장음표시 사용
271쪽
cum in Vehus Geometricis, eum in stimanis commerciis. Nam
stir di, sequos dicunt se es, qui ncilis modo exprimi possum ;
is odis , F radices semeraptim non quadratorum, cusnon bicorum, quae ne epis Diunnam postentiam in numeris possunt exhiberi, quod hac res compadiectionem implicet, mi Philosophi, atqtie I seo si D)-n γ. Q s quid admis abilius ' uis enim credat, per demon ationem scapi osse, quid
producatur ex Orica quadrata ηtimeri I. rid radicem quadratais numeri u g. adiectis, ctim utrae ih radia incognitiat,
se mila ratione e mimi queat . odilia paulo minis se ,
272쪽
quansitas cuiusuis trianguli exquisiissime cognoscitur, ex qua cognitione raros dimen o omniam magnitudinum fuit, at dimanat. Fosremὸ ωIrima vos. ius 55. omnem figuram rectihmam irregularem, vel etiam plures , ad quadratiam aequale mira facilitate re cit. Vt vere auritis drci merea tir te liber, ctim mole quidemst perexigutis tilitates etero conrinoat prope in itas.
PROBL. I. PROPOS. I. SI fuerint duae rectae lineae, seceturq; ipsarum altera in quotcunque segmenta: Rectangulum comprehensum sub illis duabus rectis lineis, aequale est eis, quae sub insecta, & quolibet segmento
rum comprehenduntur rectangulis.
SINT duae rectae A,&BC, quarum BC, secetur quomodocunque in quotlibet segmenta B D, D E, F C. Dico rectangulum sub A ,δe B C, comprehensum aequa te esse omnibus rectangulis simul sumptis, quae sub linea indiuisa A,& quolibet segmento coprehenduntur, nempe rectangulo sub A, & B D; Item sub A , & D E ; Item sub A, E C,comprehenso. G 0 1 s Rectangulum enimi , j i hendatur sub
l l l l G B , aequalis sit rectae A . Quod qui
l. Je dem set,si erigantur ad B C,duq pcr-M E Y pendieularcs B G,C F, aequales rectae A , ducaturque recta F G. Nam rectae B G,C F,, parallelae erunt , ob rectos angulos B, C : Sed& aequales inter se sunt, quod utraque rectae A, aequalis ponatur.Igitur E erunt quoq; GF,BC,parallelae & aequales inter se:ac proinde rectangulum erit B F,contentum sub A siue G B, & B C,ex desin. i. huius lib. Deinde ex
D,& E,ducantur rectae D IJ, EI, Parallelae ipsi B G, vel
273쪽
C F. Itaque D H , EI, cum parallelae sint ips B G, , in
ter se quoque parallelae erunt.Rursus e dem,cum ex Co-
structione parallelogramma sint B H,B I,b aequales erutrectae BG, ac propterea rectae A. Quoniam igitur recta B in aequalis est rectae A, erit rectangulum B H , com prehensum sub insecta linea A,& segmento B, D Eadem ratione erit rectangulum DI, comprehensum sub Aes&segmento D E Item rectangulum E F, sub A,& 1egmento E C. Quare cum rectangula B H, D I, E F , aequalia sint toti rectangulo B F ; perspicuum est, rectangulum comprehensum sub A, &B C, aequale esse rectangulis omnibus, quae sub A, & segmentis B D, D E, E C, comprehenduntur . Si ergo fuerint duae rectae tineae, seceturqS ipsarum altera, &c. Quod erat essendendum.
O N I Lb. s. vos. I . decem priora theorema ea somnia Mitis Iibri, quae Euclides tineis accommodat, in moris etiam demons L s, s dividantiar, τe tinea; non abs γε fuerit, breuiter niam is apsticare ea, qtie ptari s verbis de Iriris sit demoti antur, prasertim ciam multi iciatio numeri initis in alterum resondeat δε tai mnim Inea in al- seram , ut jupra diximus. Itaque propositis diaostis n- is quibuscunq9 - 1 o.disi mr posterior in tres partes s. s. di a. Dico co. meram productum ex ue in io. aqualem esse reastis numeris 3 o. II. O ra.qui ex mtiltiplicatione c.in, ν3 . agignuntur .id quod perspicuum es. DEMONSTRAT Loe Deo et depictis Commandianus Δο alia theoremata, quae iam sequuntur.
SI fuerint due rediae lineae,secenturquo a bae in quotcunque segmenta : Rectangulusncomprehensum sub illis duabus rectis lineis, aequale est eis , quae sub singulis segmentis
unius,& quolibet segmentorum alteriu s continentur rectangulis.
274쪽
JE R - Η C, continentiar Co leatur re Fangu
S I sint duae restie lineae, seceraturque ambae viamque:Reifrangulum comprehensium sab illis duabus reditis lineis , una cum recitangulassib una parte unius, & una parte alterius comprehensi, aequale est eis, quae sub totis lineis, &dictis partibus mutuo continentur, rectangulis, una cum reditangulo sub reliquis partibus cornprehensio.
275쪽
AG, Des, sub AB, EC; AC, AD; DB, Ε, compresensis aqualia. Qtiod es propositum . IN meris etiam sat eadem p spicua stim. Propositis
Io. numerum prodactum ex I s. in X. una cum II. numero pro ecto G 3.in c. aequalem esse tribuε numeri, 6 c. a . IV.
qui producuntur ex I o. in o. ex R. in 3. c, ex retiqua parte . in retiquam partem s. cum mirobiqtie essiciant ἐν sy. etei Meorema a. Federici optabas .
THEOR. a. PROPOS. 2. SI recta linea secta sit utcunque: Rectangula, quae sub tota, & quolibet segmentorum comprehenduntur, aequalia
sunt ei, quod a tota fit, quadrato.
RECTA linea A B, diuidatur utcunque in C,duas in partes. Dico duo recta gula comprehensa sub tota A segmentis A C, C B, simul sumpta , aequalia esset R quadrato
276쪽
ς quadrato totius lineae A B . Describa . M tur enim A D , quadratum lineae A B, S ex C , ducatur C F , parallela rectae 3 primi. A E vel B D , quae . sequalis erit recta, , a A E. hoc est, rectae A B, cui aequalis est ' C recta AE, ex definitione quadrati. Quoniam igitur recta AE , aequalis est recte
S: segmeto AC similiter crit rectangulu CD coprelie- sum sub tota AB , & segmento C B . Quare cum re ctangula AF, C D, aequalia sint quadrato AD, perspi cuum est, rectangula comprehensa sub AB, & segmentis
linea secta 1it vicunque,&c.Quod demonstrandum erat. ALITER . Sumatur recta D, aequalis rectae A B λ C is QIoniam igitur AB, diuisa est in -- ci C,erit rectangulum comprehen D ---ε sum sub insecta D, & recta A B, s isendi. soc quadratum recte AB, i aequale duobus rectangulis quae comprehcduntur sub D, insecta, hoc est,sub AB,& singulis segmcntis AC,CB. quod est propositum. s CHOLIV M. CLY A IN QV A M Etiotides frandum sol theorema G u tu proponat de linea recta diu fu in as t -- F mmmodo partes incunque, idem ramen ei dem medbs demon abitur, si tinea dισι datur in Dotcunt panes, et i ex his I ris manifessum es. In numeris mero idem A c DEB perficitur hoc modo. Numerus 1 s. ditiastis sit in duas partes r. 93.Dico numeros o. C T ET 3 o. qui producuntur ex multipli
festim s. Simili mori merus i o diuidatin inplures partes s. a. c. 9 I. erant numeri 3 o. a o. o. θ I o. genita ex I o. in s a-9 1. aquales ros. quadrato ipsius numori 1 s. SIMI II modo rimoninat hoc loco Federitus Commandrius hoc ileorema.
277쪽
SI linea recta secetur in quotcunq; segme ta : Quadratum, quod a tota fit,aequale est eis, quae sub singulis segmentis, & quolibet segmento comprehenduntur, rectangulis.
I N ntimeris idem es mrita sum . Si enim numerus I s. cui stir in a. q. s erit Iss. quadrastis io itis A qtiatis has no-tiem umeris M. CI O .s,1 3,rs.s3. 23. Di ex singlitis partibus a. p. 3. in 'tiamlibet partium 2.3. 1. procreantur, et υε sumam est.
SI recta linea secta sit utcunq;: Rectangulum sub tota, & uno segmentorii comprehensum, aequale est & illi , quod sub segmentis comprehenditur, rectan-
278쪽
gulo, & illi, quod a priaedicto segmento
C η Dico rectangulum compreC hensum sub tota AB. &viro uis segmento, ut A C, siue hoc segmentum maius sit, siue minus aequale esse rectangulo sub segmentis AC, CB,compreheω, & quadrato prioris segmenti assumpti AC. Constituatur enim quadratum dicti segmenti AC quod sit AD: Si ex B,educatur BF arallela ipsi AE . donec coeat cum E D , pro tracta in F Quoniam igitur ΑΕ,recta rectae AC, aequalis est,ex quadrati desinitionc;erit rectangulum AF, C prehensum sub tota AB,& segmento A C. Rursus, quia recta C D,eadem ratione aequalis est rectae AC ; erit rectangulum C F , comprehensum sub segmentis A C, &C B. Cum igitur rectangulum A F, aequale sit quadrato AD,& rectangulo CF; liquido constat,rectangulum sub AB, tota,& segmento AC, comprehensum, esse aequale rectangulo comprehenso sub segmentis A C , C B , &quadrato praedicti segmenti AC.Itaque si recta linea secta sit utcunq; , &c. Quod erat ostendendum . ALITER. Accipiatur recta D, aequalis segmento. C AC. igitur recta AB. diuisa δει---ἡ est in C, erit rectangulum com- Σ - prehensum sub D,& AB, hoc est, R Ide i. sub AB, & AC, , aequale rectan
sub D Se A C,hoc est,quadrato segmenti A C. Quod est propositum. SCHOLIV M.
279쪽
ratione erit numeras I o.procreatus ex Io .in 3 quatis num
ro Ir. prodatao ex s.m .simul cum s. quadrato praedicti numeri 3..
S I recta linea secta sit utcunq;: Quadratum , quod a tota describitur , aequale est & illis, quae a segmentis describuntur, quadratis,& ei, quod bis sub segmen
tis comprehenditur, rectan gulo.
in C.Dico quadratu totius recte A B . aequale esse quadratis segmentorum A C, CB, &rectangulo comprehenso Gias bis sub segmentis AC CB. Describa- tur .n super A B, quadratu AD. duca- x C Rturque diameter BE Deinde ex C agatur C F, parallela rectae B D, secans diametrum in G puncto aer quod rursus ducatur H f,parallela rectae AB Eritque quadratum A D, diuisum in quatuor parallelogramma. Quoniam igitur trianguli A B E . duo latera AB, AE, aequalia sunt ;* erunt duo anguli A B E. A E B . aequales t Atqui ,h tres anguli ABE. AEL, BAE, trianguli ABE. duobus irectis si in t aequales,& BAE. rectus est . Rel qui ergo duo anguli ABE, AEB. semirota erunt. Eadem ratione ostendes angulos DBE, DEB ,semirectos esse Quod etiam constat ex ijs,qhiae ad 34.propos.lib I .demonstrauimus. Na. ut ibi ostensum est,dianacter B Ediuidit angulos rectos A B D . A E O . bisariam .Quia ergo anguli quoque tres trianguli E F G. aequa Ies sunt duobus rectis,& angulus, EFG, rectus est 4 cum sit aequalis recto D. externus i ter nec non F E G, Ostensus semirectus ; erit & reliquus E G F, semirectus ; ideoque aequalis angulo F E G. R et Quare
280쪽
Quare R aequalia erunt latera E F, Σ F G : quae cum sint l, aequalia oppositis lateribus GH, H E, erit parallelo Ill G li graminum F H, quadratum, cum omα nia eius latera sint aequalia, & omnes A C B anguli recti ; propterea quod existente uno angulo recto, nempe F E H, vel F, in parallelogram O FH. Omnes quatuor recti sunt, ut ad desn. 1. huiuslib monstrauimus. Eadem ratione quadratum erit C I. Quamobrcm C I F H,quadrata sunt segmentorum AC, CB, quod latus H G, d aequale sit rectae A Rectangu
la quoque A G, D G, comprehensa erunt sub segmentis AC, CB,propterea quod CG, GΙ, quales sunt rectet CB, ob quadratum Chia F G, aequalis rectae G H , ob quadratum F H, hoc est. ἡ rectae AC.Quocirca cum quadra tum A D. aequale sit quadratis C I, F Η, & rectangulis A G, D G; constat quadratum A D, totius lineae A B, aequato osse quadratis segmentorum AC, CB, & rcctan gulo comprehenso sub eisdem segmentis A C, C B. bis sumpto . 1gitur si recta linea secta sit utcunquc, quadra tum , quod a tota describitur, &c. Quod demonstran
ALITER. Quoniam recta AB, diuisa est in C, e erit quadratum totius A B, aequale rectangulis, quae sub totac AB,& scgmentis AC, CB,compre i hcnduntur : Rectangulum autem. J-i ' sub AB, AC, conprehonsum, L aequale est rectangulo comprehenso sub A C , C B , &quadrato segmenti AC: Item rectangulum sub AB CB, comprehensum,aequale est rectangulo sub CB,AC, comprehenio,& quadrato segmenti C B . Igitur quadratum rcctς AB, quale etiam cst quadratis segmentorum AC, CB,&rectangulis sub AC, CB,& sub CB, AC. Quod est propositum.
COROLLARIUM. LHINC manifestam est, parasse gramma cis ca diametram quadrati ese quadrata.