장음표시 사용
261쪽
ςonnectaturque recta A D. oniam igitur in triangulo ABD, angulus ABD,xectus est; erit 1 quadratum rectae A D , aequale quadratis Arectarum B A,BD: Est autem quadratum Arectae BD, quadrato rectae BC, aequalς ,
ob linearum aequalitatem . Quare qua- A Cdratum rectae AD, quadratis rectarum BA, BC, aequale erit. Cum ergo quadratum rectae AC, eisdem quadratis rectarum B A, B C, a quale ponatur ;b erunt quadrata rectarum A D, A C, inter se aequalia, ac propterea & rectar ipsae A D, A C,aequales . Quoniam
ioitur latera B A , B D, trianguli A B D , aequalia sunt lateribus B A, B C, trianguli A BC; & basis AD,ostensa est aequalis basi AC;ς erunt anguli ABD, ABC,
aequales : Est autem angulus A B D,ex constructione re ctus . Igitur & angulus A B C, rectus erit.Si igitur qua dratum, quod ab uno laterum trianguli describitur, &c. Quod demonstrandum erat. SCHOLIUM CONVERS V M es auetem i eorema foc pracedensas theoremaris 'thagorici, mi persimum es .
262쪽
' lorum illis lateribus comprehens utri Vbi nos conclusimus etiam aequalitatem reliquorum angulorum, taque triangula probauimus esse aequalia. TERTIO, cam duo latera duobus lateribus sunt aequalia, utrumque utrique, comprehendunt autem angulos inaequales , ostendit basim maiori angulo oppositum esse maiorem base minori angulo opposita. V ARTO , cum duo latera duobus lateribus aequalia sunt,utrumque viriq;, at bases inaequales, b demonstrauit angulum maiori basi oppositum este maiorem angulo minori basi opposito.
QUINTO, quando duo anguli duobus
angulis aequales sint, uterque utrique,& unum latus uni lateri aequale, siue quod aequalibus angulis adiacet, siue quod un1 aequalium angulorum opponitur, ς probauit reliqua latera unius reliquis sateribus alterius esse aequalia, &reliquum angulum reliquo angulo. Vbinos docuimus sequi etiam, tota triangula esse equalia.
SEXTO d demonstrauit, duo triangula super eandem basin, & inter easdem parallelas
263쪽
NONO denique probauit,duo triangula aequalia super aequales bases in eadem linea, in eandemq; partem constituta, esse inter easdem
parallelaS. A T Q his modis argumentandi in duobus triangulis propositis uniuersa fere Geometria niti
videtur , ut promerea diligenter memori e mandandi sint. Quemadmodum autem a propos. 26. in cholio prop0.3 I. exclusimus duas comparationes, qisam do nimirum duo anguli duobus angulis aequales sunt, est visum latus uri lateri aequale , non quidem , quod aequalibus adiacet angulis, vel quod uni aequatium angulorum opponitur in utroque triangulo; sed quod in uno quidem angulis aequalibus adiacet, in
altero vero uni aequalium angulorum opponitur rvel quod in uno opponitur uni aequalium angulorum, in altero vero alteri aequaliam angulorum: Quem admodum , inquam , duas hasce comparationes exclusimus, quod ex ira non sequatur reliquorum lat rum aequalitas, ut in scholio propos 3I. demonHrauimus: Ita quoque a propos. o. excludenda sunt tres comparationes, ex qui 3 ntillo modo inferripotes basium aequalitas. P RIM V V enim quando duo latera duobus lateribus aequalia sunt, utrumque utrique, unusanoti Ῥni angulo , qui uni aequalium laterum opponitur, bases aequales esse neqtieunt; nisi quando angulus in utroque triangulo alteri lateri aequali oppositus , vel est minor recto, vel non minor recto .
SIT enim I Fosceles DFG, Ahabens latera DF, D G, aeq-lba, ct producta base G F,
265쪽
angulo C, ct F, vel minore re is, vel maiore. 9 c det punctum C, ultra F, ut in G; eritque rursus amgulus quidem C,hoc eis, in acutus, ct D F E, obtusus.quod in contra hypothesin. D E IN D t , quando duo laetera duobus lateria
hus aequalia sunt, utrumque utrique , ct unus angulus uni angulo,ita V, Unus uni aquatium laterum, O alter alteri opponatur, nihil etiam colligi potest. Nam sit triangulam ABC, cuius latus AB, maiussit latere AC . Erit a ergo angulus ACp. maior angu
A A C . Fiat angulus ACD, angulo ABC, aqua- lis ; cadetque C D , supra C B . Describatur quoque Bexis, per B , arcus circuli secans CD, in D, iungaturque recD A D. Sunt e tur duo latera AB, AC, duobus lateribus A D , AC, aequalia, utrumque utrique, ct angulus ABC, lateri A C, oppositus, aqtialis angulo AC D, lateri A D , oppositor Et tamen bases B C, D C, aequales non sιnt. Si enim aequales essent, essent tam duae r
Ata A B , A D, quam dua C B , C II , aquatis, b quod in absurdum. P O ST REM O, quando duo latera duobus
lateribus aequalia sunt,utrumque utrique, ct angulus in Uno triangulo illis lateribus comprehensus, aequalis angulo; qui kn altero triangulo opponitur Uni
illorum lateru, nihil etiam At
triangulum ABC, cuius Istrumque latus AC, CB, I c, maius in latere A B; est
266쪽
, tur fat angulus ABD, an guto FAC, aequalis, cadet
tur quoque arcus circuli ex B u A, er C, qui in f a B C, cadet , secabitque B D, in D. Iuncta igitur recta AD; erunt duo latera A B , A C duobus lateribi A B, AD, aequalia, et trumque utrique, angulusque Γ AC, illis lateribus A B, A C, comprehensus, aequalis angulo A B D, qui literi AD , opponitur: Et tamen bases B C, B D, aequales non sunt. AEM)am recta AC, AD, quam . primi. B C, B D, aequales essent . a quod est ab βι-- .RE C T E igitur Euclidespropo . o. praecepit a gutum illis lateribus comprehensam in uno triangulo debere esse aequat em angulo alteritis trianguli, qMi LAlis quoque lateribus comprehenditur: quandoquidem sine hac conditione nihil colligere licet, ut demon
267쪽
OMNE parallelogrammum rectangulum contineri dicitur sub rectis duabus lineis, quae rectum comprehendunt
1 do, quantasiato quadrata parratim auiustiis linea recta diuisa, pastiali e 'mamma rectangula stib partibus eiusdem linea diuisa compr/sensa,
di tam inter se, rim a cum ae . G. TV quadrato totius tinea , c c. Luod tcommoue exeqtiatur, explicas spim daasus definitiori s oad ea,quil demon an sint, recte intelligendia maxime necessaria. PRIORI de trionst exponit, sis quibus rectis Ibneis contineri dicat- paratiotis ammtim quodcunque rectangulum Et Di ci papae Di ammtim contineristis . a s lineis rectis . Quod it inte Iligatur, explican m primum es,
268쪽
Paralia grammtim ii d Hri γectangulum, mim omnes anaatili sint recti. Curtis quidem duo tantum sunt nera. Ω a drattim , O Altera parte Angitis . In his enim omnia anguli fune recti, te perspicuum est ex eorum de Dionistis. In om poras parallelogrammo , mnus angulus duntaxat detur re citis, erant Θ reliqui tres necessiario recti Sit en1m in parali tigrammo AH G D, angulas A, rectus. Dico reliquos tres amgutis B, C, D, rectos qtioque esse. Nam ctim paraliela sint: D A D, E G, erunt anguli Α, Θ B ni .dini
i--- duobus rectis aequales: At anguidis A, rectas est, ex hypothesi. Hi γ Θ B . recesus i l -- - ...- erit. Quoniam meroquitiset stio opposta υ s aqualis; me angustis A, angulo C, savultis B.an o D; erunt Θ an li C, Θ D, recti. DICIT itaque Euclides, quodlibet pariat iuransmum rectan tam contineristis duabus rectis tineis , qua unum
eius an tum rectam continent. VI parali ogrammum reis
exprimiant rotam parallati ammi magni dinem, mna quia dem , mi A B , mei D G , eius Io vittidinem, altera vero, it A D,eter B C, estis tali dinem. Vnde expressu dtiatas tineis,l qua anguium rei tam cominent in paralyelogrammo recrangulo, sim lata eius quantita, trecipitari intelΓgittimue, longittiri nimiram,iatque latitudo. Accedis etiam, quod ex motu imaginario initis linea in afferam Miti modi paralietierammum conficitur. Si namqtie animo concipiatis ste M A B , deo sim secundum recctam A D, moti lineransuersim, stamis per angulum rectam ctim A D, consei at, donec omnium A, punctum D, septinctum B, adpuncetim C, temeniae, descriptum erit rorem paratielo ammtim ABCD.
hus tineis rectis contineri dicitin parastilogrammtim rectangulum .
ITA RV E parallelosrammum rectan lam, quia sis titiastis γὰectis tineis contineri dicitur, erit Elud, mitis duo Iasera circa Φntim anguiam rectam aquatias ne duabus i
269쪽
erit ide, quodparalleti amia ABCD Η - Onia latus AB, Eotiati eis rectae E, ct Iatus AD, recta F. PER ICVVM aris o es ex dictis, parallelogrammti re utiliam emuniti sub dtiatas lineis aquatigias esse quadratiam. Ctim enim o Mutare illaria linearum aqua iam ci aqualis sit linea opposita, e ne omnia quam parastelogrammi racictguti latera a alia. Quare eae definitione q drati, quadra rem erit. . ITEM manifestum es reesa linea aliis d Ius rectis tineis aquatis fae in , t De me ique, rectangulum parasse mammum h priorum abis comprehensum, aquati esse ei, quod Ab abus pos ibri ου compriae istir arallelogrammo rectangulo oniam is anguli, se latera misit aqualia sunt is avrilis, o lateribus riti itis. Quo tamen facile hac etiam rassons demon ari potes. Sint recta A T, B G, aquales Vectis D E, E F, vera e tri- λ isque. Dsco parassi logrammum rectangultim ABG G, eontentum sub A B, B C, aequale esse par elogrammo rectam Io D E F H. e uino sub D L, E F. Diactis erexim dia- i metris A C, D F, cum latera A E , B C , trian K AAC, ae alia sint Iarorum DE E F,trianguli DT F, Θ Λntiri
B, E, aequales, nempe recti; erant triangula ABC,DEF, aDaIia . Eadem ratione aqualia erunt triangula AG C . D H F. Quare tota parasi. gramma AECG, DE FH, aquatia erant. HARET autem compresensio Det parae sigrammi recta vitistis duabus Vectis I sis a citam rissim contis in L A magnam ni retiastem cum misi iraticine initis semen in ah tim. Sicns enim ex multiplicatione 3. in o.'o citurniamretis a a qui in formam o G o--ο
tur, unde ct contineri diei itir sub ρ. V. Ita Dcque pia Eelogramma A BCD, comprehensim sub dtiabus rectis A L . R. quarum illa si 3 palmorem, ac autem M. constar ra. palmis quadratis, qui quidem tri E
270쪽
quidem eae ductu LME AE, o. palmortim in lineam B C, M. palmoram prodarentur,it figura niueat, notiami est Ars meticis, a que Geometris,dem Graturis a Ioan. Regiomoni. Bh. a. de triangviis, propos. rc. Hinc β, ω nonnulla dicant,par gelogrammum rectaneti vim gigni ex Δι artim linearum cirea an tam rectum umus in alteram. Vt proxime amrecedens parallelogrammum ex linea A R. in tineam
Idem enim para elogrammtim procνpartir, ue minor tinea in mai em, siue maior in minorem ducatur; quemadmod timetiam idem producumr mertis,stae minor merus in maiorem, sue maior in minorem data tir, eti ab Etitueri demons tur IV. .propos. i c.Tam enim ex muhipticatione g. in . quam ex M. in s .producimr hic ni mertis ra. OLITER quoque monen i mihi hctor midet γ, Eselidem in hoc secundo libro, ct in aliis, Difeqtiuntur,parasielogrammtim rectan tam spectare si Atiter rectangu umqtiod etiam caeteri Geometrae is emant, ita O nsmine re ansuli perpettio Mugigendum sit para elogrammum rectanti- A. B lum . Rursus, ne toties endem fisera repetantur, stim Geometre exprimore paralle D C mtim tam re Fangultim, quam non re sangm tam duaItiae duntaxas hieris, que per diamegrum opponum tur. Vt apposistimparallelogrammu appellans A C,υel B D.
I N omni earallelogrammo spatio ,
unum quodlibet eorum, quae circa diametrum illius sunt, parallelogrammorum, cum duobus complementis, Gno
sit sue non, ducatur diameter A C, ex mitis 'feto quosebet G, ducantiar recta E F , Η Ι , parallela fateriόm parallelo