장음표시 사용
341쪽
eens, anstilum mix tim R AC, mel B C A , contensum sub recta tinea AC, ct circumferentia ABC, appellara angulum segmenti. Ruia eg- mentiam circuli fuerit semicis Itis, die/riar aviam semicircviti: Si Sero segmenltim maim femi eis cuti extiterit,Gotabistir anguim sigmenti maioris e Si d nique segmentum minus fueri emicirculo, angultis segmenti minoris nuncupabitur.
IN segmento autem angulus est, cum in segmenti peripheria sumptum fuerit quodpiam punctum, & ab illo in terminos rectae eius lineae, quae segmenti basis est, adiunctae fuerint rectae lineae: Is inquam angulus ab adiunctis illis lineis
SIT segmentum circuli quodeu AT C, mitis has, recta AC. Exs see o Dolibusti- Eo B, in circNmferentia , diacamur adpune Fata, C, extrema basis, rectae linea RA, BC Aviam igitur res Atinous AEC, dicitur exi sera in segmen o ABC.
C V M vero comprehendenteS angulum rectae lineae aliquam assumunt
peripheriam, illi angulus insistere di
342쪽
A Expuncto A, quolibetsuscepto in circum- ferentia circuli A B C D . ducan tir recta
D, circumferentia B C D, miusque, quam C quidem dua recta A B, A D, assumtim. Amsurus itaque rei fit incus BA D, in ere dicitur circumferen ei a B C D. Peri*icutim autem es, sanc an tam a pracerin/i non differre , nisi ioce tenvi . Idem enim an ius r eritin/m B A D, taxiaprkcedentem Didem de trionem dicitur esse in se emo B A D, recta B D , hasis ducere γ ;ια hac mero in spere cireti e=entiae BC D. Non tamen confundendus es angulus insegmento aliquo, ctim anguis, qui circumferentia an sat, quamuis unus is idem sit; ad diuersa quidem referuntin. Anguim enim in segmento segmentum, in quo exsit, anguJm autem in ent circumferentia ,
circumferentiam , quia basi es ipsim anguli, respicit. Undes sumatur ambiti ahqviod obtuli ECD, in circulo ABCD I non erit idem angu mi Z is sol sumento misens, or eius circumfe-Ε--enrie insistens. Anti m enim in eo ML O flen erat B C Dial λω cis Merenti C BCD, in ens, erit angulus B A D , qui multum ab eo diffri.Qua in re mirum in modo his cina risunt Orontius, peieramus, Θ atij interneres nonnulli. Luod autem angulus in segmento, ' an Im circumferentia cui piam in ens, ad diuersos arcu. referantur, luce clarim plebit ex Ultima p=vos 55. . qua sitam conuenirepotes cimcumferenti=s circuis m, quibuε anguli insistunt, non ararem, in quabus exsunt, ut eo in loco ostendemuta . Idem quoqtie facile consat ex verbo graeco βεβηχὼ ναι , quod ascendisse significat. Ascendit enim an im D AE , se a ciscumferensiam BCD. P R E TER tres dictos angulor consideratin etiam a Geometris angultis confingentiae , qui contine M lima rec a rangente circiatam, o circumferentia circvit mel certe duabus circumferensidisse mtituo tangen sim, siue hoc exterius fat, e interitis . Exemptam. Si recta A B, rangat circuistam CD E , in C. Rutilus mixdius A C D, GH B C E, dice tur an ius consanentia , e contactine R Om , si cismissc ED,
343쪽
an ius contactas, seu contingentra . Stine itaque, ut miris, tres anguli contingentia, unus quidem mixtus, reliqua meis duo, cti itinei .
ad ipsius circuli centrum consti tutus fuerit angulus, comprehensa nimirum figura & a rectis lineis angulum continentibus, & a peripheria ab illis assumpta.
sIMILI A circules segmenta sunt
344쪽
EODEM modo figmenta diuersortim circviorum tam a Malltim, quam inaequalium, a Geometria dicuntur simitia, qua mel suscipiunt aquatis angulos; mel in qtirbus aquales aviassi Mistin . Vt si in circulis ABC S, DEFL, GHIM, an Ii ABC, DEF, GHIJψrint ἀρtiatis, dicentu egmenta , Isti eiscumferensia ABC, DEF, GHI, qtiae dictos an
lassuscipiant , mel in quibus pradicti anguli existine, mitis. 11 Con it istit hae E segmentorum, ci
es una circi Me-L M Fresia resim Dacircumferen tae, talis quoqtie sit altera cirra erentia, qua dicitur huic similis, rariti m ei rati bentias ita ut Dalis, sequanta pars es cir Merentia ABC, torius circumferentia A R C A, talis fanta qtioqtie pars sit ciscumferentia D EF, uritis eircumferentia D E F D ; Item talis, ct trimia cis Merentia GHI, totius cis morentiae GHI G. Vel potiti egmentorum ilitudo in hoo consiste, qtiod segmenta ; obcti eremia similis. ad totas circumferentias stimeandem Labeant preportionem. Rupd autem figmenta , qua mel aquatis suscipiant inuti A mes in grantis existini aquatis antili, sint in Umia deam rabimus propositione th ma tis c. nostis tit aliaestimenta cis Artim, vel etiam arctis, circunferensivum, appella i ii E A DE M ratione diciantur arctis, mel cirremferentia
345쪽
smiles, quihus aquales anguli , iuxta de . I. in unt. Vis iniserim elisutis avtili ABC , DEF , GHI sine aquales,
iacentur arcus, circumferentiave A AC, DLF, G MI,
quius in una. similes. Immo auuli ad tendia i Amtes arcubus A X C, D L F , G MI , sint aquatis, erunt ad Me ipsi astem simile . Id quod a nobis i Motio proposas. huius lib.demonstrabitur .
PROBL. 1. PROPOS. I. DAΤΙ circuli centrum reperire.
trum oportet inuenire. Ducatur in eo
dicularis agatur B D, utrinque in peripheria terminata in punctis B , D. Hac igitur bifariam secta in F;dico F,esse centrum circuli propositi.Iti ipsa enim recta BD, aliud punctum , praeter F, non erit centrum,cum omne aliud punctum ipsam diuidat inaequaliter , quandoquidem in F , diuisa fuit aequaliter. Si igitur F, non est centrum, si punctum G, extra rectam B D, centrum , a quo ducantur lineae GA, GE, G C . Quoniam ergo latera AE, E G, trianguli AEG, aequalia sunt lateribus CE,EG, trianguli C E G ι & basis A G, basi C GS a centro enim's . . ducuntur θ erunt anguli A E G, C E G, aequales, de que recti: Erat autem & angulus A E F, rectus ex constructione. Igitur recti A EF,A E G, aequales sunt, pars& totum. quod est abiurdum . Non est ergo punctum G, centrum ; eademque est ratio de Omni alio.Quare F, centrum erit. Itaque dati circuli centrum reperimus. Quod erat faciendum.
COROLLARIUM.HIA C mamosum vi, si in cis Io reta. at
346쪽
qua linea aliquam rectam lineam bifariam , ct ad angulos rectos secet, in secante esse eentrum circuli . Nam ex eo , quod B D, recta re tam A C, bifariam secat in Α, ct ad angulos rectis, distensum fuit, punctum eius medium F, necessario esse circuli centrum.
THEOR. a. PROPOS. 2.S I in circuli peripheria duo quaelibet puncta accepta fuerint; Recta linea, quae ad ipsa puncta adiungitur, intra cir
in IN circulo A B C, sumantur quaelibet duo
h. R C, in eius circumferentia . Di
co rectam ex A , in C , ductam cadere intra circulum,ita ut ipsum secet Si enim non ca dii intra, cadat extra,qualis est linea ADC, recta , vi vult aduersarius. Inuento R igitur
centro E , ducantur ab eo ad puncta assumpta A , & C, nec non ad quodvis punctum D , in recta ADC, lineae rectae EA, EC, ED. secetque E D , circumserentiam in B. Quoniam ergo duo latera E A , Ε C , trianguli , cuius balis ponitur recta ADC, aequalia sunt, e ce tro enim ducuntur )h erunt anguli EAD . ECD, aequa les : Est autem angulus E D A ,ς angulo E C D, maior. externus interno opposito , cum latus C D , in triangulo FCD, sit productum ad A . Igitur & angulo EAD, maior erit idem angulus EDA. Quare recta EA, ma tori angulo ADE, opposita, hoc est, recta E B, sibi aequalis .d maior erit, quam recta E D , minori angulo D A E, opposita , pars quam totum . Quod est absurdum . Non igitur recta ex A , in C , ducta extra circu- tum cadet, sed intra . Eodem enim modo demonstrabi-
347쪽
IDEM sbe Meorema demonserari posterit affirmatiae , hoc modo . Recta A B , coniungat duo stincta A, E in os etinferentia circuti A R , cuius centrum C. Λ ae
Dico rectam A B, infra circvium cadere ita I ut omnia rivi ptinclis media laba circulum I Jexivant. instimatur enim Dodonque eitis
Η IN C est manifestum lineam rectam, quae cir
culum tangit, ita ut ei ni nonfecet, in uno i itum puncto ipsum tangeri . Si enim in duobus punc8is ei mi angeres, d caderet pars rectae inter ea duo puncta A L. ferre .posita, intra circulum . Quare circulum secaret ,
tur, rectam ductam ex Α, in C, non posse cadere super arcum A BC, ita ut eadem sit , quae circumserentia ABC. Eset enim recta EA, maior , quam recta E B. Quod etiam ex definitione recte lineae patet,cum ABC, arcus sit linea curua , non autem recta . Itaque si in circuli peripheria duo quaelibet puncta, &c. Quod erat ostendendum .
348쪽
a. THEOR. a. PROPOS. 3. SI in circulo recta quaedam linea per
centrum extensa quandam non percen
trum extensam bifariam secet; & ad angulos rectos ipsam secabit. Et si ad angulos rectos eam secet , bifariam quoque eam secabit.
PER eentrum A, circuli B C D, recta C E, extensa diuidat rectam B D , non per centrum extensam, bisariam in F. Dico rectam A F . esti ad angulos rectos ipsi B D . Ductis enim rectis A B , A D, erunt
l duo latera A F, F B, trianguli A F si,dum l lx l bus A F, F D, trianguli A F D, aequalia; &l 'I. λι. bases AB, AD, aequales. Igitur anguli A FB, A F D. a quales erunt, hoc est, recti. E Quod erat primo propositum. SIT iam A F, ad angulos rectos ipsi B D. Dico rectam B D, hi sariam secari in F, a recta CE Ductis enim iterum rectis A B, A D ; cum latera AB, AD, triangulique rimi. A B D, sint aqualia, b erunt anguli A B D, R D B, aequa les . Quoniam igitur duo singuli A F B, A B F, trianguli A B F o quales sunt duobus angulis A F D,A D F, trian tili A D F;x latera A B. A D,quae rectis angulis aequa-ςec rim libus opponuntur, c qualia quoque : erunt latera F s , F D, aequalia . Quod secundo proponebatur. Si igitur in circulo recta quaedam linea per centrum eaetensa ,&c. Quod demonstrandum erat.
F ACI LE quoque demonstrari poterat secunda haec pars,qnae quidem conuersa est primae partis,hac ra tione Si enim A F, perpendicularis est ad B D, erit tame . primi. qu dratum rectae A B, δ aequale quadratis rectarum A p, FB, quam quadratum rectae A D, quadratis rectarum A F, F D. Cum igitur quadratum rectae A B. aequale sit quadrato rectae A D ; erunt & quadrata rectarum A F.
349쪽
F B,aequalia quadratis rectarum A F FD.Quare dempto communi quadrato recta A F, remanebunt Quadrata re clariun F B,F qualia;atque idcirco & rectae r U, ID,
E X hac demonHratiame facile inferemuου, in quouis triangulo duorum laterum aequalium,sive aequ/laterum istud sit, siue Is celes, lineam, qua basim bifariam secet, perpendicularem esto ad basim : Et contra, lineam, quae ad basim sit perpenricularis, basim secare bifariam. Nam in triangulo A s D, cuius duo latera A B, A D, aequalia sunt, ex eo, quod recta A F, siecat basim B D, bifariam, ostensum est, amulos ad F, esse rectos Et ex eo,quod anguli ad F, recti sunt, demonstratum est, basim B D , a NAM
A F, bifariam secari. Sed hoc etiam demonstras semin ad propos. a ue. lib. I. er quidem uniuersatius .s C NOLIV M. CENSEMVS quoque, demonstrandum esse hoc loco
fluens theorema, ad ea, que sequuntur, non inratile vid licet a
D V O B V S circulis ex eodem centro descriptis, si ab aliquo puncto circunferentiae exterioris recta ducatur interioris circunferentiam secans: erunt eius segmenta inter utramq; circunferentiam posita,inter se aequalia.
350쪽
riorem circun ferensiam in E, F . Dicorin
THEORPROPOSS I in circulo duae recta lineae se se
mutuo secent non per centrum extensae;
sese mutuo bifariam non secabunt.
D U Ag reebe A B, C D. se mutuo in F,secent in circulo A C B D, non per centrum extensae. Dico seri non posse, ut mutuo sese bifariam secent. Si enim una earum per centrum transit,certum est, eam bisariam Don seca rit solum enim in centro, per quod altera ponitur non transre,bifariam diuiditur : Si vero neutra per centrum extenditur, quamuis una earum nonnunqua bifariam ab altera diuidatur , tamen altera minime secabitur bisa riam. Diuisa enim sit&AB,&CD, si seri potes bisa riam in E 4 Inuento igitur centro circuli F , dueatur ab , eo ad E, recta F F.Quoniam ergo F E,po
p natur secare rectam A B, bifariam in s. t i secabit ipsam ad angulos rectos. Eadem
ratione secabitur C D , ad angulos re C ctos, cum ponatur bifariam diuidi in E . Quare rectus angulus F E D, recto angulo FEB, aequa lis est pars toti, quod est absurdum . Itaque si in circulo duce rectae lineae se se mutuo secent, Sc. Quod erat de monstrandum.