장음표시 사용
291쪽
L I BERIL Dis 273 THEOR. 7. PROPOS. 7. SI recta linea secetur utcuque; Quod
a tota, quodque ab uno segmentorum, utraque simul quadrata, aequalia sunt&illi, quod bis sub tota, & dicto segmento
compreheditur, rectangulo,& illi, quod a reliquo segmento fit, quadrato.
utcunque in C.Dico quadratum totius AB, & quadratum segmeti sue maioris, siue mi noris AC,aequalia esse rectan gulo bis comprehenso sub tota AB,& dicto segmento AC,una cum quadrato reliqui segmenti C B. Describatur enim super A B, quadratum A D;& ducta diametro BF,ducatur ex C, recta C F, parallela rectae A E , secans diametrum in puncto G , per quod agatur HI,parallela recte AB.Erunt igitur per corollarium I . propos .huius CI, H F , quadrata : Ecquia recta GH, aequalis est rectae AC, erit H F , qua dratum segmenti A C. Rursus quia A E , aequalis est ipsi AB, erit rectangulum AF,comprehensum sub tota AB,& segmento A C. Eadem ratione rectangulum HD, co prehensum erit sub eisdem rectis A B , A C , quod rectae DE,FH, aequales sint rectis AB, AC, ob quadrata AD, FH. Quoniam igitur rectangulis A F , FI, una cum quadrato C I hoc est, gnomoni KLΜ, una cum quadrato CI, aequale est quadratum AD 3 si apponatur commune quadratum H F, erunt quadrata A D , H F, aequalia rectangulis ρF,DH, quorum quodlibet comprehenditur sub tota AB,& segmento A C, vna cum CI, quadrato
292쪽
mna ctam qua/ato ex AC, his, ae He es rectan tam sub AB, AC,sis. Hirtir quadrata ex AE, AC,aquatia sunt reliquo quadrato ex CE,et na cum rectaviati his sub A B, AC.
Lood demonstrandum erat. I N numeris amem idatur semerm s o. uscunque in s.ct uitur Ino quadratin semerus totius numeri O. Os a. quadratus numeris partis s. aequales sunt numero Iao. qtii se sis ex tofo 1 o. in partem c. mna ctim Ic. quadrato numera alterius partis . vi consat. Sic etiam I o o. qtia arus numerus totius numeri IO se . quadraim ntimerm partis L. aquale tint numero Ι o. qui s si ex toto I o. in partem . Una cum Ic. quadrato numero alterius partis c.
SI recta linea in partes inaequales secetur: Earum partium quadrata aequalia sunt rectan gulo, quod bis dictis partibus continetur, Una cum quadrato eius lineae, qua maior pars superat minorem .s E C ET V R Vecta A Z,in paries in aquales AC, CR, sique maioν pars AC ponariar autem minoνi pani CB, quatis tineia A B, mi D C,ss Meessus, opars AC superatpar
293쪽
SI recta linea secetur utcunq;: Rediagulum quater comprehensum sub tota ,& uno segmentorum, cum eo, quod a r liquo segmento fit, quadrato, aequale C si ei, quod a tota,&dicto segmeto, tanquaab una linea describitur, quadrato.
294쪽
C, ita o 3T o mento siue maiore, siue
si quadrato reliqui segmeAC B D A C BD ei AC, aequale esse quadrato lineae,quae ex recta A B , & dicto segmento C B,
componitur Producatur enim AB, versus dictu segmen
tum C B, ad D,stque B D, recta aequalis segmento C B; S super tota AD, quadratum describatur A E. Ducta autem diametro D F, ducantur B G, CI, parallelae ipsD E, secantes diamettum in Η, Κ, punctis, per quae ducantur L M, O P, parallelae ipsi A D, quae secent pri res parallelas in N , Q,Erunt igitur per corollarium I. propos . huius lib. OI, N in, B M, L G , C Ρ, circa ,3 rimi. diametrum DF, quadrata. Et quia O Κ, y aequalis est rectae AC, erit O I, quadratum segmenti A C . Rursus hs primi rh quia N H, aequalis est rectae CB,erit N quadratum tegmenti CB,ideoque quadrato B Μ,aequale,cum rectae C B,B D, aequales sint.Quare rectae B H, H Q , aequales sunt segmento C B ; atque adeo duo rectanguJa A Η, 3. primi. L Q, comprehensa erunt sub AB, & segmento CB, e cuL H, sit aequalis rectae AB. Eadem ratione erunt duo rectangula N G, Η E , comprehensa sub A B,& C B, cum .primi. N H, H M, tectaed aequales sint rectis C B, B D; & rectae G Η, Ε Μ,rectae F L . hoc est, rectae L H, hoc est,rectqA B. Et quia quadrata N Q B M, aequalia sunt ; si addatur commune Κ G,erunt L M, G, simul aequalia rectangulo N G. Quapropter quinque rectangula A H, I H E, B M,& Κ -gnomonem R S T, componentia aequalia sunt rectangulo quater comprehenso sub tecta A B,& segmento C B . Cum igitur gnomon R S T,& quadratum O I, aequalia sint quadrato A E ; erit rectangulum quater comprehensum sub data recta AB,&segmento CB, una cum quadrato reliqui segmenti A C, aequale quadrato lineae A D , compositae ex AB,& dicto
295쪽
mna cum quadrato ex A C; Erit quadratum ex A D, quale reo sanguis quare sis AB, BC, ina ciam Dariato ex A C . Liaia demonstrandiam erat. S E C E T V R iam nume tis Io. victinque in c. ct . Numerus igitur a o. qui Dater se ex toto I o. in parrem c.
mna cum Ic. quadrato numero aiserius partis M. Loc es, numerus as c. aquatis es mero quadrato Mim numeri I c. qui componitiar ex dato numero Io. Θ di parte c. Ut consat . Eodem modo, numerus Ico. qui se quater ex Io. rate, in panem - . una cum s s. quadrato numero alterim parris c. hoe es, numerus Is s. aqualis es qtiadrato ntimero stilus -- meri Io. qui componieur ex I o. Θ .ut per 'imum es. POTEST p vosilio hac δ.ita etiam proponi.
SΙ linea recta secetur utcunque,eique in re ccum adijciatur alia recta uni segmentorum aequalis Quadratum totius lineae compositae aequale est rectangulo quater comprehenis subdata linea, & adiecta siue dicto segmento, una cum quadrato alterius segmenti.
NAM Vina A R , secta es in C, mitisque, eique adi dira R D, fermento C B, aqualis, demonstrattimque es , qtiariatum totius AD, aequale esse rectanguti quarer tim-
presens fias data linea A B, ct adiecta B D , sitie dicto segmento C B, ina ctim quadraro alterius segmenti A C. Item sic .
SI linea recta secetur bifariam, eique in re
296쪽
ctum adi jciatur recta alia quantacunque .Quadratum totius compositae lineae aequale est rectangulo quater comprehenso sub linea composita ex dimidia,& adiecta,& sub dimidi Vna cum quadrato adiectae.
NAM G23a D C. stya eis bifariam in B, 81que a dira C A. probaremque fuit, quadratum sotius AD, a ale esse rectantiu qtiater comprehenso sub AR, composita ex BC, dimidia. Θ adi/ecta AC aer Ab dimissia CB,etna cum ρ drato adjecta A C. IA M mero eae fac quoque propos y. inrueniemus alia ratione, noerti Dadratia , cu Do datu/ qtitisset numerus conficiat numeria similiter Dauratum. Nam si ex qtinna parte numini dari dematur I. reliquum erit latin qtiadrati quo ri. Vis da m ntime uest 32. Tolgatur I. ex elm qnartapa te F. Reli in enam n merus 7. alit quadratra cum quo datin merus s.fficit Dauratu 81 .Ctitas latus s. essem per una τmtiate mattis Darta parte dati numeri . Fatiles est huiusce diei raris . ΩΠonsam enim rectangulam A H, quasers 1 G E FIGE sti tum, cum quadrato
CONTRA, intientes s quoque numeru quadra tim, a qtio da tis semeras Ab Octas ref Μ at xtimodi ora qua drartim . Si namque ad quarta patri meri dari nudatur
I. confahitur latus Dariati quasi . Vt si datus rutumst
297쪽
remanebis quadrartis numeruΥ s. cuius ratus .semae es ina stare minus quarta parte dari semeri. Ratio es , qui quarta pangnomonis R S T, qtii ex quadrato A E, stibia spetin is Dadratum G I. Loe est, si diectangulum A H, qtiod gnomonis R S T, quariam partem esse demonstrauistis, statua ν F. quarta pari dari numeri 3 a. at quadratum B M , ideoqtie se Iartis eitis BD, 1 .eris linea AR, X. me dictam es, ac proinde totum tittis AD, s. ex mitis quadrato A Ε, quod e se. Ia.s auferatur gnomon R ST , quem posuimus esse s a. ref qtitim fis quadrartim O I, s. mitis Iartisu AC, es . andoquidem A B, erat R. ct C B, hoc es, RD. ihi aqtialis , 3 . od quidem Iartis A C , perpertio una mnitare minus es qtiaria pane mmeri dari 3 a. in dictum es.
THEOM 9. PROPOS. 9.SI redita linea secetur in aequalia,&non aequaliac Quadrata, quae ab inaequa-
Iibus totius segmentis fiunt, simul duplicia sunt & eius, quod a dimidia, & eius, quod ab intermedia sectionum fit, quadrati .
sariam in D. Dico, quadrata segmento Εrum inaequalium A D , D B . simul dupla ossese quadratorum simul, quae fiunt ex di--l midia A C , & ex intermedia 1ectionum -- C D. Educatur enim ex C , ad A B , per pendicularis C E. quar sit aequalis dimidiae A C, vel CB.
ducanturque recitae E A, EB.Deinde ex D ducatur quoque ad A B perpendicularis D F, secans FB. in puncto F. per quod ducatur F G, parallela ipsi A B. secans C E. in G,ducaturque tandem A F Quoniam igitur in triangulo A C E. latera C A. C E. aequalia sunt ;a erunt angula 'C A L. CEA,aequales : Est autem angulus ACE,rectus
298쪽
ba' primi. 3 a rimi. 4 C primi.
Reliqui igitur a anguli alium rectum conscient, ideoque A E C, iam rectus erit . Eadem ratione angulus BEC, semi rectus erit; ac propterea totus AEB, rectus. Rursus, quia trianguli FGE, angulus ΕGF . b aequalis est C recto E C B , externus interno ; e erunt reliqui duo anguli uni recto aequales:
l l Ostensum autem est, angulum Ff G,
- esse semirectum . Igitur & E F G. semita rectus erit, proptereaque anguli E F G. FEG, aequales erunt, it ideoque & latera EG, Gl , aequa lia inter se. Eodem modo ostendetur, in triangulo BDF, latera BD, DF, ese aequalia . Nam angulus FDB, est re ctus.& B, semirectus,&c. Itaque cum in triangulo ACE, angulus C, rectus sit, e erit quadratum lateris A E, aequa
te duobus quadratis laterum A C . C E : Atqui haec duo quadrata inter se sunt aequalia, quod & lineae A C, C Ε, aequales sint. Igitur quadratum lateris A E, duplum erit quadrati lateris A C. Rursus, quia in triangulo EGF, angulus G , rectus cst, serit quadratum lateris EF, aequale duobus quadratis laterum E G, G F At duolhaec quadrata inter se aequalia sunt, ob squalitatem linearum E G, GF. Igitur quadratum lateris E F , dupluerit quadrati lateris FG, hoc est,quadrati lineae C D. Est enim CD, g recta rectae FG, aequalis cum C F, sit parat telogrammum . Quare duo quadrata rectarum A E, EF,
dupla sunt duorum quadratorum linearum rectarum
AC, CD: Sunt autem duo quadrata rectarum A E, E F, b aequalia quadrato rectae A F ; & quadratum rector A F , aequale duobus quadratis rectarum AD, D F. Igitur & duo quadrata rectarum AD. DF, dupla sunt duorum quadratorum rectarum AC, CDj Atqui quadratum rectet D F, aequale est quadrato rectae D B . Ostensum enim est, rectas DF, DB, esse aequales . Quare duo quoque quadrata rectarum AD, D B, segmentorum in qualium, dupla sunt quadratorum rectarum A C, C D, dimidis lines,& intermedis sectionum . Si crgo recta li
299쪽
R C,C Ds Atqui quadrato ex D R, Gnaeum recta usi sis sitis A C, C D. V aequalia sunt quadrata ex R G, seu AC, ct ex C D. Ωuadrata igitur ex A D, DB, aqualia sint bis quariaeneae A C,C D; ue propterea quadrata ex A D, D B, dupla sunt quadraiorum eae AC , GD. ΩNad osenden m
300쪽
P. Etioniam igitis ex coroli. a. propos. o. huius lis. quadrata
THEOR. 1 o. PROPOS. Io.S I recta linea secetur bifariani adij-ciatur autem ei in rectum que piam recta