장음표시 사용
181쪽
THEOR. 21. PROPOS. SO. V AE eidem rectar linear parallele,& inter se sunt parallelae.
SINT rectae A B C D eidem rectae E F, parallelae. Dico&ipsas A B, C D, esse inter se parallelas . Quo niam enim Omnes hae lineae in eodem ponuntur esse plano, Nam propos. s. undecimi libri agetur de lineis in diuersis planis ducta recta GH, iocabit omnes, nimirum AB in I; C D, in Κ;& EF, in L . Quia igitur A J poni tur parallela ipsi EF, - erit an ulus A I L, at erno F L Laequalis . Rursus quia CD, ponitur etiam parallela ipsi EF, erit angu lus D KI, eidem angulo FLI, nem
pe internus eaeterno , vel externus
interno, aequalis . Quare anguli AIL,DKI,ς aequales inter se quo que erunt. Cum igitur sint alterni,d erunt rectae AB,CD,parallelae imter se. Quae igitur eidem rectae lineae parallelae , S inter se sunt parallelae. Quod demon strandum erat. s CHOLIV M. RV G D siqnis distat, dum petra, AI. II, parasielm esse recta C D, is rampn i as non osseparacteim Occurren mes, a/AI, B i, non esse desas linem , sed pa=tes tan metrius tinea. Concipiendam enim es animo, quaslibet para Llas in sinite esseproductas; Consat atitem AI, productam coincidere ctim BI. knamobrempropositio haec generalitis ita poterat proponi .
OV AE eidem rectae lineae parallelae,& inter se sui it parallelmuel certe, quando inter se coe
183쪽
ex Proctis ita etiam per ad punctum, data recta piares pa- tracteia, quam una, cs nsquetint Si enim dua ducerentur, leonuenirent ipse in puncto tho eo des , quod es ab sertam , cum serparalleia inter se,propterea quod uni ct eidem , cui parasseia dreuntur duci, sinapiadiacteia. E X hoe porro problemate, is issio, quod propos as . contis
sur,faciti negotio eostituemus parasse logrammiam, mitis unus angulorum aeqtiata sit dato anguli rectilineo, latera angulum illum comprehenderia datis duabus rectis lineis aqviatia. SINT enim data recta A, B, vsrteat consistiere pa- Ie grammum fabens antitam aqualem dato avias rectilineo C,lateras circa Etam an tam rectis A , B, aqualia. mpta recta D E , Da recta A, sit aequa- -
E G, in G. Quoniam ergo is Iaerea DF. 43 ---εE G, Θ D E,F G, paradela sunt, eae coms mctione ; e Ostias ammtim rete DEGF. Ruod otim exco Luctione, Labeat an tam D, Ang Io dato C, aquatim, o lateria D E, D F, ebea diratim iam. M D . datis rectis A, B, squalia y facetum erit, quodproponitur .PA R I diarione ex sol problemate, o propos as ducemus a puncto extra datam rectam tineam proposto tineam recta. qua cum data recta angulum espicias dato antiti rectilineo aequalem, ut ad propos as .polliciti simus . SIT enim datum ptinertim A. extra retiam B C, O rus angulus recta eus D , πη- δε Dari ex A,adrectam BC,due sere tineam rectam, qua cum ea
184쪽
eas rami- Ia. e angulas HKI, rivulo G, aquatis . Sunt ergo duo aen 6 H, G, trianguli FGH, obtis an lis Η, Κ, trianguli IK H, aquales, terque miri tis, ultim FG, lateri J Η, Qqtiate; cum tamen res quin ta era reliquis lateribtis aqvirilia
a sitis CE F, exteretis interno ABC, ex eademparte oppo G qualis . Cum ergo ct angulus D , an D E, per tons; rei nem sit a tialis , aequales inter se erunt antiti ABC, o
NON midetur amem alientim ostendere hoc loco, recto Eticlidem pro f. 26. me demonseraret aestialuatem laterem in duoόus Dian iis , ex aequalitate duorum an Ioram,
185쪽
ior es angulo B, propte ea qtiod Iartis F Η, maius posiimus Ias/M F G. Distitimus Lane demon rationem Atinc in is cum , propter tineaγtim paracteiaram proprietates , ex Di spondet.
eni EF, asscis eur ex arcu altera a cus GH, aquatis. Si igitur ex A, teres, recta ducastir, , erit
pa Iela tineκ data BC. hae arte. Ex centro A, isti quodvis inre a m d scribat ν arcusserans BC,instincto D; e dem infertiacto ex D, stimatiar Itinctum E , in Orim recta B C: Deinde eodem inristincto M A, Θ E, describamin duo ΛVetis eate est in F. Nam ducta os recta AF, erit pa Iesa recta B C. Quoniam enim propter idem inter-tialium a s stram recta AF, ' a E Q
186쪽
es recta D E, ob idem interuallam; ct recta A D,recta EF, ha perae ducta essen M. Ex his faeire descemus ex p cto extremo ali ius lineκ perpendicularem fineam ad Usam datam tineam, etiamsilinea produci non possit, quod in se otio prapos it. promismus. Sit enim recta AB,eae mitis ex remo puncto B , educendast ad eam perpendicularis. Sumpto ptincto quotiis C , abscindatiar petra C B, squalis C A. iis ex A, o B, ad quo is intertialium duo artus destribantur secantes sese in D, ducaturi recta DC, que ad AB perpendicularis erit, me ad propos o. scripsimus. D8inde φὰρ B ducatur ipsi CD, rartiti, hoc modo . eondumpraxim huius 31. propos proxime e ficatam. i E ae C D, a ci ia recta quan- tamn e CE, des Martir ex B, 1 F ad in ematium CE, aram,quem in F .secet alitis aretis ex E, adi inte alliam CB, descrinus, δε- . t carum, recta B F. Haec namqtie C A is C D . paralieti eris me ex praxi itis propos. IX. liquet. Igitin cum ansutis A C D , atis se inures C B F, si aurem ACD, rectus, is o CBF rocras, ac proinae B F, ad A B,trependicular s erit. SIMIL IT E Rs tri sit poeta AE ptinritim extra ipsam C, in extremos optant in quo recta ilia iacet, duc mus ex C,ad A B , perpendi lapem, neqtie pro rea linea, ne e extenso plano infra rectam A B, me politeiti stiretis ad propos. I a.hoc modo. Stimproptincto D, utcunq; in tinea AB, se abscindanstir utrinquo inter se aquatis DA,DB, ε ex Α, Θ E, ad quo is inremaltam dus a
P l cus describantur secantes sese in
GJ, Ε, ducaturque rena ED, qua ex -- - praxi pro f. Ir. ad AB ripendio B talari, erit Deinde per C, dricatur ipsi DF arat Ia,hoc modeiectidia praxim Luius propos 33 Eae dato puncto C , ad quo is inter Itam dos ibitur artus secans rectam DF,in Fr eodem intertialis ex D, τεrsus C,alitis arcus describatur,qtiem in G, interfecet alius
187쪽
arcus ex C , ad inte alium DF, detineastis . Recta sema ducta ex C, per G, scans A B , ines , parallela erit recta D E, ex praxi Miuspropos31. Duare int proxime scripsemus, C H, ad AL evenia laris . it, scuti Θ ED, ad eandem perpendicularis es.
THEOR. 22. PROPOS. 32. CVIVSCVN QVE trianguli uno latere producto : Externus angulus duo
bus internis,&oppositis est aequalis. Et triaguli tres interni anguli duobus sunt
ad D.Dico primo,angulum externum A C D, aequalem esse duobus internis,& oppcistis simul A,& B. . Ducatur enim ex C, linea C Ε, parallela rectae . A B.Quoniam igitur recta AC,inci Edit in parallelas AB, CE, b erunt an Z gguli althrni A,& ACE, aequales. Rur Usus,quia recta BD , in easdem parat telas incidit, E erit angulus externus D C E, aequalis in terno B. Additis igitur aequalibus A C E, & A, d fiet to ius A C D, qui ex duobus DCE, ACE, componitur ) duobus A , & B , simul aequalis . Quod e1l pro
DIC O fec do , tres angulos internos eiusdem trianguli A,B,& ACB, duobus ese rectis aequales. Cum enim externus angulus A C D, ut Ostensum fuit,aequalis sit duobus internis A,& B;si addatur communis ACB, e erunt duo anguli A C D, A C B, aequales tribus A , B, & A C B: sed duo A C D, AC B. ς aequales sunt duo bus rectis. Igitur de tres interni A, B, AC B, duobus sunt rectis aequales. Quare cuiuscunq; trianguli uno latere producto,&c. Cuod erat demonstrandum .s C AC-
188쪽
SCHOLIV M. C V M damonstratum sit propos, ii . angulum externum e suis triautili maiorem vise m ratibet int no, opposito, kic amem, Gndem externnm ei em internis mal esse amatim, ersi tim es, alterutrum internora, oppos ortis strari ab exereno,Velitio interno angulo opposilo. in epia lonost eo angatas A, internm stipe stir ab angulo exterino A C D. angvis B, interno Et aviam B, inremEs superaturas eodem exirens angulo A C D, g Is A, interno, quandoquidem an Itis A C D, duosis angulis A, o B, es sensus
se loco alis. R Utim,quia demon seratum est propos. I dtios angvios mitistibis trian I, quomodocunque stimus, duobus e se re tis minores, hie mero omnes tres duosvis rectis aequales ess/;m festim est, duos a desolas e fis descere, reliquo an io triangula. Vt in eodem triangrato, o an ti A, o B, a diaostis pretis deficitii anguis A C B. c. OMNE porro rei mitim Labore Des angulas obtis rectis aequatis,'imi omnium,mi refert Etidem ADt agorei . . demύn arunt hac ratione . Sis tria stitam A B C , 're
189쪽
FACILE etiam conuerti poterit prima parapropositionis Euelidis Hoe es, ah mno angulo triantiti lima recta ducatur, ut angulus exteratis aequalis se duostis internis, o v positu, igam tineam esse in di=eolum ipsi latera consituram . Ex C enim in C m,recia, Pp angu .
A C B, bas ales sine duobtis γestis. Igittir is an ii A CD, a primi. 'A C B, stas errant rectis aequaeri. are B C, C D, unam lineam rectam consistitim.
sequiualeant anguli omnes interni cuiuscunq; figurae re stilineae.
D V G T V S modis ex Mepropos. 32. coctigemus, quot nam rectis an titii aequitialeant infreni angia, Atirae mitisti-bet rectilineae, qti vim pri s Lie es.
OMNES anguli figurae rectilineae cuiusuis sunt aequales bis tot rectis angulis, quota ipsa est inter figuras rectilineaS.
HOC est, omnes avtili prima fora rectilinea aquatis sunt bis uni re seo, d es, d Ohtis Vectis, Aviai vero sectinda Laurae recti ea aeqciatis sint his duobus rectis, nempe qua tuor re iis ; An ii nurem tertia figura rectogineae aequales sunt όδε trihus recti sex miticet recis, E se de γeli tiis. Eia autem locum qtiatiget Ati a rediitineri obtinet inter Amas recti nem, quem indicat numerus laterum, seu an forum, dempto b3ntio; qtioniam διὰ linea rictas res iam nsn concludunt , mnde nee rimam eonstitiatine, sed cum minimum tres resia Ian, ad surae constitutionem requirunsur Ex quo D triangulum, quia habet tria latera, totidemque angulos,
190쪽
esse primam into ν illinea, si γH. Niam binario dempto ex tribus, retinquitur u m. Sic rere ora habens Σs. latera seu angulos, inter auras remtineas decimascratia, cum όinaritis subtractus ex 2 o.relinquat a I. Idem indicium de alias f- stipis est habeniam. Itaque Mura contenta 2 o. Iaseribus, cilst decimas tia, fabebit uo. angulos aequitiaeenses 3 c. rectis angulis, nempe bis II. angulos rectis, ut destim s. Ita Ooque omnes Io. anguli ars I s. lateribus Gnteneae, aequiu sunt 16. an iis rectis, eum talis sisti se octaua interre Vineas Praue. Hoc auris hac ratione demonsγabiriar Omnis Arara rectilinea in tot trian la diuidi γ, qtistia ipsa est inter figuras, seu quot ipsa habet an Ios ut aiae, binario dempto. Nam a quoties angulo ipsius ad omnes angulos oppositos dari putant lineae rerer, stam ad duos propinquos angu- In nonpo Otine duci. aeniare in tot trian la diser sitieris, quot ipsa habet nutius, impiis duobus iliis angulis . Sic etides, triangulum nonposse diuidi is alia triangula S, quadran iam mers in duo fera is quinquanoMn in Irias ex angula in quatuor, e. Cum stiriar anguli horum triangu rem confirmat omnes angulos rectilineae figuraepropositae, o omnes anguli iustibis eriantiti aequales ne duoόtis rectis per Martium es omnes an los Aurae cuiusuis recti ineae ast alis essebas tot rectis, in qtior trianetiti diuidi tir, hoe es, qMota ipsa
es inter rectilineas Aurm . Quod quidem manis e perjicitis in propositis minis. S EC V N D V S modus, o sitis vagor an lorum is liber fora rectilinea , hoc es.
OMNES anguli figurae rectilineae cuius-uis,aequales sunt bis tot rectis angulis, deptis quatuo quot ipsa continet latera, seu angulos.
tri s diectis, demptis quastior, nempe sitis rectis.Ira etiam anguli ora confisentis 2 o. farrea aeqvii Iesunt bis a s. angulis rectis, minus quartior, nimiram 3 c. recris angtitis, sec.