장음표시 사용
362쪽
quoque G C maior, quam G E, pars quam totum, quod est absurdum. Idem absurdum sequetur, si centrum maioris circuli extra minorem ponatur. Non ergo recta F G, extensa virumque circulum secabit, sed in contactum A. cadet. Quare si duo circuli se se intus continiagant,&c. Quod erat demonstrandum.
THEOR. 11. PROPOS. 12SI duo circuli sese exterius contingant, linea recta, quae ad centra eorum adiungitur, per contactum transibit. THEOR. 12. PROPOS. I S.
CIR C V L V S circulum non tangit in pluribus punctis, quam uno, siue in
363쪽
4 ANGANT sese cireuli ABCD, AECF , intus. si fieri potest, in pluribus punctis, quam uno, A,& C: Aia
sumantur autem centra horum circulorum G, H, 'quae diuersa erunt; per quae recta G H, in utramque partem extendatur,quam neces1e est b cadere in contactus A , &C. Itaque cum G. st cen- It ru,& recta AGH C. diameter, diuidet A G Η C, is bifariam in puncto G. Simili ratione diuidetur eadem AC, bifariam in DII ouod est absurdum . Vna enim recta in uno duritaxat puncto diuiditur bifariam. Si namque G C, est dimidiut lius A C, erit necessario II C, dimidio minor, cum stpars dimidij G C. QV OD si quis dicat rectam GH. extensam ad par
tes quidem G, cadere in contactum A ; At vero ad partes H, minime pertinere ad contactum C, sed secare utrumque circulum iri I, & K , ut in secunda fgura per spicuum est: Dicere enim quis posset, in praecedenti propos.ostensum esse, rectam per duo centra circulorum se 1e intus tangentium ductam cadere in unum duntaxat contactum,non autem in alterum,quod tamen nemo recte a firmare poterit , cum demonstratio praecedentis
propocutrique contactui conueniat. Sed quicquid dicat aliquis, stendemus absurdum illud esse. ducendae erunt ex centris G, H. ad contactum C,rectae G C,HC. Pona
tur igitur primo G, centrum circuli A B C D; & H,centrum circuli A E C F. Et quia in triangulo G H C, duo latera GH, HC,ς maiora sunt latere G C ; Sunt autem
rectae G H, H C, aequales ipsi GK: quod FIC, ΗΚ, excentro H,snt aequales,& GH, communis ) & recta GC, rectae GI; quod sint ex G , centro9 erit quoque recta G Κ, maior quam GI, pars quam totum . quod est absurdum . Ponatur secundo G, centrum circuli AECF;&H,centrum circuli ABCD. Quoniam igitur rectae H G, G C, d maiores sunt recta HC ; Est autem H C, aequalis rectae HA; cum utraque ducta sit ex centro II, 9 erunt quoque HG, GC, maiores recta H A . Quare dempta
364쪽
communi H erit G malo quana G A . quod est ata surdum,cum utraoue ex centro G, ducatur. Non igitur circuli intus se tangent in pluribus punctis. quam uno. TANGANT se iam circuli AB,CB, exterius in pluribus punctis,quam uno prope F. Ducatur ex D, Cen- A tro circuli A B,ad Ε,centrum circo H C li C B , recta D F, a quae per conta- 'I 2.rer . I ctum F, necessario trahsibit . Si igi-
tur etiam in alio pulicto praeter F, se
tangunt; tangant sese iii B. Ductis igib , -- stur rectis DB,EB, erunt rectae DB, EB, aequales rectis D F. E F, hoe est ipsi DEth sunt autem & maiores.quod est absurdum Non ergo se tangent circuli exterius in pluribus punctis,quam uno. ALITER. Si circuli A B, C B, exterius se tangant in duobus punctis B,& F;ducta recta B F , cadet ipla in
tra unum circulorum , per a. propos huius tertii lib. &ideo extra alium, quod est contra eandem propos. Qua re circulus circulum non tangit,&c. CmId eras demonia strandum .
AI recte considereust Euclidis demon arto, a Do ui circuliam a circulo intus non posse tangi in ptaribus p cyis,quam uno, etiderm ea poesis um concludere, circusimi non posse tangi a circulo in duo a , vel prurisus tinctas, qua Ango interNHIs a se ius deant, non autem eundem conractum plinastincta habere nonposse amuis fatige hoe ipsum eodem argumento fere demons an possit. are ψ smis ex parte con mattim relinquatur, tir tam non posse tangere ciretium in pluribus punctis , quam uno 3 os demtis bremum ἀin mna eodem tonsacta non. sse esse plura puncita, quam ω m. Tangat enim circulus ABC, cis tam AB D; pH- A; Oper eorum centra Ei ossi, qua diuersa sint , retia ducat V E F, d qua ad conrn tam perueniet necessapio , t adstinetam A . Dico igitur, O . irmus sese dumtaxat tangere inpuncro A Si.nse tangant in alio etia puncto, is in E a viti. tris ex B, - corra E, Θ F, rectis E a , B F, rerum recta ER
365쪽
qtiod GF absurdum, ctim FB, FA, cadant ecores s , ad circumferensiam , iueoqtie eae ei cuti des Diatis exisset. In sola eta puncto A , se mutuo tangent eis si ABG, AED, ct non in alis. N O HI Sidetur etiam ominendiam soc loco sequens Aeorema, mirilites.
SI in semidiametro circuli prodicta pura
ecum ultra centrum sumatur, circulus ex eo puncto, ut centro , per extremum semidiam e tri puta in descriptius tanget priorem circulum in dicto puriecto extremo semidiametri, t tuS que extra eundem cadet .
tangere. Atit enim stingitum E, est intra circulum ABC, iam extra. Si intra, quoniam A E, major es, quam AD, hoc est,quam DC, soc es , a fortiori, quam EC; diris quoque EF, qua ipsis E, aqualis es, maior quam E C r ae proinde punctum F. extra circulum AEC, exi set, cis lusis AF exrea eundem eis tam ABC, prope punctum F, exser . Mtillo magis punsum F, extra carm- tam ABC, carie, si E, extra etinim circulum AR C, exia set Si igi=ν cis itis A F, non torus extra circuliam ABC, Odat, ita τι etim in solo puncro A , tangat; secet, mel tangas
366쪽
martir citra tentrem , circulas ex es puncto,ut centro, per ex
tremum semrdaiametripunctam de iptus tanget Doque priorem circulum in dicto ptincto extremo femidiametri, rasas 1ntra eundem cadet. Ut insem diamuro A E, cis,gi AF, se marinstinctam D ex qtio ad inre=uaitam D A, circulus destribatur AEC. cadet Ue fortis intra Etam,tanget se eum insto ptine rue A. Cum enim osensim proxime si, cis tam A F, cadere to tim ex ra circulam A IC. cadit marissim to in Ase intra Etam , ita is se mutuo in soci paneio A , con
THEOR. 13. PROPOS. Iq. IN circulo aequales reme Iineae aequaliter distant a centro. Et quae aequalit rdistant a centro, aequales sunt inter se .
SINT in eirculo ABC D,cuius centrum E,duce rectae aequales AB,CD. Dico ipsas aequaliter distare a centro L. Du cantur enim ex E, contro ad rectas A B. C D, duae perpendiculares Ε F . EGeoniungantur rectae E A, ED. 5 Secabunt rectar
367쪽
rectae EF, EG, rectas AB, CD, bifariam .Quare cum totae AB,CD, aequales ponantur, erunt Sc dimidia earum, rectae videlicet AF,DG,s qualia. Quoniam igitur quadra ta rectarum EA,ED, aequalium , inter se sunt aequalia 3 Quadratum autem rectae EA, aequale est quadratis rectarum A F , F E ; & quadratum rectae E D, quadratis rectarum D G , G E : Erunt quoque quadrata rectarum AF,FE,aequalia quadratis rectarum D G, G E . Ablatis
ergo quadratis aequalibus aequalium rectarum AF, DG, remanebunt quadrata rectarum FE,GE, aequalia, ideoq;& rectae E F, EG, aequales erunt. Distant igitur per d. desin huiuς lib.rectae A B, C D , aequaliter centro E . RURSUS distent rectae A B, C D, aequalite r a centro E.Dico eas inter se esse aequales.Ducantur enim ite rum ex centro E,ad AB,CD,perpendiculares E F, E G, quae per q. desin. huius lib aequale erunt ; i, diuidentque rectas A B, C D. bifariam.Ductis igitur rectis E A, ED, erunt earum quadrata equalia:Est autem quadratum re ctae E A, ς aequale quadratis rectarum A F, F E & qua dratum rectae E D,aequale quadratis rectarum DG, GE Igitur 3e quadrata rectarum A F, F E. aequalia sunt quadratis rectarum D G , G E ; ideoque ablatis aequalibus
quadratis aequalium rectarum EF,ΕG, remanebunt quadrata rectarum AF,DG. aequalia; atque adeo rectae A F, D G, ac propterea earum duplae AB,CD. aequales quo que erunt. Itaque in circulo aequales rectae lineae aequaliter distant a centro, &c. Quod erat demonstrandum.
THEOR. 1 . PROPOS. I S.IN circulo maxima quidem linea est
diameter ; aliarum autem propinquior centro,remotiore semper maior.
IN cireulo A B C D E s, cuius centrum G, diameter sit A F ; & recta ei propinquior H I, remotior autem C D.Dico omnium esse maximam A F; & HI, maiorem.
368쪽
tro 1 tar G Κ, G L, perpendiculares
ad CD, HI. Et cuia remotior est CD, a centro, quam HI, erit G Κ . maior quam GL, per η.deian. huius lib. Abia scindatur ex GK,recta GM; ipsi GL, aequalis, atq, per M, educatur B ME, perpendicularis ad G Κ,& connectantur rectae G B,GC, CD,GE. Quoniam igitur rectae perpendiculares GM, L, ae uales sunt, arqualiter distabunt rectae B E, HI, at centro, per K.dcfan. huius lib. μ& ideo inter se aequales erunt. Rursus quia rectae G B, G E ,h maiores quidem sunt recta B E, aequat s autem diametro A F;erit & diameter A F, maior, quam B E. Eadem rationc ostendeturA F, maior omnibus alijs lineis.Dcinde quia latera GB,
G E, trianguli B G E, aequalia sunt lateribus G C, QD, t ian uti C GD; & angulus B G E , maior est angulo
C GD erit rccia B E, maior quam CD; atque adeo HI , quae aequalis osten1a fuit ipli B E, maior quoque erit quam CD. In circulo i itur maxima quidem linea est diameter. c. Quod crat demonstrandum .s C N O L I V M. g D EM fere modo demons rati ur theorema, ab Cno, eddams cirrumferentia puncto urima tinea cadans. C A D A N T enim a punc7s A lmes feneia A B, A C,
que retia A E,EC, aquatis rectis A E , E D , hoc eis; recta A D mlaior eris A D, quam A C . Eademqtie ratione maior eris, quam A B 3 9sic de caeteris. Maxima ergo omni m
369쪽
i erit basi, A C , maior base A R . Eodemque atatimento erit A C , maior quacunque alia linea, Da a centro remolior es. ET E RV M se hie desa fant m Quatis linea duci possunt a punEyo A , ad vera sitie partes maxima A D . Si namque anguis AE C, aquatis sat angulus A E F, iungaturque recta A Fs cum latera A E, E C, aquatia sint lare- risus A E, E F, se anguli contenti quoque A E C. A E F, quatis h e me fiases A C, A F, aequales . Neque vero VLIn alia his duabm aDatis potes exhiberi. Quacunque enam ducastir ex A, pra AC, ea minor eris quam AC s vero infra A C, ea maior erit, τι iam demonstratrum es. RVO D s A B, AF, ad ditiissas partes diametri AD, cta sim, dicatur A F, propin ior centro, quam A B, imons situr,it i Motis propos Mim tis. A F , maiorem esse, quam A R. Si namque, ut proxime o tensum fuit, ducatur ipsi A F, aquatis A C, ex altera parte, nempe fatangulo A E F, k salis innotasA E C , t yc. eades punctum C, inter B, I Di quod AF, AC , s aqualiter disent ab AD, os earum aqualitate aut certe ob aequales angulos A E F , A E C. Hinc enim si, cum A F, ponam propinquior centro, etiam A B, ut is AC, ipse AF, aqualis, propinquior sit centro, quam A B, ac proini punctam C sit inteγ B, Θ D. Cum ergo AC, maior st, Dam A L, Ut in hoc ΓMotio demonstrarum es, maior erit quoqtie AF quam A A.
THEOR. 13. PROPOS. I 6.QU AE ab extremitate diametri cuiusq; circuli ad angulos rectos ducitur, extra ipsum circulum cadet; & in locum inter ipsam rectam lineam,& peripheria
comprehensum, altera recta linea non
cadet:& semicirculi quidem angulus,
quouis angulo acuto rectilineo maior est;reliquus autem minor.
370쪽
sunt duobus rectis . Non igitur ca- dct pcrpedicularis intra circulum ;neq; cadcm ob causam in ipsam circumferentiam,sed extra , qualis est EF. Dico ia ex Α, inter AE, recta,&c circumferentiam AB, non poste cadere alteram rectam.Cadat enim,si
feri porcst, recta AG,ad quam ex D , ducatur perpendi,
cularis D H, secans circumferentiam in I. qute necessa rio ad partes anguli acuti DAG, cadet, ex Coroll. 2.pro
posci ib. I. Om igitur in triangulo DAH,ς duo angu li D H A . DAH. minores sunt duobus rectis;& DHA,
rectus est,per constructioncm . erit angulus D AH,recto minor,ideoquerccta DA, hoc est, recta illi aequalis D I, d maior erit, quam D H. pars quam totum, quod est ab surdum . Non igitur intercipietur rccta inter AE,& cir cum rentiam A B: sed quaecunque ex A . ducatur infra AF,ea secabit circulum. Dico denique angulum semicirculi, contentum diamotro A C, ct circumferentia AB,
maiorem esse omni acuto angulo rectilineo; reliquum vero angulum contingentiae , qui continetur recta A E,&circumferentia A B , minorem esse omni acuto angulo rectilineo. Quoniam enim Ostensum est, omnem rectam ex A, ductam infra perpendicularem A E, eadero intra circulum, faciet necessario ea linea cu AC, angulia recti lincum acutum minorem angulo semicirculi, at vero cuAE. angulum rectilineu acutu maiorem angulo contin
sentiae,cum ille sit pars anguli semicirculi, hic vero totatum quidpiam respectu anguli contingentiae. Id quod liquido constat, ducta recta A B ,suomodocunque ins raAE.Nam cum haec litica AB, intra cireulum cadat, ut