장음표시 사용
161쪽
lis. Sat enim C D , prependictitaris ad A B, rectam, quas in ubiecto ano exi id 15 ssit; se ex C, in aho plano, ad C D, δε-
PROBL. 19. PROPOS. 28. SI in duas rectas lineas recta incides linea externum angulum interno , &opposito, & ad easdem parte S, equale infecerit; Aut internos, & ad easdem partes duobus rectis squales: Parallelae erutinter se ipsae rectae lineae.
I N duas rechris A B, C D, rem incides E F . faciat primo externum angulum FGA, aequalem angulo interno,& opposito ad easdem par tes G H C . Dico rectas A B, C D, ese parallelas Quoniam cnim anati
162쪽
IA M D V D V M pronuntiatum tentamdecimum a Princi iopiam numero reierimus. Cum igitEγ sequens pro 6. I s.ctim m Itis ahis EB ira innitaturi it sens eim a itis de mons xi neqtiear opera Restam erit Etad hoc loco, ex haae nMs demons aris Iheoremas bin, atque pM5lematibus, qui ex eo natIn ratione dependent, Geomerrita demo rarione ressi arri ve in expositione dicti Axibminis polittitistimas. p imo as em Ioco demo aurationem Procli asserimus Delari idem nos pro Ariartim magis accisan, atque evidentim a monserabimus . Proctas igitur, anteqtiam illud iamonstret, Opremi sit. Primum es .
SI ab uno puncto duae redita lineae angulum facientes infinite producantur,ipsarum distantia omnem finitam magnitudinem excedet.
lo F G A , oequalis ponitur angulua
V sy les . Quare lineae AB, C D,ς parallelae erunt. Idem ostendetur , si an gulus externus LGB, aequalis ponatur interno GHD. DEINDE saciat recta EF, angulos internos ex ea
dem parte , nempe A G H, C H G, duobus rectis aequa les Dico rutius rectas AB, C D, esse parallelas . Quo niam enim anguli A GH, C H G, duobus rectis aequa lcs ponuntur; Sunt autem & anguli AGE AGH, H duo bus rectis aequales; Erunt duo anguli AGH,CHG,dum bus angulis AGE, AGH,aequales . Ablato igitur communi angulo AGH,remanebit angulus AGE , externus angulo CΗ , interno,& opposito ad easdem partes aequalis. Quare ut iam ostentum est, crunt rectae AB, C D, parallelae. Idem ostendetur, si duo anguli BGΗ,DHG, duobus rectis ponantur aequales. Si igitur in duas rectas lineas recta incidens linea extornum angulum &c. Quod erat demonstrandum. is primi.b i. promς 27 primi. l
163쪽
Quoniὰ igitur 'nera D, se Ε, p . Aine se iustam, quam F, O Gsirem C puncta E,ΘCotas qsam D, Θ E, ct ira deincos ,s producan γ mose recta tinea Ab R , AC, perspicuum es, extrema earum puncta in nito 'atis interfedis ara, sin tu ipsa pro eantis. Si enim non in iro Vmtio disarant, augeri posset e vim di miri s isti r-linea ipsa viro produci, quod es assin dum, eum ponantur in ire iam esse producta. Quare si dicra tinea AB, AC, Doduc rar in sinite, i aditim di neia eaecedet omnem Mitam dis tiam. Hoepronunciato Usi es se Arissetis lib. i.de coelo, usi demons uir. mundtim non esse infinisum . LIT C D aurem recta A B, AC, qtio Angitis protragam ruri eo magis inter se diuent, moe enim Troiam sine demon-srratione a sumpsit, cum dixit, ptincta D, OE, in proximari raptus intersedi Hare quam F, o G,Item E, CP C, Nus,
quam D, Θ Ε, cte. 9 hac ratione G
pendiculares C E , D E , Da dia i is antias punctoram C, D, a re
AB, metientur, cum sine minima omnium rectartim ex C, D, ad A B, diam iam mi in corosi
propUts Uendimus . Dico C B, maiorem esse, quam D F, ac proinde plus distare rectam AC, A recta A B, inpuncto C, remotiore, quam in puncto propinquiore D. M Enim C B, non es maior, a n D E, erit mes aqualis, mel minor. Sit primiam a Malis, orrectae A E, abscindatur aqualis BF, ita etsptinctum F, cadat mei inter Α, Θ Ε, mel in Ε, GH denique intexE, B; earerque recta F C. Ωtioniam Ui r o Dee AE, BD, 1 aviai AED, dtio ου fateribus FB, BC, tria rati FBC, aequaliasin Wrumque utrique, angulos continent aqtiales , mrpore rectos e a erunt is sisses AD, FC, Oisutili D A E. C F B, inter se aquatra . uistir cum externus gratas C F B, infrens D A E, aquatis e h parat ela exunt AC, FC, quod es assurdiam ctim con ream in C
164쪽
Qv aio 8 duo latera A E, ED, trianguli AED, ostis la tri hin F B, B G, aequaliaiunt, trumque utrique, an uti s o. primi. que continent quales , puta rectos iam is briss AD, FG. viali Ε Λ D. B F G. inter se ae aias. Igifur cum ex bu .primi. remus angulus B F G , interno E A D , quatis sit . ne A C, F G, inter se parallela , quod assur m es, cumse mutuo scens in M. Quocircia B C, ψώ ED, maior erit, cum neque aequalis, neque minor esse posse, mi demons tum es.s E CV N D VM, quod P oestis 'amittit. iusmodi es.
SI duarum parallelarum rectarum linearum alteram secet quaedam recta linea , reliquam
C o Dico rectam E F, pro earin, semctiaram esse quoq; ipsam C D. ΩΛο-niam dua recta G B, G F, inpuncto G , angulum faciunt . pro cantur insta re. excedent omnem finitam di noriam . igitur is diuantiam , quapa yela AB , a parastata C D, diuat, eum hae iuuant ast inita, alias enim non e Mil nea parallela, Quare quando disantia G B, a G F , maiον iam 'erit ea, qua inter paralielm est, necesse es rectam GF, productam semissa rectam CD. Nam Damdsu GF,contis si in imis dia, parastiam minori diuantia a G B, remouebitur,quam C D, ab eadem G B, it ranseat. His statur ita expositis, faciti demon abitur He theorema, quod es apud
elidem, triti decimum pronunriatum.
SI in duas rectas lineas altera recta incidens internos,ad easdemque partes,angulos duobus rectis minores faciat; Duce illae rectae lineae in nite productae sibi matuo incident ad eas partes, ubi sent anguli duobus rectis minores.
165쪽
IN rectas AB, CD, incidem δε-- m E
167쪽
erit, quam diecta A B, hoc es, quam perpendiolaris ex νὰ AL ad Uectam BD, demiisa, cum issexa tinea A E, ad reiactam B D, nunquamperueniat, te demonstratum ea a Nia
SCIO 'ine pium ilitia Pstoeli in tineis rictis Usemissimmum , ct quod facili negotio, omnes demons rationes Eucliadis, qua ex axiomare a 3 .pendent, concedantur, demsnspari posse hoc modo. Contineant dua ratae AB, AC, giatim Α, Θ data se diecta D, cuiusuis magnitudinis. Dico dis fiam V - tacta in AB, AC, in infinitiam I . productariam excia re magnitu-ῶ- D.Nam /x quouispuncto E.
in Vecta A B, sumpto demistatur C F Κad AC, perpendicularis EF , quasi maior fuerit, quam D, consis msmeis non es ma
iam Laber, an preMG principitim iliud Fracti a timi Mnρο-fs ad illud axioma as. demonstrandum , ne principitim in eo demonstrando petatin . Ωtia cum ita snt, sedulo dedi s operam , - illud ipsum Euesidis axiomia demonstraremtis ex ' ijs tam , qua antepropos as primi lib. demonserata fiant. Ante en proposus. Uus ilitas axiomaris clud Euelidem mirus es. Id quod in Euclide μοdam Arabico D m eriam
esse accepi, sed nunquam facta mihi os evia demons it P
168쪽
iliam Ies/ndi, ef si Misae/ Etad irratim atqtie iterum ab eo,Di eum Euetidem Arabietimpositaee , sagitatis. Quare hanc, qua equitis, exculta amin. Primum autem pramittenda quoq; fiant nonnulta, qua licet ad id, quod proponi s Memen raniam requirantur neces, si , multo tamen midensaoγa sunt ae Deiliora Mismate icto Esesidis, ira mi omni dubita tione exclusa, s mum eis assensum Rab e poetatis . Pri-mtimsi Auiti oda.
LINE A, cuius omnia puncta a recta liqnea, quae in eodem cum ea plano existi aequae liter distant, recta est.
a rectri DC, aqualiter distent,iaces, omnes perpendamiare quales fune AD, ΕΗ, FG, EC, ad DC,
demissa aquatis snt, perpendi D H G C cularis enim quatibet, cum eo, initim ex eodem ptincti ad rectam D C, dua artim minima, ex coroII. propos a s. huius lib. dis flantiam puncti, a quo ducta es, metitur. it AE , linea recta. Hoc autem ex de . tinea recta iiDido consare potes. Nam s Omnia puncta tineis A B , a alitis di stant a rocia D C, ex aqtio sua interjacebispuncta , Loc es, sellam in eaptinctiam intremedium ab extremis tum, aut deorsim,mes c, altiellitio desectendo sub titiabit, nis 'tie in ea sextio tim reperiram , da ahatilis semper inter Da puncta extendetis, quemadmodum recta D C. Alioquin non omnia eius puncta aequatim a recta D C , dipantiam salerent, quod es contra 'pothesin . Neque mero cogitatione ap
169쪽
hb. ens tine,Axioma 13. domon abimus, adeo clarem, mi lumine naitirati cognitum se, nemo o fanae mentis illud negare posM.Atit certe citra omnem conrisue si iam es eiusmoia, mi Ionefacitatis ei quiIibet assentiatur, quam illi vixismara II. Euclidis. IDEM primm in linea eis Iari confingis. etiam Knea insereri eis Iarem tineam amsiens, mitis omnias ne aq Iiter a ciresiari disiane,id es, a qua omnes recta in ciretilinem lineam ad aequales avratis incidenses aequales sint, cistularis quoque es s ita ut naruram circia ris lissae. ὰ a.)tiati semper disantia abes, in aer γεmadmotam linea aquatile emper a recta linea di χα naturam tinea recta, mi semper aquidsat, induit, propris eaqtie recra os, mi diaxi . . QVod amem insexa ilia I non Area Amam cis Ja-
remst quoque persere circularis , facile e stendimns, si prius
demonseremtis , rectam ex centro circtili dractiam intere t mcir morentia angulos sinos a ratis, o cinera, rectam, qWaequales ctim circumferensia ara Ios consimat, per comptim transre. Sit igitur eismitis ABCDEF , mitis rem=xm G Dico rectam GC, ex caetro deseram egrare tiam antilos inger
mr circumuens, congrues is δε-
C, tam interni, quam externi inter se congruent, ae proindeae ales erant. Essciat iam recta H A K, aqviatis a titis ad A. Dira eam per em'rem traκ re. Si enim non transeat, ducatνν ex centro G,πὰ A,ν
170쪽
tineam eadentes, efficientes/s angulos aqtiales . ni inter se aquatis,cui modi ne H A, L B, IC, M D, N E, O F. menim ctim,ut demon stratum es re centrum transeant era omnium expunuis Η, L, L M, N, O,in conuexam peri mriam cadentium, minimae s Hoc enim demon Martim es asEvcl. propos. g. lib. 3. qua solum ex prostionibus , quae as. Mitis lib. secedunt, pendet, me iure optimo huc transferri pessio atque ades eorum distantii a stibiecta linea tirculari
metientis Dieo tineam HLIMNO, esse circularem. Cum enim θmnes,Ciproxime Vendimus,so censrum G, transeas,
saltialibus Η Λ, O F, addantis aquatis A G, F G, erunt tota H G, O G, aquatis; eadems Orione omnes afa ex I ea nifera H LI M N O, ad G, tacta aDritis retina ct rectis N G, C G, ct istis se. Ex de . eis It igitur sin/a inflexa circularis es. Quod erat demonstrandumax socprimo,quod praemisimus,sertiistir secuniam, videticet.
S.I recta linea super aliam rectam in trans uersum moueatur , constituens in suo extremo cum ea angulos semper rectos, describet alterum illius extremum lineam quoque rectam a VT si in Hore figura retia A L , ad D C, perpendicula
ris moueartir in transuersum stipeν rectam D C , construens cum ea in ra,semper rectos angulos, hoc est, non titubans, ausvacilians , sed aDabiliter semper incedens , risesset extremum A,rectam Dogiae lineam,
A D F B tib st A B . Constat hoc ex eo, quod primo loco namisimus,propterea quod omnia stincta tineaA B, L scripta aqua iter a recta D I c D C , di ant, nimirum per re- Etam A D. Eae quo β', ipsam lineam re iam osse, rim, is ibi di tam est, estis media ab ex'remis non stibsilient , sed aer liter inter ipsa iaceant, quippe