장음표시 사용
212쪽
SINT 'imiam duaeparasielogramma aqualia ABCD. v M E F G H , seuper bases aquales AC, 9 iI . F G, se ad ea dem partes consituta. E D eo ea esse inter easdem parastelas, di hoc est , A D, protractam coiste in di
infra E Η, aut supra. Quo posio sequitu , totum Θ partem
esse aequalia, quemadmo iam in contie fa praecedentis propos-raonis es dictum. θ figura facile commonserat. Inse Pigenda sunt aurem bIUes aquales data in eadem linea rectri R G. SINT foetinis eadem parasse gramma aequalia inureasdem paralystas A H, E G. Dico bases A C. FG, esse aquatis.Si enim altera, nempe A C, dicatis maior, abscindasti=A ED I B I, aqualis recte F G, ct , ducatur
SI duo parallelogramma inter easdem purallelas habeant bases inaequales, illud, cuius basis maior est, maius erit. Et contra si duo parallelogramma sint inaequalia inter easdem parallelas, basis maioris maior erit.
S INT enim in posterio fora parasse gramma B D, F inter D asielas AH,RGsti hasis BC, maior has FG. Dico para re grammum BD ,para Pelogrammo F H, maius esse. μ Auferatur enim recta B I, ipse F G, aqualis, e ducatur se I K, ipsi A B, parasisti Erunt ergo i parasietigramma B Κ, FH, supra aquatis bases B L F G, aquatia . Cum igitur BO, I martis sit, quam B K , erit idem R D , maius, quam F Η. SINT GUtim parat Iogramma BD FH, i, alia, se BD, maius. Dico basim BC, maiorem esse base F G . Nam foret g 3. primi
213쪽
foret aquatis, ' essent parallelograma aqualia, quod es asy γ
dum, tum B D,ponatur maius. Si antem esset mimr , foret parallelogrammum F Η , mritis, quam B o, ut proxime en ii s. quod multo magis es altitatim, chm BD. maius ponam quam F H. Basis ergo B C, cum neq; o mali, sit ipsFG,neqNe mmor,erit maioriquam FG, quod es propositum.
THEOR. 27. PROPOS. 37. TRIANGULA super eadem basi
constituta, & in eisdem parallelis, inter se sunt aequalia.
INTER parallelas AB, CD,& super basin C D
snt constituta duo triangula A CD, BCD. Dicitur au tem triangulum inter duas esse parallelas constitutum , quado basis est pars unius, v angulus Cppositus alteram attingit. Dico ea triangula esse aequalia. Per D , eraimb ducatur D E, parallela rectae A C,& D F, parallela re- BC.ς Erunt igitur parallelogram- T A Fitia A C D E, B C D F, aequalia. Sunt enim super eandem basio CD,& in ter easdem parallelas. Sed horum di Dmidia sunt triangula A CD, BCD; - quod A D, B D, diametri bifariam secent parallelogramma AC DE B C D F . Igitur & triangula A CD, BCD, ' aequalia erunt.Triangula igitur super eadem has,&c. Quod erat demonstrangum. 3 c prima. l
214쪽
o angulus E D G, aqualis fastius es angulo A; erunt is an-
215쪽
216쪽
i, dum erat. Ex his peripit m est, mr Euclidas in propos uo. solum cssi erit in qualitarem basitim, non aurem triautilorum, ut si dem admonuimus.
THEOR. 28. PROPOS. 38. TRIANGULA super aequalibus
basibus constituta, & in eisdem parallelis, inter se sunt aequalia.
INTER parallelas AB,CD,& super aequales bases CF,FD,sint constituta triangula ACE, BFD. Dico ipsa
ia esse aequalia . , Ducatur: enim EG,
C E F D rum i dimidia sint triangula A C Ε, B F D ; , crunt haec inter se aequalia Triangula ergo su per aequalibus basibus, Sc. Quod erat ostendendum.
217쪽
ecta A D, diuidens bifariam Iarus B C, in D . Dido triangulum ABC, bifariam quoque fori. Si enim peΡ Α utatur parasitia ipsi B C, erunt o trian la ABD, A D C, ister easdem parauiam i is super aquatis bases.
A puncto quouis dato in uno latere trianguli propositi lineam rectam ducere, que bifariam secet triangulum datum.
218쪽
A RV OD stunctam D,fuerit in alte
indicae. Demonstratio autem eadem es, si in ea mutetin ii ter a B n C, HIC,in B. Hoc famen nostema mtilio nos uni uersalius proponemus ad finem saeti tib i.
39. THEOR. 29. PROPOS. 39. TRIANGULA aequalia super eadem basi, & ad easdem partes constituta; & in eisdem sunt parallelis.
SINT duo triangula aequalia ABC, DBC, per ean-. -- c dem basin BC 8 ad easdem partes. 'T Dico ipsa esse inter easdem parallesas constituta ,hoc est, rectam d.
E ctam A D , parali clam ese ipsi BC.l 3 r. primi. si enim non es , ducatur ex A, parallela ipsi B C, quae vel cadet 1upra A D, vel infra. Cadat primum supra, qualis est A E, cocatque cum B D,protradia in E,& ducatur recta E C. Quoniam igi- , - , Miltur parallelae sunt A Ε,BC, b erit triangulo ABC,trian gulum s B C, aequale : Est autem per i vpothesm,trian gulum quoq; DBC , aequale eidem triangulo ABC Igi e i. bis tur e erunt triangula D B C, E B C, aequalia, pars & to tum , quod est absurdum . Quod si parallela ducta per A, cadat infra A D,qualis est A l; du ta recta F C, erunt eadem ratiocinatione triangula B F C, B D C, aequalia,pars & totum ; quod est absurdum . Erit igitur A D, parallela ipsi B C. Quare triangula aequalia super eadem baias, &c. Quod osten
219쪽
LINEA recta secans duo trianguli latera bifariam,erit reliquo lateri parallela.
O M N E quadrila erum, quod ab utraque diametro bifariam diuiditur , parallelogram
inter se aquatia erant Enare cum ean
220쪽
m Icti sunt. Non aliter os demus, parallaiaue esse A D. B C. Paralielogrammum igitur ps ABCD. Luod spispo
THEOR. 3 o. PROPOS. 6O. TRIANGULA aequalia super aequalibus basibus, &ad easdem partes constituta; & in eisdem sunt parallelis.sINT duo triangula aequalia A B C , D EF, super bases VH aequales B C,EF, quae in eadem recta linea collocentur ,)& ad
B C E F easdem partes constituta. Dico ea esse in eisdem parallelis, hoc est, rectam ex A,ad D,ductam patallelam ese rectae B F. Si enim non est. cadet parallela ipsi B F,per A, ducta vel supra A D, vel infra. Cadat primum supra, coeatq; cum E D. producta in G, & ducatur recta G F Quoniam igi turparallelae sunt A G , B F, erit triangulum EF G , triangulo A B C,aequalor ponitur autem Sr triangulum DE F,eidem triangulo ABC aequale. Igitur di triangula DEF,GEF, aequalia crut,pars & t tu Quod est absurclud Od si parallela ducta per A , cadat infra A D , qualis est A FI ; ducta recta H F , erunt eadem argumentatione triagula HEF, DEF, qualia,pars & totu,quod est absurdum. Est igitur A D, parallela ipsi B F. Quare triangula aequalia super aequalibus basibus,&c. Quod erat demon
strandum SCHOLIUM. Η C propos o contispris υno modo propos. 3F. Alio a&rem msdo contierit potes, emadmodum propos. 3 6 contient-mtis in eam fustis, nimirum.