장음표시 사용
351쪽
LIBER III. 3 3THEOR. q. PROPOS. I.
SI duo circuli sese mutuo secent; noerit illorum idem centrum.
D V O circuli A B D,E B D, se mu- Diuo secent in B, 3 D Dico ipsos non h4bere idem cetrum. Sit enim,si fieri potest, idem centrum utriusque C,a quo duae re t j ictae ducantur ; C B,quidem ad sectionem V
B; C A,vero secans utramque circunsu rentiam in A, & E . Quoniam igitur C, centrum ponitur circuli EBD, erit recta E C, rectae B C, aequalis . Rursus quia C , centrum quoque ponitur circuli A B D, erit & recta A C, eidem rectae B C, aequa lis. Quare rectae Et C, A C. R aequales inter se erunt pars,& totum , quod est absurdum . Si igitur duo circuli se se mutuo secent, &c. Quod ostendendum erat 3 I pron.
SI duo circuli se se mutuo interius
tangant; eorum non erit idem centrum.
DVO circuli A B, B C,se intorius tan a gant in B. Dico eos non habere idem contrum Habeant enim, si feri potest, idem centrum D, a quo duae rectae ducantur; l VD lD B, quidem ad tactum B; At D C. secari,
utramque circunferentiam in A C. Oniam igitur D , ponitur centrum circuli A B erit recta A D,rectae B D, aequalis. Rursus quia D, ponitur contrum circuli B C erit recta C D,eidem rectae BD, equalis Quare rectς AD,&CD,h inter se erui aequales, pars Eetotu,quod est absurdu. Si igitur duo circuli sese mqtuo interius tangat,&c.Quod demonstrandu erat. SCHO-
352쪽
interim tangentibus duntaxat,quoniam tirculorum exterius see se tangentium , cum etnsu sit extra alium, non posse esse, im cestrum, maius Dιm es.
THEOR. 6. PROPOS. 7.S I in diametro circuli quodpiam su
matur punctum, quod circuli centrum non sit,ab eoq; puncto in circulum quaedam rectae lineae cadant; MaXima quidem erit ea, in qua centrum, minima Vero reliqua; aliarum vero propinquior illi , quae per centrum ducitur, remotiore semper maior est: Duae autem solum rectar lineae aequales ab eodem puncto in circulum cadunt, ad utrasque partes minimae, Vel maximae.
IN diametro A B, circuli A C D E B. cuius centrum F,punctum assumatur quodcunque G, praeter centrum,& ex G,cadant in circulum quotcunque lineae GC, GD, G E. Dico Omnium, quae ex G, ad circunferentiam ducuntur, maximam ese G A, in qua est cotrum, minimam
vero rc liquam G B,quae diametrum perscit: Deinde re ctam G C, quae rectae G A , per contrum ductae propinquior est, maiorem recta GD, quae ab eadem G A,plus distat ; N eadem ratione G D, maiorem recta G Eatq; ita de alijs lineis, si ducerentur,in insnitum.Denique cxG, ad utrasq:partes minimae line GB,vel maximae GA, duci posse tantumodo duas lineas inter se aequales. Du
353쪽
cantur e centro F, ad C, D , & Ε . rectae Alineae s C , F D , F E . Quoniam isitur C
a maiora sunt latere G C ; Sunt autem rectae G F. F C, aequales rectis C F, F A, hoe est, toti rectae G A ; erit &GA, tamaior quam G C. Eadem ratione maior erit recta G A, quam G D, & quam G E . inare G A, maxima est omnium , quae ex G, in circulum cadunt.
DEINDE, quoniam in triangulo E F G, latus EF, b minus est duobus lateribus F G. G E; E1t autem E F, ipsi hF B,aqualis; erit &FB, minor duabus rectis F G . G E.
Dempta ergo communi rina FG, remanebit adhuc G B, minor, quam G E Eadem ratione minor erit G B, quam G D,& quam G C. Quare G B, minima est omnium, quae ex G, in circuli circunferentiam cadunt. R VRSV S. quia duo latera GF,F Qtrianguli GFC, aequalia sunt duobus lateribus G F, F D. tr4anguli GFD,& angulus totus G FC, maior est angulo GFD;c erit qa ori . basis GC, maior base G D. Eadem ratione maior erit G C,quam G Et Item maior erit G D, quam G E. Quare linea propinquior ei, quae per centrum ducitur , maior
FIAT iam angulo B F E, ex altera parte aequalis angulus B F H,& ducatur recta G FI .Quoniam igitur latera E F , F G, trianguli E F G. aequalia sunt lateribus H F,F G,trianguli H F G,& anguli his lateribus contenti E F G H F G, aequalis Uerunt rectae G E,G H, ex utraque parte ipsus lineae minimae G B, vcl maximae G A, aequales inter se. Quod autem nulla alia his duabus ponsit esse aequalis, constat Nam si ex G,ducatur alia,quet cadat supra punctum H,erit ea, cum sit et,quae per Centrum ducitur , propinquior , maior quam G H : si vero cadat infra H erit ea,cum si remotior ab eadem G A,pex centrum ducta,minor quam G H,ut ostensum suit. Duae igitur ciuntaxat rectae lineae aequales ad Vtrasque partes minimae CB. vel maximae G A, cadunt. Itaque si iti diametro circuli quodpiam sumarur punctum , &c. Quod erat demonstrandum. SCAO-
354쪽
Meris, lineam , qua propinquior es recta per centrum ducta, remotiore esse mais=em, iamba linea ex eadem parte urame- A tri A E, existante idem ramen verum etiaos, ad ditis μου partes duecta l. Vt siqnis p l dicar,reciam G D, propinquiorem esse recta
J G A quam rectam G H ; dico GD , maiorem esse, quam G Η . Si namque ipse G H. n ex altera parte aeqviatis cistatur G R , Hertim est, nempe si fas angulo G F H , aequatis avtidis G F E . cte. cadetptine Fum E , inter D , B ; quod G Η, G E . aquali is a G A , dissent, ob aquositatem angulo-rtim G F H , GF E . 9 G D , ponatur magis dis are, quam
G H, ac proinde magis, quam G E . C-- ergo G D, maior st, quam G E , maior quoque erit eadem G D , qtiam G H. HANC porro propositionem non lis conuertunt , hoc
S I intra circulum punctum sumatur, ab eoq; puncto in circulum rectarum linearum cadentium, una quidem maxima sit, una vero mi nima ;& reliquarum aliae sint inaequales, aliae aequales: Maxima quidem per centrum transibit, minima vero erit reliqua pars diametri; &aliarum maiores quidem erunt maximar,vel minimae propinquiores, aequales autem ab eadem maxima,vel minima aequaliter distabunt.
355쪽
DEINDE s D C, non es in directum DA; μο-
tracta A D, in directam, it aha Vecta quam DC, ex D. eaden nempe pars ipsius A D, protracta, omnium minima ,
Quod os assurdum s cum D C, minima ponatur. Es ergo D C, reliqua pars diametri RURS V S s DE, non es visinior maxima DA, quam D F; aut aqualiter Esa ne ab ea, aue D E, Iongius ah ea aberit Si a GaIiter strinque a D A, dirarum di re ipsa
erant aquatis ; qtisci est ab urdum. Ponisur enim D E, maior. Si uero aequaliter ex eadem parte a DA, di re dicanttir, erunt DE, DF, mna eademqk tinea s atque adeo D E, maior
non erit, quam DF, quod eis contra spothesim aenodsi DF, dica r se propan ior maximae D A , d ipsa erit maior , quam D E. Quod magis es ab γ dum . POSTREMO si D E, D B, non aequaliter dis ea D A, meI D C, ς erit ea, qua magis disiat, reliqtia minor. Quod es absita . Ponuntur enim aquales DL, DB.
THEOR. 7. PROPOS. 8.SI extra circulum sumatur punctum quodpiam, ab eoq; puncto ad circulum
deducantur rectae quaedam lineae, quarum Una quidem p er centrum protendatur,reliquae vero ut Itbet: In cauam peripheriam cadentium rectarum linearum maxima quidem est illa, quae per centrum ducitur; aliarum autem propinquior ei, quae per centrum transit, rem O-
356쪽
tiore semper maior est; In conueXam Uero peripheriam cadentium rectarum linearum minima quidem est illa, quae inter punctum, & diametrum interponitur; aliarum autem ea, quae propinquior est minimae , remotiore semper minor est . Duae autem tantum rectae lineae aequales ab eo puncto in ipsum circulum cadunt, ad utrasque partes minime, vel
357쪽
ior, quam A H . Eadem ratione erit A I, maior , quam A G, & quam A F . Quare AI, est omnium , quae ex A,
DEINDE, quoniam latera A Κ , Κ H, triantuli AE H, aequalia sunt lateribus ΑΚ,ΚG. trianguli AKG;
Et angulus totus A L H, maior est angulo AKG;- erit 3u .primi. basis AH. base A G, maior. Eadem ratione maior erit A H,quam A F Item A G, maior,quam A F . Quare linea propinquior ei, quae por centrum ducitur, maior est
R VRSVS, quia in triangulo ACK, recta AK, mi-abus primi ltior est duabus AC, CK; si austrantur aequales ΒΚ, C K r remanebit adhuc AB, minor,quam AC Simili ra tione erit A B, minor , quam A D. & quam A E. Quare A B, omnium linearum extra circulum , quae ex A , du
R V R S V s, cum intra triangulum ADK,eadant due rectae A C , C Κ , ab extremitatibus lateris A Κῖς erunt qui .dirimi. A C Κ, minores, quam A D, D Κ . Sublatis igitur aequalibus CK, DK, remanebit adhuc AC, minor,quam A D . Pari ratione crit A C , minor , quam A E : Itoni A D. minor quam A f. Quare linea propinquior minimae lineae A B, minor est,quam remotior ab eadem .
POSTREMO sat angulo AK C, angulus AKL, aequalis , Sr ducatur recta A L. Quoniam igitur latera A Κ, Κ C, trianguli A K C, aequalia sunt lateribus AK, KL, trianguli AKL ; Sunt autem S anguli AKC, AKL. dictis lateribus contenti aequales; ψ erunt rectae AC. AL, ex utraque parte minimae A B, vel maximae A 1, inter se taequales. Quod autem nulla alia his possit esse aequalis,
constat. Nam si ex A, lucatur recta cadens ultra L. erit ipsa, cum sit remotior a minima,maior quam δε L .Quod si cadat inter B, 8 L, erit ea , cum sit minimae propi quior, minor quam A L, ut ostensum est. Dum igitur so lum rectae lineae aequales ad utrasque partes minimae, vel maximae cadunt, Si igitur extra circulupi sumatur punctum quodpiam,ab eoque puncto ad circulum deducan tur rectae quaedam lineae, quarum una quidem per centrum protendatur,&c.Quod erat demonstrandum. Υ 2 SCHO
358쪽
quamnque eae A, ducatur ad parto H; ea vel maior erit,mbi minori quam A Η , prout citrari a mel mura rectam A H, Itiecta fuerit, it mans- festam os ex demons ratione Meorematis . Η IEC pispositio mera etiam est, quando una Irnearum ex Α, cadentium tircuitim tangit. Haec enim Pia longim a linea per cenisum ducta as est, minor erit omnibus alijs in ca-tiam peripheriam eadentibus, quatis es recta A M, in 'iori Aura. Nam d cpa recta X M , eae ceviro ad eontactum , erant duo Ialma A K, K F trianguli A K F, aequalia duoltis tale, istis A K, K M, erianguli A K M, an Ius vero A X F, angulo A K M, maior. Igitur . MO A F , laseA M, maior erit. Eadem ratione maior erit qtiacunque otia in cauamperi editam eradens, tiam recta A M. Τ A RI Orione eadem tinea rangens AM, maior erit omnibus alijs in eo exam peripseriam cadentibus. Niam ctim duo Iauγa A E, E X, e mino sint diassus Ialerib s A M , M K; si auferantur aquatis resta K E, K M, erit reliqtia A E , minor quam retiqua A M. Eademque ratis est de
rit, eam propinquiorem ei. qua per centrum ducitur, maiorem esse νὰmonope e Item lineam ' in iorem minima minorem esse remotiores amsa tineae ex eadem parte maxima, vel minimae exsandi idem tamen verum etiam es, si ad
diu aspanos diastyaso. od non aliter demonstrabitin, quam idem in scholio prae euentis nos uni, de ΔΛ ἡ l neis ad dis fas paries uti sis demans ratiam Die
359쪽
THEOR. 8. PROPOS. 9.SI in circulo acceptum fuerit punctum aliquod, & ab eo puncto ad circulum cadant plures, quam duae, rectae lineae aequales ; acceptum punctum centrum est ipsius circuli.
A puncto assumpto A,in cfrculo BCD , cadant plures rectae, quam duae, A B, A C, A D, inter se aequales. Dico
A, punctum e Te centrum ci rculi. Connectantur enim
puncta B, C, D, rectis B C, C D; quibus diuisis bifariamin E, &F, ducantur ex A. rectae AE, ARQuoniam igitur latera AE,EB, trianguli j l A E B, aequalia sunt lateribus A E , E C ,
nuntur etia ni quales; erut anguli AEB, AEC, aequales, ideoque recti. Eodem modo ostendemus, angulos ad F,esse rectos . Quare cum re
ctae A E. A F, dividant tectas B C, C D, bifariam, & ad
angulos rectos,transibit utraque producta per centrum circuit,per corollarium propos. 1.huius lib. Dunctum igi tur A, jn quo se mutuo secant, centrum erit circuli. Si enim esset aliud punctum centrum, non transiret Vir que per centrum . Si itaque in circulo acceptum fuerit punctum,&c Quod demonstrandum erat a ALITER. Si punctum A,non est centrum circuli, b sit centrum inuentum Et ex quo per A, -- agatur diameter F G . Quoniam igitur B in di ametro F G, praeter centrum acceptum est punctum A, a quo in circumse- . , urentiam cadimi rectae AD,AC; erit re cta A D, quae propinquior est lectet A G. per Centrum E, ductae maioriquam recta L C , remotior ab A G. quod est absurdum . Positae sunt enim aequales rectae A D, A C . Idem absurdum sequetur,si aliud pu ctum praeter A, centrum ponatur a
360쪽
Qy O D si quando recta per centrum E, & punctum
A, ducta coincidat cum una trium aequalium datarum , ut si dicantur aequales tres AB, AF,AC, ubi EA, coincidit cum A F; erit A F, omnium a puncto A,cadentium minima, atque adeo minor, quam AB,& A C. quod est absurdum.Ponitur enim utrique aequalis .
bus, quam duobus, pundiis non secat.
SE C E T enim si sexi potest, csrculus A B C D E F, s circulum A G B D H E, in pluribus, quam duobus, punctis A, B, & D , quae H i styra e tum antur rectis AB, BDt quibus h bi l iEJὴ furiam diuisis in I,&Κ,ς educantur eXI,&Κ, ad A B, & BD , perpendiculari res I L ἡ Κ L . Quoniam igitur rectae IL, KL , secantrectas AB,BD, in circulo AGBDHE ,
bifariam , ad angulos rectos; transibit utraque,eae corollario propos. i. huius lib.per centrum ipsus . Quare punctum L,in quo se dilaidunt, crit centrum dicti circuli. Eodem modo demonstrabimus, punctum L. et e centrum circuli A B C D E F. Duo igitur circuli se mutuo secantes idem possident centrum , d quod est absurdo Circulus ergo circulum in pluribus, quam ducibus,punctis non sicat Quod erat demonstrandum.
ALITER. Secent se ijdem duo circuli, s seri potest,in tribus punctis A, B, & D. Inuentum autem si I, G centru circuli ACBDHE, a quo addicta tria puncta ducantur rectae IA,I B, Ι D, per desn.circuli squales erunt in te se . Quoniam igitur intra circulum 11 ABCDEF, assumptum est punctum I, a quo cadunt in circumferentiam plures, quam duae, rectae aequales , s erit I, centrum circuli ABCDEF. Erat