장음표시 사용
301쪽
302쪽
primi. est quadratum rectae lineae A Gi V i F S quadrato rectae A G , aequa- lia sunt duo quadrata , quae ex dita bus lineis rectis AD, D G, descri-
huntur . Quadrata ergo rectarum
A D,D G, dupla sunt quadratorum ex rectis AC, CD, descriptorum. Cum igitur quadratum rectae D G, aequale si quadrato rectae B D; erunt quoque quadrata rectarum AD, DB, dupla quadratorum, quae ex rectis A C, C D, describuntur . Itaque si recta linea secetur bifariam,&c.Qusd ostendendum erat. s CHOLIV M. s. - Ο ALITER . Quia quadratum ex A D tiati sq: 's adratis eae AC , CD, υna cum reor an se bis sub A C.
n. - -r a II mune addatur quadratum ex BD, erant dias quaisaea MAD, B D, aDatia tribus quadraris ex AC, CD, BD, mnia eum
rum eae AC, C D, Quod erat demonsioniam. ALITER M Feripies Commandino. Otioniam A C,
303쪽
Quadrati igitur numeri r ρ.is s. orum numerorum I s. Θ3. dupli sunt niamerarem quadratorem aue. O c . qui ex his numeris F. 9 3. gignuntur, τί per imum es. S E D ct hac propos. Io. Dciti ex praecedente s. demon- Mabitur,quemadmodtim supra demonstrata 'it c. ex s. Sirenim recta A EJecta bifariam in C, eiis is ita pecta quantacunque A D. Dico dcio quadrata rectarum AD, B D,s-mtiI dupla esse ortim quadrato
Recta quoque E B , recrA AD , aqualis eris, quod E A, ipsi D B,sit equalis, A R, miriqtie communis Quadrata igi 3 s secus. ων recctarum E B, B D, hoc es, rectarum A D, BD. dupla erunt quadratoriam Vectarum T C , C E , Loc es, recyarum C D. A C quod e propositum . QVO D, si taleas eandem hanc propos. Io. Amonserare ex co metione, qtiemadmodum pracedentem s. ostendimmolat id fise modo. PH ducta A D,-R- D E Pado ora tinea BD, aqualis,descriptos G H I Rquadrato A F, ratim linea A F. ducantur per C, B, D, lateribus
res in V, X, Υ, Ζ, a, b.Ltioniam igitur ex coroll. I. propos. . uitistis omnia rectaritila circa diametrum E G, Dad rasiane, l
om a X, mul. Quoniam enim quadrata S K , D T, sup rant quadrata O H, ax, quadrato D T, di rectangulis s L,L K: Sunt autem quadratum D T, o rectangula S L,LK. aqualia
304쪽
PROBL. 1. PROPOS. IIDATAM rectam lineam secare, Vt comprehensum sub tota,& altero segmentorum rectangulum, aequale sit ei, quod a reliquo segmento fit, quadrato.
DATA st recta A B . quam secare oportet in duas partes, ita ut rectangulum comprehensum sub tota A B,& altero eius segmento, nempe minori, aequale sit qua drato reliqui segmenti, nimirum maioris . Describatur
ex A B quadratum A C,& diuiso latere A D. quod cum linea data A B , angulum rectum efficit, bifariam in E , iungatur recta E B , cui ex E A producta aequalis sumatur Es & ipsi Al abscindatur ex recta AB data aequalis A G Es .n. A B. maior quam AF. Na cum EB si aequalis ipsi EF, cx constructione; int autem latera AE, AB, ma
305쪽
iora latere E B ierunt quoque rectar E A, A B, maiores recta E F : ac proinde ablata communi A E, reliqua A B, maior erit, quam reliqua A F. Dico rectam A B. sectam esse in G , ita ut rectangulum comprehensum sub A B , B G, aequale sit quadrato rectae A G, adeo ut A G. st ma ius segmentum, S B G, minus.Ducatur enim per G, recta H I parallela rectae D F, secans C D. in I; Ac per F, ducatur ipsi A G parallela F H, secans H I, in H. Erit igitur parallelogrammum A H, quadratum segmenti A G. cum Omnia eius quatuor latera snt aequalia quippe cum F Η, G H. aequalia sint oppositis A G. A F, aequalibus; omnesq; anguli eiusdem recti, ob rectum A. vi ad desin. 1. huius lib.ostendimus. Rectangulum quoque CG,comprehensum erit sub A B,& segmento BG; Iquod A B, aequalis sit ipsi B C. Itaque probandum est,rectangulum C G,& quadra- Etum A H, aequalia esse.Quoniam igitur re , cta D A, diuisa est bifariam in F, & ei ad dita in rectum A F; dierit rectangulum sub D F. F A, hoc cst, rectangulum D H, cum F H, si aequalis ipsi F A ; vna cum quadrato dimidiae
A E, a quale quadrato rector Ε F. hoc cst, qυadrato rectar E B quae rectae E F, aequalis est: Est autem quadratum re ctae E B,ς aequale quadratis rectarum AE,A B Quare re ctangulum D H una cum quadrato rectae A E , aequale quoque est quadratis rectarum A E , A B. Dempto ergo communi quadrato recte A E , remanebit rectangulum D H,ae quale quadrato rectae A B, hoc est, quadrato AC. Ablato igitur rursus Communi rectangulo AI, remane bunt rectangulum C G,& quadratum A H. inter se equalia. Quod est propositum. Datam igitur rectam A B, secuimus, &c. Quod erat faciendum.
HOC Heorema missa ναῶ ne accommodari potes numeris. Non enim ntim in aetas in duos is nostras Quid ,-ntimerus frictas eae toto in aherram paretem a catis sit quadraro alteritissariis, me demons Amtis ad vos. ι . Lb.s,
306쪽
ν bi eriam decem theoremata antecedentia stitas 55. in numeris demonstrabiotis. Clarius istitem idem Uendemtis adpro pos. a s. ei iam Ab s. P R A XI S atium Misse 'ob maris non es disellis. Nam ad extremum A. ubi terminari debeat mata tamem tum linea data A A. exeitata pispendiculari A D, ipsi das tinea A B, aequali, ea seos a in T, sifariam sis ad intertiatalum E A, resecetur E A producta in F, erit A 'maiora se mento A G, aqualis, mi demonstratum es.
THEOR. II, PROPOS. I 2. IN amblygonijs triangulis, quadra
tum, quod fit a latere angulum obtusum subtendente, maius est quadratis, quae fiunt a lateribus obtusum angulum comprehendentibus, rectangulo bis com prehenso & ab uno laterum, quae sunt circa obtusum angulum, in quod , cum protractum fuerit, cadit perpendicularis,&ab assii pia exterius linea sub perpendiculari prope angulum obtusum.
TRIANGULUM AB C,habeat angulum ABC, obtusum , Se ex A , in latus C B, ad partes anguli obtus protractum cadat perpendicularis A D . Dico quadratum lateris A C, quod obtuso angulo Opponitur, maius L c esse quadratis lateru A B , B C, A rectangulo bis comprehenso sub
l , teris A C, aequale esse duobus C B D quadratis laterum A B,B C,una cum rectangulo 1ub C B,BD bis conpreheso. Cu enim recta C D, diuisa sit in B,utcunq;,
307쪽
erit quadratum rect CD,aequale duobus quadratis rectarum CB, BD,& rectangulo comprehenso bis sub CB, BD. Addito igitur communi quadrato rectae A D, erunt duo quadrata rectarum CD, DA, aequalia tribus qua dratis rectarum CB,BD,DA,& rectangulo comprehenso bis sub C B, B D Est autem quadratis rectarum C D, DA , b aequale quadratum rectae A C. Quare & quadra tum rectae A C , aequale erit tribus quaὰratis rectarum CB, B D, DA, & rectangulo comprehenso biς sub C B, B D. Cum igitur quadratis rectarum BD, DA, e aequalest quadrarum rectae A B ; erit quadratum rectae AC, aequale quadratis rectarum CB,BA, & rectangulo com prehenso bis sub CB, BD. Quod est propositum . Inamblygonijs crgo triangulis , quadratum, quod fit, &c.
Quod erat ostendendum. SCHOLIUM I A M Loe Deo demon se nis metiris, anfo masin se in triangulo iam Musnio quadrartim lateris angulo ob se opposti, quadratis aliorum riorum lateram sequenti autem propos. I s. ostendet, quanto Dadratum Iaseris actito angulo opso Sti minus sis adratis reliquorem orum Iasertim , ad initium scholi, opos lib. I monuimus. RV o NIA M υero assumpsit Etittides, prependictitare ducia eae A,cadere in laetis C B, ad paries angvii obfus protracsti, ideo paucis id demon strabimus. Sit in rei gulo ABC, angulus ABC, ob sus, o latus CB, adpar res B protractam. Dico perpendimurem ex is A , deductam cad e extra triangulum in Iasuta C A, protractam i cuiusmodi est recta fAD. Si enim caderet intra triangulum, FCqualis est Meya AF, essent utio ΛΜM EA RE, AFB, duoltis rectis maiores,ctim Iest shmsis,hic vero Tet s. Quod es contrapropos. 1 . IV. I. Si mero caderet extra triangutam in laetis B C , froductam ad pa-tes C, qnaeos es recta Ariessent mystis in trian D ABV , duo angiali ATF, AFE, maioγ Ibus rectis, iam issese ogensin , hic vero νectas . ΩΓd eis ab tiritim. SED G hoc Aeorema vertim es .
308쪽
FVCLID. GEOM. SI in triangulo quadratum unius lateris maius sit duobus quadratis duorum laterum reliquorum: Angulus, illi lateri oppositus, obtusus erit.
. IN trianguis ARC, quadratum L reris AC , maitisse qtiauratis laterum AB AC, Dico angultim B, quem Ia s AC, Abtendit, esse ob sum . Ducπιών C enim ex B, ad AZ,perpendicularisAD, linea R C, aquais, iungaturque recta AD. Quoniam igitur quadratum ex A aquale est quadraris ex A B, B D, Loc es, ex AB, B C Pona γ autem quadrarum ex A C, matuta quadratis ex AB AC; Erit quadratum ex AD , manus quadrato ex A C, Θ ideirco recta A D, minor Dam recta AC. Itaque quia latera A B,BC, Fiantili ABC, aequalia fiant lateribus ARID,trian Is AR D, Utrumque τι=ique, Θόasis A C, malae eis fissa A D Erit antitas ARC, maior anguoA B D Sὸd A A D rectus eis Igitur ABC, recto maior,
Mitis erit. Quod es p=spositum . LI' IN etiam conuersum sultis propos. I a. demon babi
SI in triangula quadratum unius lateris maius sit quadratis reliquorum duorum laterum, rectangulo bis comprehense stib alterutro horum laterum, & Qb exteriore linea , quam ex illo latere producto recta linea ab opposito a gulo dentissa abscindit: Demissa haec lineae ad latus productum perpendicularis erit, & angu
lus propositi trianguli priori illi lateri opposi
309쪽
Ia epis AC maius quam quadrata lateria A A, BC. rectan- stilo nub C A, B D , bis compre- sonis . Dico AD , ad C D, esse perpendictitarem , ct an tam ABC, obtrusiam. Si enim A D, perpendicula is non est, diaca rex Α, ad C R , perpendituraris , qtiam dico cadere necessiario in C B, priduciam ad partes B. Cadat enim, rei potest, in T, ea mi A B, si ad C E , perpendicularis. Erit isistir mdrarum ex A C, aquale quadraris ex AR, BC, quod es absurdum, cum maius ponatur. Non cadit ergo perpendicu&
A C, aequale quadratis ex A F,s C Ponitur vitium quadrarum ex AC. maiias quadratis ex A B , B C . ut modi quadriara ex A F. F C, maiora erant quadratis ex A B. B C, quod es ab in m. Siant enim quadrata ex AE, B C, maiora quadratis ex A F, F C, qu)drecta AB, recro angulo A F B, oppostas maiorsit qtiam A F, Θ B C, tota maior parte F C. P repeta, Iaris ergo ex A , demissa non caditiis C B. C A D AT terrio .si feri pores perpendietiliaris ex A, ad iam, B C, demi a, in C, ita M A C , sit perpendicularis.
Erit igitών quadrartim eae AE, AE aquale 'Madratis edi A C, C B, ac proinde quadratum ex A C , minus erit qnadrato M AR , is propterea meseo minus quadratis ex A B, R C ,etiod es ab tir m. cum ponartiγ maius . Perpendicusaris ergo ex Α, ad B C, demi a non cadit in C. CADAT quarto , si ferisores perpendicularis ex A, n B C, protractam ad partes C , qualis es A G. QNoniam
310쪽
: i cadens mirea B, mi ostendimus.
o Mnsus es obtusius, , erit quadratum recta, A C, maius quam quadrata rectaram A B
B C, rectan tam hissis C B, B E, eo rehensim a Male leγis rectangulo bis comprehenso sus CB, BD ac proin λ o fractangulum sub C. B, BE, semeἱ eomprehensum amati erit trectanguis semel sus C B, B D, compresens, est recta B E, diecta B D, aqualis, pari toti, vel totum parsi. Dodi es a, far dum. Es ecio AD, MCD, perpeniculisis , nasia alia. quod αἱ propostum.
IAM vero quoniam neque Loe odecimum Meorema, nequesequens II. per numeras quando Iibet, expliciari poes, quod posito uno latere triviai qnollibes partium aquatitim, a latera , eorumquepartes a perpendi Iaribus tineis smeia plerumque numeris exprimi nequeant ,sed si Ania igilateri insommensirabiles e quod inpraecedentibus propositioni-btis non accidua Dippe cum, posta dAsa recta linea να- ilibet partium aequalium, eius partes flami possime pis Iliato ei icsmmensi sitis,me in exemptis num Ortim adsisitis facta es; ascribemus regulas quasdam, Dibus Geometrice tria gula amb)gonia, alve ovgonia quotquot quis optaueri ιonsistiantiar eiusmodi, ut omnia latera, partes e eorum a lineis perpendi laribus faeta sint lima commensi bitis: atque adeo verita. viri que theorematis in numeris quoqNe appareat Ra primi.