장음표시 사용
191쪽
ad omnes an los rectae tineae ducamur, escien γ ue reian guia, quot latera, angulo e gura ipsa continet. Cnm igitur aurati cuiuscunque re an ii , aeqtiales sine duobtis rectis. erunt omnes an uti illorum triangulcrum aequales his tot pontis,qtior lateria rimam ambitine. Ar ianguli Oopundem triangulorum circa punctum intra Auram assumptum eo enses non pertinent ad angulos figurae recti tineae propositiae, mi vitae. Quares si auferantur, erunt reliqtii relanguis manstiti eonfusentes an los met proposite, bis quoque tor rectis ae ale demptis iliis circapunctum assumptum construtis, quot Iater mel an los continer figura. Stim aurem smnes icti an tili, otquot snt, circa diemm nratim exso-tes aequatis q. rectis tutummodo, vi coli gimus ex propos. 1 F.
Quamobrem anguli cui De figura bis tot rectis fiant aequatis, astitis quamor, quot ipsa AMO continet an fos,seu latera, quod es propositum .E X Loe porro tundo Mndo ADer singuia latera figura
cuiustiis rectilinea producant γ o Ematim versis eandem partem, omnes angulos externos aquales esse quatuor rocris NADEibet externtis , ct illi deinceps internus, i. aequantur δερ- s rectis atque adeo omnes externi una cum omnibus anternis aequales erunt bis ut rectis, qMor latera, angulorae figura continet Stine istitem osti interni sis tot rectis aequales, mi-ntis quatuor, ut demons uimus S i igitur int ni a re ruri remanesum externi quartior Iantum rectis aeqtiatis, inimisiam destine internis angulis, it interni ct externi tilbis tot recus con ciant, Dot Iatera Auram propositam am- stant. Exemptam. In triangulo quovis, anguli intrent eferirent smul aequales sunt
sex rectis. Co igitur inserni E duoltissius retris aquatis, erunt soli externi aequatis quatuor maxat rectis. quadrilatero , anguli externi--- terni M. Matis sunt octo receis . Cum is Dur infrenisti aquatis sint quartior retris, mi senimas, erunt sisti ex torni quatuor eriam rectis aequales. in pentagonosti qumquangulo , 3 a. imi.
192쪽
gulo, anguli interne is externa sint Aquales a O.rρciis. Ωνο-niam medio intesrni adequantur sex retiis , ut demon ratii-mm , remanebunt externi aquatis quartior ranstim rectis.
Qtia omnia in ano sis figuris conjiciunίur. Eademi e spitis in aliis omnibtis ritiris .
SI pentagoni singula latera producantur in partem utramque, ita ut quaelibet duo extra pentagonum coeant, efficientur quinque anguli ex lateribus coeuntibus aequales duobus so- tum recti S.
E a hac propos 32 .colligitur,tres an sis cuiusli a trimi. niam issi tres, quam aequales stini Hobm angulis rect A. Vnde si ris a tiij mnim trianguli fuserint aquatis Δolim iangulos alterius tria sit , erit
193쪽
LIBER I. II sor reliqum illius reliquo huius aequalis, aequiangulas erunt ipsa triangula.
COROLLARI VM ILCONSTAT etiam, in omni triangulo Uosce
is, cuius aratilus lateribus aequalibus comprehensem reosin fuerit, quemlibet reliquorum esse semire sum. Nam reliqui duo simul conflictant unum reditum,' cum omnes tres sint aequales duobus rectis: ct tertius illa ponatur rectus. si re b cum duo reliqui inter se sint aequales, erit quilibet eorum semirectus . At vero si angulim aequalibi lateribus contentin fuerit obtu fus, quemlibet aliorum os semirecto minorem. Reis qui enim duo simul minores erunt uno recto, Oc. Si
denique dicitus angiam extiterit acutin Utrumque V liquorum maiorem esse semirecto . Quoniam reliqui duo simul maiores erunt uno rectis, s C 's a. primi. - , primi.
COROLLARIVM. III. p E RS PIC WV lis quoque est, quemvis angu
lum tri tili aequilateri esse duin tertias partes onius recti , vel tertiam partem duorum recitorum. Duo enim anguli reddi quibuου aequales sunt tres anguli trianguis aequilateri, diuisi in tres angulos, faciunt duas tertiab partes unim recti.
COROLLARI VM. IIII. LI VET etiam, si ab uno angulo trianguli
aequitatem perpendicularis ad latin cnositum ducatur, conseimi duo triangula scalma, quorum unum quodque habet unum angulum rectum p Pe per m dicularem ς alium ditin tertio partes unius recti, i
tum scilicet, qui estor angulus triaugustaeqvilareri s
194쪽
t reliquum denique tertiam partem unius recti.
RECTAE lineae, quae aequales, ¶llelas lineas ad partes easdem con-; Et ipse aequales, & paralle
, is S IN I rccidi lineae AB, CD,
, V aequales, & parallelae; Ipsas autem -- coniungant ad easdem partes re-
aequales quoque esse , & parallelas . Ducatur enim recta A D . Quoniam igitur A D . incidit in parallelas A B, Us primi. C D,ς crunt angvdi alterni B A D,C D A,aequales Quars cum duo latera B A , A D, trianguli BAD, aequalia sint duobus lateribus C D,D A,trianguli C DA, utrumque utrique , & anguli quoque dictis lateribus inclus. trimi. aequales 3 - erunt bases B D, A C , aequales, & angulus ADB, angulo D A C , aequalis . Cum igitur hi anguli mi. sint alterni inter rectas A C, B D,ς erunt AC, BD, pa-l rallelae: Probatum autem iam fuit, easdem esse aequales.
196쪽
tes anguli DAC, BCA,toti quoque anguli BAD,BCD,
sunt aequales; constat secundum,angulos nimirum Oppostos esse aequales Quoniam vero duo latera AB,BC, trianguli ABC,aequalia sunt duobus lateribus CD,DA, trianguli CDA,utrumq; viriq;,& angulus B,angulo D, aequalis, ut ia ostendimus; di erunt tria gula ABC, CDA, equalia,ideoq; parallelogrammum ABCD,diuisum erit bifaria a diametro AC,quod tertio loco proponebatur. Parallelogrammorum igitur spatiorum squalia sunt inter se,quae ex aduerso &c. Quod ostendendum erat. SCHOLIV M. Ap p Os IT E d is Eiaetidos, solummodo paralie gramma a diametro diuidi 5 ariam,non autem o angulos. In Luaisato enim, R smbs tantaxat anguli etiam histriam ditii nem a diametro At in Dra Altera parte timsiopi, se in Rhomsside inpartes inaquatis . Qua omnia pedi retia erant, sprim ostenderimus , quatuor hasce Aurvi, aetiariarum, Aherapane tingitis, RAombum, RAOmόοLdem, useparallelogramma . Hoc autem demonstrabimus tri bus sequentisin rhe emarabis, quorum primum es.
OMNE quadrilaterum habens latera opposita aequalia, est parallelogrammum.
IAM Irim AD, ct BC, quod es propositum. HINC
198쪽
RYO D si quadrilaterum aliqviod diuida in bifariam
mus ad propos, s .Quod quidem in nulio trapezio seri potis . Tertium Thespema huiusmodi es.
OMNE quadrilaterum habens omnes angulos rectos,est parallelogrammum.
aequales sunt duobus rectis, ctim sine duo recti h Mune A D , B C, pa steti. Eodem modo erunt A B, D C, paralieti a que adeo ARCD, parallelogrammam. quod es o serum. HINC MUtim consar, Quadrarum Ahera parte longitis,esse pariati gramma, cum eorum anguli omnes exsanirem, me hqtiee ex es m de nitionibtis . HIS in fune modum demonseratas, Quadratum scilicet, Altera parte longius, RLomsum , es Rhomίorum , esseta Olti gramma , facile osendemus , aviatis Quadrari, o R ombi. bifariam secari a diametro ; Angulos vero gura Altera pane longioris, Θ Rhomboidis, non bifariam,mt pamia ante montiimus . Sit enim Ltiadratum, τel Rhombus p , ABCD, in qtio diameter AC ΩΗο-
199쪽
IAogrammum . 9 Igitur 9 angultis D A C , maior erit an- stilo B A C. Aeque nurerea aratidis B A D, inqtialiter diuiditur a diametro A C. Eadem est ratis alicram an eum. Quamobrem apposit/ Eraclides in fenia parte Mitis Wopositionis dixit, tam 'arallelogramma bifariam a diametro secari, non autem Θ angulos . EODEM fere pacpo ostendemin, dum diametros in Q Garo, Θ Ahera parre Ioviore aquatis e M At vero in Rhombo,, RAomsside inaequatis, maio- A rem quidem eam, qua angulos acu-
ros, minorem mero eam, qua os ses
Non enim aequales sunt, ia --Balim mire e esset rectas, cum
200쪽
OMNE quadrilaterum , in quo diametri se mutuo bifariam diuidunt, parallelogram-
mum est . IN qtinitia eγο enim A B C D, iamriri A C, B D, se
go e se A Z CD. H V C quoque referri potes hoc Heorema .
RECTA linea secans diametrum parallelogrammi bifariam quomodocunq; , diuidit pa- vallelogrammum bifariam quoque: & recta li