장음표시 사용
171쪽
ctim nullum eorum magia avi minis a =ecta C D, abso lator, , aut disr n ver edo , qtiam aliud. Paset hoc etiaex ks, quae ad definitionsm yinea rectae scripsimis . Ctimonim duo puncta D, A, mitibus Dorsis moribus ferantur, quod recta A D. stio motu non titubet,aut vaciliis,sedρα- Ha D, Α, aeque velocis, interint, aequaliterque sempeτ in-isVs distent. describant Pitique lineas mitis , 'm in eadem definitione docti m. Cum ergoptinctam D, νε tam D C, -- feribal, erit quoque Anea A B, ampunctam A, dos ibit, rem Neque et o imaginaγi quis poterit, si linea recta in trans uersum moueritar uniformit, ne tata risulariona Liete aegiliae, duo ptincta rim exirema describise diam ae serenaes interse Iineas 3 sed qualem unum extremum des iste, talem orti/ ab altera extremo describi necesse es, propto τnio memitam , aequabiIemέ morum misi questincti exraemi. Est principium hoc aeque Harem, Θ euidens, atque antece
C G N TIN GIT auram idem omnias in cis IMνi ILnea Nam eodem paeso recta tinea super timam cintilarem in transversim stiens aequabiliter, construens nimirtim instio exfremo cum cis lari aequatis semper angulas , vineta eligando, e doti rendo fitit atque illitici cis larem tineam rartero suo extremo deseribit, ita Σt na Mon eis laris linerim hiectae, a qua ae alit semper disae , Iinea illa des periindunt: qtiemadmodum linea recta A Desuper rectam D C, in transversim ens aeqtiabiliter, constituens nimirum eram ea in stio extremo D , an tis semper rectios, ita mi nusquam uectinet, e MDe iitae de sectendo, aut titubando, Amram rectam A B, aetero extremo A, detineaer adeo me linea dejoripta A B, naturam induae re
qua aequatiter semper recedit. Rectam autem , qua sevis ILneam circtitarem in re uersum
suis aequasitium, describere aia sero stio extremo lineam quoquo circularem, faciti demonstrabi-mm. Moueatur enim in Afra poseriare recta ΠΑ. in transi I
172쪽
ti sum super peripseriam ABCDEF, aequasiliferi Deiam
fmper in extremo A, cum ea angulos aeqtiatis. D co lineam ΗLIMNO,as est o saetremo H, descripsem est eque circularem. Cum enim recta HA. n omni siti mo- sitius imaginar, faciat aequales angulos remperipheria ALCDEF ,st Ct .a triatim in rant m G, cadat, ut si a Vendimus. Qtiare additis rectis aequalilm H A, C F , ad recta, aestiatis A G, F G, sene torae rectae H G, O G , ct cmnis aliae, inter se aequales: Repro seria ex don. eirtuti H L. I-M N O, cirremferentia cis si erit. Qtiod osende m erat. Hino sequitur tertium .
SI ad rectam lineam duae perpendiculare
redita lineae erigantur inter se aequales, quarum extrema puncta per lineam rcctam coniungantur, erit perpendicularis ex quovis puncto huius rectar ad priorem rectam demissa, viriliabet priorum perpendicularivm aequalis.
173쪽
IIII. S I ad rectam lineam duae perpendiculares
redis lineae erigantur inter se aequales, quarum extrema puncta per lineam rectam coniungantur, efficiet haec recta cum utraque perpendicu lari angulum rectum.
AINT ad rictam A B , erectae desae 'repenssim res A C, BD, ae ales inter se , ducatinis reo a C D . II cometrum se an tam C, D, rectum esse. Seeta namque recta A B si nam in E, excitetur in Eod AB, p pendi Iaru E F, iunganturis rectae A F, B F. Ωnoniam igituγ o Ia
D F, Θ tam anguli C, D, quam C F A , D F B , ine, se
proinde is angulm D, qui sus in est ipsi C. Qualis.
174쪽
tues EUCLID. G ΕΟ M. SI in duas rectas lineas alia recta incidens
faciat cum una earum angulum internum T ctum , & cum altera ex eadem parte acutum,
duae illae rectae minus semper inter se distabunt ad eas partes, ubi est angulus acutus, ex altera
vero parte semper inter se magis distabunt.
RECTA lineis A B, in rectas , ' A C, BD, initim faciat anguliae A BD. red tim, Θ B A C acu
F P hi Κ D C,D,productas, magis veroos veri sti E, F, pro cantur. , Duc stir.nim edi B, ad A C,p pendi finis B G, a ex coroli a pro pos. I .suim Iis. adparari aemi anguli B A C, cadet. acpropterea angulaue G B D pars recti avtiti A B D, aestus erit. Demissa ergo ex G, ad B D p pendictitaris G Η, cadet qMoque adpadites anguli actiti G B D, oodem re q. antitas propterea H G C pars Pecti an A B G C, acutus erit. Rursus ergo ductaserpendictitarii H A ad AC, per idem rarast. adpartes arati anguli H G C, cadet, idems a grata I H D, pars recti an ii GH D, acti tis erit. Arque ita deinceps in infinis . soae I,ad B D , prependi laris IK, ducatur, eae Κ, rpendi Iaris Κ C, ad A C, o ex C,au B D, evendi Iaris C D, sec. cadent omnes ad partes an lorum acutorum,m pos aliam. Rucniam igi γ in 'stian D AB G, ianstilus B A G, aetitus es, o AGB, retitis, b eris pectia A B, malast qtiam B Gyc, in trianti Io B G H, recta B G, a nurecto G H B, opposita, maior am GH; O in frianstilo G H I. recta G H , majoγ qtiam HI: Arqtie ira deincepserunt semper rectae, qua Us A B, propiores sim, maiores ijs, qua remotiores sunt, O ntingtiam sinis epit hurtis decrementi perpendi Iaritim, ctim ntin ampossit esse es dueendarem perpentii Ira tim. Qxapropter recta A C in G, minis diri bis a Vetta B L qtiam in A, o in I, minias, qtiam in G, ct in C, minus, quam in I, sec. andoquidem pe=pendi lares A B, G H, IK, CD, oro quae ordinatim δε estini, Gr
175쪽
ostodimus, minimae sint omnium aptinetis A, G, I, C , in
rectam B D, cadentium, se ex coros .pνvos. I s. stitas lib. ID que ac proinde eorundem punctoriam diis piaue ab eadem pecta B D, metiuntur. Constat ergo, retias A C, B D, ad pistes
C, D, productas continenter seri mistis imo se disantes . quod es primum. D V C AT V R di sis a eΣ Α, ad AC, perpendicularis A L , qua an iam os stim B A E , partietur in retram E A L, ct a tum L AB, Loe es, cadet inte= A B, 9 A Eserint angulus A L R, acutus, ctim ambo A B L, A L B. snt
duobus rectis minores, atque A R L, rectus sti ac proinde ansultis A L p , ob sus eris. Eadem ratione perpendicularis L M, ex L, ad B F, et a carie inter L A, L F,facieti angutam L M A, iactitum, se LM E, ositi me Item perpendicularis M M, ad A Ε, precta e et inter Μ L, M E, an stilum M N B, acutum, iis M N F, os, iam consimis. Al- qtie ira deinceps in in iram, eae N ad B F, perpenia laris erigatur N C, ct ex O, ad A E,perpendictitaris GP, Θ eae P, ad B F,perpendictitaris P Ε, Θ ex E, ad AE,perpendi Iaris T F, Θe.diuidem omnes ibi tim angulos ubi ψω, mnatos aliam.Ωtioniam laimr in triangulo A B L, an Itis A B L. Hertis est, Θ A L B, acutus, E erit A L, recta uuaser, quam A B, o, intria D A L M,Nera L M, an Io recto L A M. opposita, maior quam A Ls arque in retranstilo L M N, recta M N,recto angulo M L N, posita, se, quam M L e Alsita deinceps eruntsemper receae, quae ab AB , longius absunt, maiores iis, qua propinquioressum, in infestiam. Ωa-ospem recta A Ε, in M, magis a =ecta B F, Hsabit, quam in A, O in G, magis, am in μην in Ε, magis, qua in G, orc. quando idem perpondiculares AB, ML, O N, E F, c. quae ordinatim augerio resae fuere minimae sunt omniurex Iunctis A,M, O, E, in rectam B F, cadentitim die. L Nido ergo consae, rectas A C, BD,ad partes Ε F, pro claue contineter fieri mesis intres distati quia esset dum. 6 uod sprotermus quispiam lectet estendere sciam A L, quae ad A C rependo Iaris es, non con 'res cum D B, productas consubit segeo misis id, quoddem seriandam proponisAp . Nam linea DB, isera ptineriam B, leo magis a stecta
C A, di sit , quam in puncti B , quandoquidem AL , rid
176쪽
AC estpendi ustis in in iram produeta non concurrit cum D B, cum tamen G B,ad eandem A Corependacularis cram D B, conciareat in B, ct c. N AE C ctim 1pon nulla negotio demons ό uae, in u-
periori rima angulos C, D, esse rectos. Nam sanguius C,
verbi grati non dicarur esse recras, erit via acutus, ves obtusius. S1t primum actims . Quoniam ergo recta C A, ita recta.
A B,C D nridens essest anguium C A B,rectum, C, acurtim, minus semper imis se iasabunt rectae C D, A B, ad partes D , B ,productae, foc e perpendictiliares ex C D, A B, demissae ordinatim minorossent, quam C A, - μο-xime demonstratum es . Minor ergo os perpendicu Iaris D B, etiam C A, quod Hy ab tirdum , cum ponaturaequalis. Non igitur acutus es angulas C. Eademque piatisne neque angulus D, acums erit.Sit deinde angultis C,ob
sis. Quia igittir recta C A, in recta, C D,A Boncidens facit angulum C A B,rectum, C, obtus , magis semper inter se diuabundi rectaὰ C D, A B, ad parari D, B,productae, hoc
es perpendiculapis eae C D n A B, demissae continenter augebuntur,eti proxime senes s. Maior ergo es perpendicularis D B, uam C A,θuod es absurdiam, ctim asstiatis pona tiar. Non igitur obtusus es an Ius C. Lademis ratione nsg anguitis D,obtusus eris, Sed neque acutus es osensus . Rectas i,fur Uterque es, γod erat osendendum. E X his rimon atis,facile iam Axioma II. demon abiistis hoc modo. Vae
SΙ in duas rectas lineas altera recta incidens internos , ad easdemqueparteS angulos duobus reccis minores faciat, due illae rectae lineae in infinitum productae sibi mutuo incident ad eas partes,vb1 siuit anguli duobus rectis mi
177쪽
l sa opimus. Ineidem ergo recta A B, in recta, AC, B D . G ciat internos , ad ea dems panes an Ios ABD, B A C,
duo s rectis min)res. Doco recem A C, B D, ad partes C,D, pro claue coire . Sit enim Arimum aher angulorum, nempe ABD. pactus, ct aher B A C , antistis eo in recta A C. uncto quolibet E, ducatur em eo ad rectam A B,se
ntio aequasses rectae M AB, HI
aliqua tandem pars ultra B , ipunctum eadet, quod sinita γο- ' etcta AB, per eontinuam aMatronem unius eiu em quantitatis absumatur tandem, quandoquidem linea A Fata multiplieari potes ροώβ, timendo i si in A B, continente, st artes aequatio ut Onrim aliquiandos ita lineam A B. supediser id qMod Etielido sequentis a timis in lib. s. est Mi s quent όtis, isi datis duri s magni dinibus inae Λlisus proportionem inter se halentutis, imber prinungiae minoremata multiplicari, donec maiorem peret. Fit in mutio magis, sit si A F.aoqualis absindatur F G, ire rati deinde A G, nonatitem soli A F. aequalis auferatur G H Item toti A PI, non iam soli A F. ves A G,aequalis dematin HI. oesie dein ceps, cadat tandem pars, qua thra punctum B Ita ararergo puneptim I, terminans tertiam duplam in diato exemplo, Misere mitra punctN B. Acripiatur quo g in rerra AC,
178쪽
gulas F, recta ex conseruesione. Igituν-MΚ, FG, aequales interse erunt, Rutilus M, quoque rectus . Ωtiare cum ad F M, excirritas, d perpendiculares aquatis FG, MK, eris per antecedens theorema, araritus G,re Ius . Eurytis eras
o perpraecedens rLeorema,epit etia
B Eum osse: atque ira deinceps ,s. plures essent artes recta AB. Est .L CN aμtim se angulus B , per hypo- ithesin pectas. Igitur recta IC, ET ,' paralyeia suntiae pro- prona B D, no Eta pectam AC, stabissuprastinctum C s
simi, quam A C. Luia igitur externus an lus DBE , in- ρε o B A F, ΘΣ eadsm parte opposses aqualis est, h erant re cra A F, B D, interse Iara Dia. Demittatuγ qtioque ex A,
180쪽
IN parallelas AB,CD, recta incidat E F. Dico primum,angulos alternos AGH,DHG,inter se esse aequa les . Si enim non sunt aequales,st alter,nempe AGH,maior. Quoniam igitur angulus AGH, maior est angulo D H G,s addatur communis angu
F duobus rectis . Igitur duo D HG, BGH, minores sunt duobus rectis. Quare cum sint interni,& ad easdem partes B,& D,ς coibunt lineae AB,CD, ad eas partes, quod est absurdum , cum ponantur esse parallelae . Non est igitur angulus A G Η, maior angulo DFIG: Sed neque minor . Eadem enim ratione ostenderetur, rectas coire ad partes A , &C. Igitur aequales erunt anguli alterni AGH , D HG Eademque est ratio de angulis alternis BGH, CHG. DICO secundo , angulum externum AGE, aequa lem esse interno,& ad easdem partes opposito CH G. Quonia enim angulo BGH,aequalis est alternus C HG, . ut osten1um cst ; & eidem B G H, d aequalis est angulus A GE; Erunt anguli A G E, C H G, s inter se quoque aequales . Eodem modo demonstrabitur,angulum BGE, aequalem esse angulo DΗG. DICO tertio,angulos internos ad easdem partes, AGH,CHG,aequales esse duobus rectis. Quoniam enim ostensum fuit, angulum externum AGE , aequalem esse angulo CHG,interno;si addatur c munis AGH, feruiduo AGE, AGH,duobus CHG, AGH,aequales: Sed duo. AGE,ACH, g aequales sunt duobus rectis. Igitur & duo anguli CHG , AGH, aequales duobus rectis erunt. ΕΟ-dem modo anguli BGH, DHG, duobus erunt rectis ae quales. In parallelas erg rectas lineas recta incidens ii nea, & alternatim angulos &c. Quod erat demonstrati