장음표시 사용
411쪽
e rus, ita Ut nenter antra Atitim cadas 4 D, duc arar ex N iuncto Earo ad centrum l
EX PELETARIO.LI NEAE rectae , quae circulum secet,li
412쪽
ni eam parallelam ducere, quae eundem circulum tangat.
THEOR. 16. PROPOS. Ig.s I circulum tangat recta quaepiam Iinea, a centro autem ad contactum adiungatur recta quaedam linea: quae adiuncta fuerit, ad ipsam contingentem perpendicularis erit.
RECTA linea AB,tangat in C,cireuium CD, cu- Λ c x A ius centrum E,&ex E,ad C, recta ducatur E C . Dico E C, perpend cuIarem esse ad i A B . Si enim non ess,ducatur Es,perpe E dicularis ad A B, secans circumserentiam in D Quoniam igitur in triangulo C E F, t duo anguli ECf. EFC , minores sunt duobus rectis; Et
est EFC. rectus, ex construetione:erit ECF, mitror.Qua re ς maloe erit recta EC, hoc est, ED,quam EF pars qua totum. quod est absurdum . Est igitur E C, perpendicu laristid A B Qigare si circulum tangat recta quaepiam linea,&c.Quod demonstrandum erat. A L IT E R . Si FC non est perpendicularis ad A B ersi altor angulorum ad C, obtusus & alter acutus . Sit ergo ECB, acutus,qui cum maior si: angulo semicirculi
414쪽
λ e ti ex C ducatur CE ,perpendicularis ad A8.
Dico in C E esse centrum circuli. Si enimc λ est e tra C E. sit F, contrum, a quo ad C, 1 3 j ducatur recta F C, - quae perpendicularis
emit ad AB. Quare rectus angulus F CB, recto angulo E C B, aequalis erit, pars to ii quod cst absurdum . Non igitur extra C E , cehtrum circuli existet. Itaque s circulum tetigerit recta quapiam linea, &c. Quod erat demonstrandum .
THEOR. 18. PROPOS. dio IN circulo, angulus ad centrum d mplex est anguli ad peripheriam, cum fuerit eadem peripheria basis angulorum.
IN EIrculo ABC, cuius centrum D. su er basn BC, cotistituatur angulus B D C, ad centrum ; & iuper ean- dem basiti angulus B AC, ad peripheriam. Dico angulum B D C, duplum esse angulit in B A C. Includant enim primum dum AB,
AC. duas DB, D C; & per centrum D, recta extendatur A F Quoniam igitur recte D A . D B , aequaleὴ sunt. b erunt anguli D AB, DB A, aequales : Esh autem externus angulus B D E. aequalis duobus angulis internis D AB, DB A. Quare BDE, duplus erit alterius eorum, ut anguli D A B . Eodem modo duplus ostendetur angulus CDE, anguli DA C.Quapropter totus B D C, duplus erit totius B AC. Quado n duae magnitudines duarum sunt duplae . singulae sin quiarum ; est quoque aggregatum ex ilialis aggregati ex his duplum . Constat ergo propositum . DEINDE non includant rectae A BIs AC. rectas Diue, DC, sed AB, per centrum
1 extendatur . Quoniam igitur externus stngulus B D C , aequalis est duobus inter nis DAC , DCA : Hi autem duo. inter se sunt
415쪽
sunt aequales,quod latera DA,DC. snt aequalia; erit an gulus BDC duplus alterius corum, nempe anguli BAC. Quod est propositum . TERTIO recta A B , secet rectam TD C, S per centrum D, extρndatur re- D a cta A E. Quoniam igitur angulus EDE, ad centrum,& angulus E AC ad per ipheriam , habent eandem basin E C, S rccta
A E, extenditur per centrum . erit angulus E DC, du-phis anguli E A C, ut ostensum est in secunda parte. Simili modo erit angulus FD5, duplus angula E A B; habent enim hi anguli eandem basin E B. Reliquus igitur angulus BDC, duplus erit reliqui anguli B AC. -
enim totum totius est duplum , ct ablatum ablati ;.est Sreliquum reliqui duplum . In circulo igitur angulus ad centrum duplex est,&c. Quod erat demonstrandum.
AD 'rimam partem Mius proposdem Mandlam visumptum es foe principitim. si duce magnitudines duarum magnitudinum sint duplae,singulae singularum ;erit quoque aggregatum ex illis aggregati ex his duplum ) In frita a maero parris demonstratisne hst ahtid Dineolam adhibistim e . Si totum totius es duplum ablatum ablati ; erit & reliquum reliqui duplum. Luorum etnumque ab E Hide mmu satiris iu Uratur an omni getae tiplicium, or de qtistranque magnisudinistis ibis , pios I. s Non tamen propterea dentans nos austri f. ceni mda es vitiosa. quasi assumae ea, quae non tam sint demon ata di quia se duo rua Dincipia lumine nas riati ita cognorastins in suptis magnitudinibus, me facile a quovis sne miti
416쪽
V E EV M , si plata , demonstrabimus primam partem tittis vos ne priore illo principio, se fertiam sine poseris
V secunda enim pars neutro eorum indiget hac ratione. 3 s. primi. λ Repetatur trama figura. Et quoniam tam
'li P η , DβA , inter se aquales sunt,
lim RAC. duobus anticis B, C, simulsumptis aqualis, ae proinde tres anguli BA C, B, θ C, ut sumpti dupli erant antiti BAC. Lutavero angulus B DC, qualis es iisdem tristis angulis BA C, hsa rimi. C. Nam h cum BD E, duobtis internis, B, DAB, o C D F, duo s ine nis C, Θ D A C , qualis sit, reit totus ADC, omnitus quatuor, hoc es, tristis BAC, B, C, aequalis .9 erit angulas quoque ADC, duptas ringuli BAC. quod sprustum. ς 3 a rimi. ALITER. Suoniam Eseae anguli trian urtim ABD.
417쪽
THEORIN circulo, qui in eodem segmento sunt,anguli, sunt inter se aequales.
IN circulo AB C D, cuius centrum E, existant a Gguli A, B,in segmento D ABC Dico eos esse aequales. Sit enim segmentum DABC , primum se- . rimi circulo maius ;& ducantur rectae DF, CE, ad contrum E.Quoniam igitur angu- si I litis I EC, ad centrum duplus est tam anguli DAC, quam DBC, ad peripheria. cum omnes habeant eandem basin D C; erunt anguli A & B,dimidiatae partes anguli E. v Quare inter se aequales erunt. Eademque ratione omnes ali j anguli existentes, in semento D ABC, ostendent ar esse aequales .sIT deinde segmentum A MDABC, vel semicirculus, vel semicirculo minus . Diacantur per centru E,rectae AF, BG.& in segmento minciri connectim G tur rectae D E. C E . Quoniam igitur angulus D L P, ad centi ara, ς duplus est anguli
418쪽
erunt tres anguli DEG. GEF, FECimul dupli anguli DA C. Eadem ratione crunt ijdem tres anguli dupli anguli DBC, Quare aequales erunt anauli DAC, DBC. ALITER. Q niam vi in scholio propos. praecedentis domonstrauimus , spatium ad centrum E , cuius basi; DGFC,duplum est utriusque angnli DAC,D B C, ad circumferen tiam th Eruot ipsi 4nguli DA C. DBC, inter se aequales ALI JER. socerit sese rcctae AC, B D, in F S con
nectatur recta A B. Quoniam igitur tres anguli trian guli AFD aequales sunt tribus angulis trianguli B F C quoniam tam illi,quam hi x XA quales sunt duobus rectis Siauserantur anguli AFD. C,
tam D ABCF, quam pDABC. st segmen tum maius ; iungantur quoq; rectae AF, BF.Quia igitur anguli DAB, DBF,in eodem segmento maiori DABCF, aequales sunt ό nec non & anguli FAC, PBC, in segmen to etiam maiori FD ABC, existentes 1 si hi illis addantur , set totuς angulus D A C, toti angulo DBC, tequalis . Itaque in circulo,qui in eodem segmcnto sunt. Quod erat ostendendum.
419쪽
SCHOLIUM. FACILE Porue rheorema istud comunemm hoe
SI a duobus punctis quatuor rectae lineae ducantur,ex singulis binar, qua: ad ea dem partes contineant angulos duos aequales: circulus per duo illa puncta, & alterutrum illorum angulorum descriptus,per alterum quoquo angulum transibit.
C, educantur Datuadi recta Ita
nea BA, CA, TD, CD, bina hex Autilis, consistientes ad easdem pri res duos aquatis avu- C γtis A, D . Dico eiretitam perptincta B, C, γ' an tam D, descriptum, transire quoque per Antilum A. Si enim non transit , tram is via mitra A, meleis stans rectam A B. in T. Dtitia ergo recta C E eriae 3 II tertiis anguli T, D, aquales. Cum ergo se avtitas A , avtilo D, ponatur aquatis a erunt anguli CAE, CET, aquatis, extre- intis, interetis, quod es absurdum , , Exirentis enim inter- I hic.primi. no maior es.Transit ergo circulus per A. quod estpropositum. l
circulis descriptorum anguli, qui eX aduerso, duobus rectis sunt aequales.
IN circulo,cuius centrum E , inscriptum sit quadri laterum A B C D. Dieo duos angulos cippositos ABC, C D A: Item BCD, DAB, aequales esse duobus rectis. C e Ductis
420쪽
ABCD, aequales. Similiter erut duo anguli CBD, CAD,in eode segmento CBAD,aequales .Quare duo anguli ABD, CBD,hoc est, totus angulus ABC, aequalis est duobus angulis ACD , C AD. Addito igitur communi angulo CDA. erunt duo anguli ABC CDA, aequales tribus angulis ACD. CAD, CDR Sed hi tres aequales sunt duobus rectis . Igitur & duo ABC, CDA, duobus erunt rectis aequales. Eodem modo ostendemus, angulos BCD, DAB , duobus esse rectis aequales. Nam rursuqς duo anguli ABD, ACD,sunt aequalest Item duo BCD, BDA; ac propterea totus angulus BCD, duobus angulis ABD , BDA , aequalis erit . Addito igitur communi angulo BAD ; erunt duo anguli BCD, BAD,aequales tribus angulis ABD. BDA , DAB. 6 sed hi tres sunt aequales duobus rectis. Igitur & duo BCD , DAB, duo bus rectis aequales erunt. Quadrillaterorum igitur in circulis descriptorum,&c Quod demonstrandum erat. SCHOLIUM . CONV ERS V M quoque huius theorematis demomsraripoles, soc modo.
SI in quadrilatero anguli, qui ex aduerso, duobus rectis sint aequales ; circulus , qui per tres quoscunque eius angulos describitur,tra sibit etiam per reliquum quartum angulumὶ Atque adeo circa ipsum quadrilaterum circu
ΙN quailiae is enim ABC D, ni anguli oppositi Α, Θ D, v. bas ν2ctis artiales, o per angulos A, B, C, circulus de scribatur.