inresecantes in C , ct D Nam
122쪽
c ducta C D , erit perpendicularis ridA B, hoe os, Deire desos arantis ad E, -lE , fu a uales. Ouod non alit, 'οί alis, A t B suam supra praxim, tineam in dum
les, quippe qui super aqtiatis lases A E, R E , con stant, op-pssantur 'se aequalitas latoribus A C , B C , qua ex C , ad, puncta A, o B, ducerentur.
123쪽
angulus A , est νectas, cum e in semitis A DAE, vi senderem propositione 31. lib. g. ALIAM praxim, quando punctum darum est in exiremo lineae nesen is inscholio propos. gr. ius lib.
S V P E R datam rectam lineam infinitam , a dato puncto , quod in ea non est , perpendicularem rectam de
ctum C,a quo Oporteat lineam pei
pendicularem deducere ad rectarTA Z l NI AB . Centro C , interuallo vero quolibet circulus describatur secans A B , in D , Ε. quoniam interuallum assumptum tantum esse debet,ut transcendat rectam AB: alias eam non secaret Diuisa autem recta D F, b4sariam in f,ducatur recta C F, quam dico perpendicularem esse ad AB. Si enim ducantur C D, C Ε, et unt duo latera D F, F C , trianguli D F C. aequal4a duobus lateribus E F, F C, trianguli, E FC, Vtrumque utrique, per constructionem; est autem & ha-sik C D, basi C E,acqualis , cum hac sint ex centro C, ad circumferentiam Quare di erit angulus D F C, angulo EF C, aequalis , & propterea uterque rectus. Ducta est igitur C F, perpendicularis, quod faciendum erat. PROBZ a postiis Tutriari sanctant lames sinitam. Si
124쪽
Si enim linea esset inita, non pu se semper a puncto rito ex tra is semperpendicularis ad eam de ei. Vistino ita es si B E, O punctα C,non posset ex C, L describi circulas secans B E . in dias f is , describi circulus secans B E , in dias spunctis, quare neq; ex C, perpen- A l ' dicularis duci ad B E . Hac igitur de
ea a seis Eaclides , rectam da iam esse in nitam, hoe es, non habere minanitudinem determinaram, visaltem ad apsam productamperpendi laris possit de duci. Ita enim fit hie,si B F , pVotatatur, donec circusus ex
C.descriptus secet totam B Aoro clam in D, o E, Oe C CENTRO DEO C. ct interualis quos
eodem, describantur δεο arcus secantes re-
125쪽
ita agendia reii Cetro C, ad quod is in uisu secetuν retia
AB, in Δοόm punctis A, B, ex quibus ad maius emerua tam quodcunque, quam A C. GI B C, Mni arcm tam pris,quam infra describara
ha sint, contineant De angulos ad Ε, aequales, mi osmndimmas erant a uti ad F, aequales, ac proinde recti, ένα
Deinde expunc D A, aliquantum eremoto aptincto accoro R, Quo atirem magis distas ni in ter se puncta A B, eo commodius itine is intersectioniam arctitim cognosceruti ali' dtio artin ad inest altam A C. ἀραβ ibantur, cantes Iriores an C, ct D. Nam rheia CD,perpoda cularis eris ad distram rectam A B. S I atitem pancto non prope extremum pla
126쪽
cans A B, in F, perpendictitaris erit ad AB, et Uupra demonstraram es, quando Iunctam A. F D E C. 8γὰρ propo tineam AB.LEU O meis modo nos gerere debeamm, quandostpumetam datiam est taxea mntim extremtim stant, O linea datia ope aeristim extremum, ita ut neque δε ram producere hiaceat, neque duo arcuta commodese interseinepossini in D, in
THEOR. 6. PROPOS. 13. C V M recta linea super rectam
consistens lineam angulos facit, Aut duos rectos, aut duobus rectis aequales efficiet.
' Α Β pCTA linca AB, consistens super recta C D , saciat duos angulos AB C, ABD.l si igitur A B , fuerit perpendicularis ad elo C D, A erunt dicti anguli duo recti si vero
AB, non fuerit perpendicularis,faciet unuquidem angulum obtusum,alterum vcro actitum . Dico igitur ipsos duobus cile rectis aequales . h sducatur enim
B E, edi B , perpendicularis ad C D , ut sint duo anguli E B C E B D,recti. Quonia vero angulus rectus EBD, aequalis est duobus angulis D B A, A Ε Ε, i erunt,appo sto comuni an picto recto E B C,duo recti E B D,Ε B C, tr bus angulis DB A, ABE, EB C,aequales. Rursus quia angulus ABC, duobus an gulus A B E,E B C, aequalis 1l; erunt apposito communi angulo A B D, duo an uti A B C, A B D, tribus angulis D B A, A B E, E B C., Dalcf. scd eisdem his tribus ostendimus, aequales etia se
127쪽
ese duos rectos E B D, EBC; quae autem eidem aequalia, a inter se sunt aequalia . Duo igitur anguli ABC, A B D , aequales sunt duobus rectis EB D, E B Cum ergo recta linea super rectam coiissens lincam,&c. Quod ostendere oportebat.
tur e quidem tantum ηrmus eorum sepra rectam aritiiris, Dant m alter dueperdis .
S I ad aliquam rectam lineam, atqUC ad eius punctum, duς rectae lineς non ad easdem partes ductae eos, qui sunt deinceps , angulos duobus rectis aequales fecerint ; in directum erunt inter se ipsae rectae lineae.
A D punctum C, lineae rectae A B, in diuersas part seductae sint duae rectae CD, CE , sacientes cum Ad I , duos angulos A C D. A C F vel rectos,vel duobus rectis aequales.Dico ipsas C D, C E, inter se esse costitutas in directu, ita ut D C E, si una linea recta.Si enim non est recta D CE; producta D C, ad partes C, in directum , & continuum cadet aut supra C E , ut si recta D C F , aut in ira CE, ut si recta D C G. Si cadit supra , cum A C,consistat super roctam DC F , b fient duo araguli ACD, A C F,duobus rectis aequales;
128쪽
aequales; Ponuntur autem Ze duo angu li A CD, ACE, aequales duobus, rectis , & Omnes recti sunt inter se aequales. Usare duo anguli A CD, A C F,duobus angulis A C D, A C E, erunt aequales . Ablato igitur communi angulo A C D , remanebunt anguli A C F , ACE, inter se aequales , pars & totum , quod est absurdum . Non igitur recta D C, producta cadet supra CE; Sed neque infra cadet ; Eadem enim ratione probarentur anguli ACE, A C G , aequales. Igitur D C, producta eadem efficietur,quae CE; proptereaque, si ad aliquam rectam
lineam, atque ad eius punctum, occ. QIod Gemonstrandum erat. ys T s)e dpo sitis praecedendis eonuersa. In e 'o
btis osse rectis ς alis o In hac oras imon Datum os , HLhan istar dubtas rectas aquatis, recta, D C, E C esse inam limam rectamR E C T E Eues dei adiudis in propositione hae se non ad ea rim partes. Ouoniam ut ait Porphyritis seripsisse, M ad puta Etam ahquod times a data ad eas m panes dua linea ducan P , facisnees ccim data duos angulos uvoltis rectis aquales, qua tamρn non conseristiant unam lineam, eo quod non ad
129쪽
erit recti Quapa C F, etim A C. iacis angialiam A C F, consantem ex recto, is imidio recti;Facit aurem C E, ctim ea d/m A C, an tam ACE, dimidium etiam r/erre Duo igitiast a rogi A C F, A C E, qtios ad ea om paries Deiani re-AD C F. C E, eram A B; g Hos sint ostis rectos Et fames C F,C E, non sunt mna linea recta, propterea quod non sint ducta ad disias paries , sed ad eassem.
SI duae rectae lineae se mutuo secue rint, angulos ad Verticem aequales inter se essicient.
5 Ε C E N T se duae rectae A B , C D , in puncto E,
utcunque . Dico angulos, quos iaciunt ad verticem E , inter se esse aequales, angulum videlicet A E D, angulo B E C,& angulum A F C,angulo B E D. Quoniam recta DE , consistit super rectam AB, b erunt duo anstuli h aso mi A E D,D E B, aequales duobus rectis. Rursus quia recta B E, super rectam C D , consistit, erunt eadem ratione duo anguli C E B, B E D , duobus rectis aequales . Cum
igiturς Omnes recti anguli inter se sint L Ia ron. l
aequales runt duo anquit A E D, DE B , duobus angulis DE B,B E C, aequales. Dempto igitur communi an asgulo D E B, 4 remanebit anquius A E D, an ulo B E C.
aequalis.Eadem ratione confirmabitur, angulos A E C, B E D, inter se aequales esse . Nam duo anuuli A E C . C E B , qui duobus sunt rectis 'acquales, aequales eruntiduobus quoque angulis DEA, B E C,ς qui duobus rectis
sunt aequales . Ablato igitur angulo communi B E C, emanebunt anguli AEC, BED, aequales inter se. Si agitur
130쪽
igitur duac rectae lineae se mutuo secuerint, &c. Qiipd ostendere oportebat.
EVC LID ES colligit ex demonstratione binius theorematis, sex sententia Procli, quoniam alia exoptaria hoc corollarium no habent 2 auas lineas rectasse mutuo secantes e cere ad punctum sectionis quatuor angulos quatuor rectis angulis aequales. Viam in demonstratione offensum fuit, tam duos angulos A E D, ID EN, quam duos A E C, C E B, duobus ese rectis aequales,per I R. propos. Omnes igitur quatuor anguli ad E , cons tituti aequipolunt bis duobus reἱtis a ulis. Quare quatuor rectis aequales existunt .
E AD E A1 ratione colligemus, omnes angulos circa unum er Mempunctum constitutos, quotcunque erant, quatuor duntaxat rectis angulis aequales esse. Si enim ex L, aliae tineae quotlibet e cantur, diuidentur solummodo idi quatuor ad Ε, constituti in muris mas partes,' quae omnes simul sumptie totissuis ade- quantur . Cum ergo illi quatuor anguli aequales sint
quatuor Tectis, ex I. Corollario , erant quoque omnes
ali simulsumpti quatuor tantum rectis aeqtiales . ExqNo peripicuum est, omne patium puncisum aliquod in plano circi inans, aequi ualere quatuor rectis araulis, ut inulti auctores asserunt quia omnes anguli, qui circa illud punctum constitui possunt, quatuor sunt rectis angulis equales. Simili modo constat, quotlibet lineas rectasse inuicem secantes, facere adpunctum spui nis anguilos aequales quatuor rectis . EX