장음표시 사용
241쪽
in N, is per N. agatur 'sin B, parat Ia N O, donee in o.
AD datam rectam lineam, dato parallelogrammo constituere aequale triangulum,in d to angulo rectilineo .
242쪽
KD datam rectam lineam, dato rectilineo aequale parallelogrammuni constituere ii dato angulo rectilineo.
QV A M VIS puelides proponat hoc problema ab
solute , non astringendo nos ad certam aliquam rectam lineam datam,ut in praecedenti propos o fecerat, tamequia in sequentibuὴ frequenter usurpatur in data recta
linea, placuit ipsum proponere una cta data recta linea Sit ergo recta data E F ; recti lincum ABC,& da this angulus D . Oportet igitur construere ad datam rectam E F, parallelogrammum aequale rectilineo ABC, quod ha beat angulum aqualem angulo D . Resoluatur rectist neu in triangula A,B,& C. Deinde triangulci A s equale
c R L E F, habens angulum F, angulo D , aequalem . Item super rectam G H ,
243쪽
parallelogrammum GHI Κ, aequale triangulo B , habens angulum G,aequalem angulo D. Item super rectam IK,parallelogrammum IKLΜ, aequale triangulo C, habens angulum K, aequalem angulo D ; Et sic deinceps procedatur, si plura fuerint triangula in dato rectilineos factumq; erit, quod iubetur . Nam tria parallelogramma constructa, quae quidem aequalia sunt rectilineo da to A B C, consciunt totum unum parallelogrammum , quod se demonstratur. Duo anguli E F G, H GK, in ja i. on. ter se sunt aequales , cum uterque aequalis sit angulo D. Addito igitur communi angulo F G H,crunt duo angu li E F G, F G H, b qui duobus rectis aequivalent, e sequa' os primi
les duobus angulis H G Κ,F G H,ideoq; hi anguli duo- ὰ non
bus etiam rectis aequales erunt. 4 Quare F G, GK, Vnam dio primi. trectam lineam efficient. Eadem ratione Ostendemus, E H, H I vnam rectam lineam csficere, propterea quod duo anguli E H G, HI Κ, aequales inter se sunt, cum ἡ . h=imi.
sint aequales oppositis angulis aequalibus EFG , HGK θ ρf & duo an illi HI K, I H G , duobus sunt rectis a qua ' s s. rimi. les , &c. Cum igitur E I,F Κ, sint parallelae; 4 Itemque es,. lΕ F, I K,quod utraque parallela sit rinae H G ; Parallelograminum erit E F K I. Eodem modo demonstrabitur, parallelogrammum IK L M,adiunctum parallelo grammo F F K I, constituere totum unum parallel grammum EF LM. Ad datam ergo rectam lineam EF, dato rectilineo ABC, constituimus aequale parallelo graminum EF LM, habens angulum F , aequalem an gulo D,dato . Quod erat officiendum . SCHOLIVM PARI ratione, propo tis qxorcunq; recti ineis, constitue-mtis iliti parallelogrammtim aDati, si omnia resiman in intrians Ia, quibus equaria pa Eo mamma exhibeantu tagulis sutila, per propos. - . veluti octam es in hoc preMe-
mare Nam cum omnea saecparastelogramma esciana unam
parrige grammum, iri hic demonseria mole, consisti merat parasto uommum aequati re Hliscis propositis. Vis quis
244쪽
resoluaris in friangula A, Θ B, vult', triangulis A,B,C, singula parallatigramma EG, GAIL, super rectas EF, HG, IK, iuxta anem stilus problematis, a alia consituantur, εα propos . . erit constructum paralieis ammtim rotum E F L M, aquati duobus rectilineis AB , ct C . Et sc dὸ pluribus. P R A XI S autem suim problematis ex praxi praecedentis propos apim repetita petenda es. HV C referri poterit ostima utilissimum ex petitaris , quod nos tamen alia ratione , is brevitori demonstriaόimus, in stinc modum.
DATIS duobus rectilineis inaequalibus,
excessum maioris supra minus inquirere.
SIT data recta A B , super quam oporteat quadram tum describere . Ex A,& B, h educantur A D, B C, perpendiculares ad AB,sintque ipsi A B,aequales, &conne ctatur recta CD. Dico ABCD, esse quadratum. Cum
245쪽
enim anguli A &B,snt recti, erut AD, mn C , patallelae t sunt autem S aequales, VCquod utraque aequalis sit ipsi A B. Igitur h&AB, DC, parallelae sunt Zo aequales:& ideo parallelogrammum es ABCD,in qu ,cum AD, DC, CB, aequales sint ipsi A BA B,omnes quatuor lineae aequales existunt: Sunt autem 3c omnes quatuor anguli recti, cum C , & D,ς aequales sint oppositis rectis A,& B. Quadratu igitur est ABCD, ex definitione ; Ac proinde a data recta linea quadra tum descripsimus. Quod faciendum erat.
LINEARUM aequalium aequalia sit ratquadrata& quadratorum aequalium aequaleS sunt lineae.
246쪽
A s aeram igitur quadrata ABDE, B C F G.
i, B C, o c. Quod es propositum .
sCHOLIUM. POSSENT hac omnia multo Metitas notari per Imprepositionem quadrati unitis super aliud. Nam si linea snt aquales , si una alterisuperponatur, congraent ipsa inter se. Cum ergo anguli sint aequales , nempe recti, conuenient quoque i inters, ideoέ torum quadrastim toti quadrato congruet. Quod quadrata sint aequalia, Murtient ipsa imter se,propter aquatitatem anguIoram . Igitur linearajias et m quadratum alio maius esset
P R A XI S autem huius problematia peroratis es . Si
namque ad datam rectam A B, in aetera extremorum, ut in
A, erigamr perpendlictitaris A D, si data recta AB, Aqualis, is ex B, D, ad intertialium ei dem A B , δεο iarim δε- fcribantu, sese in C, in insecantes, tangantur erecta B C, DC, conseructa eris quadratia. NA A BCD, cti ex co fructionest fgura a alia Iasertim, atqtia adeo Iatera opposita ab I aequalia, parati logrammiam erit, ψ ad initati f- es. imi. iij propos 3 .demonserati tis . Exsente ergo avtiti A , rei s s .primi. emn: is B, D,re Ii, necnon si oppositus angulus C, c.
247쪽
IN rectangulis triangulis, quadratu, quod a latere rectum angulum subtendente describitur, aequale est eis, quae a lateribus rectum angulum continentibus describuntur , quadrati S.
descriptum super latus λ α κB C,quod angulo recto opponitur , aequale esse duobus quadratis ABFG, ACHI quae super alia duci latera sunt descripta,sive haec duo latera aequalia sint, siue insequalia. Ducatur enim recta A K, s parallela ipsi B E, vel ip-s CD, 1ecans BC,in L,& iungantur rectae AD, AE, CF, BH. Et quia duo anguli BAC , B AG , sunt recti, e eruti l .primi rectae G A, A C, una linea recta ; eooemque modo IA, A B,una recta linea erunt. Rursus quia anguli A B F , CBE, sunt aequales,cum sint recti, si addatur communis angulus A B C , d fiet totus angulus C B F toti angulo AE a ran. ABF, aequalis;similiterque totus angulus B C H , totiangulo A C D. Quoniam igitur duo latera A B B E, trianguli ABE,aequalia sunt duobus lateribus F B, B C, trianguli F B C, utrumque virique,ut constat ex definitione quadrati: Sunt autem & anguli ABE, F BC, co tenti hisce lateribus aequales . ut ostendimus ; e Erunt DV7 . triangula ABE,FBC, aequalia.Fst autem quadrature,seu parallelogrammum AB F G s duplum trianguli F B C , a primi cum sint inter parallelas BF, CG, & super eandem basin B F: Et parallelogrammum B EXL , duplum trianguli
248쪽
et , 3 ABE, quod snt inter, o I parallelas B AK rrv iuper eandem basti
aequalia est e quadratum A C HI, & parallelograminum C D K L. ι Erunt enim rursus triangula A CD , H CB, aequalia,ideoque eorum dupla, parallelogrammum vi delicet CDKL,& quadratum ACHI, aequalia erunt . Quamobrem totum quadratum B C D E, quod componitur ex duobus parallelograminis BE KL, CD KL, aequale est duobus quadratis A B F G AC HI. In re
249쪽
illud alijs iij, demons ripust, mariati aliquantNIA con uctione Dod Prierarius ne proportionibus seri posse negauit. lSit ergo rurseus Irin D ABC, cssius angulus BAC, rectatissit,
paraIeia agatur coeuntes in F, G Et quia in parallelogrammis CD, RE,*ram Iare DF, FG,
oppositis tauristis A C, A D , qtiam latera L G, GE Meribus o siis AB , AE, qualia sunt, erit mirumque paraltilogrammum aquilat rum Sed is aviati omnes recti sunt. V Nam F, G, oppostis re is D A C , E AB quatissunt, ideo I rem Anguli atitem C, D, E, E,rcia tint,p inertiis C, D, ctim recto DAC, Θ mireris, E, F, eum diecto FAB, ς aequatis sit duobus rectis . Luadriata ergo sint CD, RE, Iaterum A C, AB. Prod Ass etiam Iarerutis FD, GE, donec conueniam in H, erigantur in B, C, ad B C, perpendiculares ET, C Sintiantes GH, FH, in I, K, itingatum recta IK. Et quia, si a rectis angulis ITC, AB G, auferatur commianis angulas III, Veliqui ABC,GII, aqua-
BC, cum quartior eius Iatera m aqualia,'omnes angus recti, h quod antiti I, K, oppositis rectis C,B, aquales t. Dico