장음표시 사용
421쪽
enim non. transbit mei ultra D , mel citra. cc BDAcantur ergo recta CR AR adcommota , reutram, ita mi Meeent re fas CD, D. Otis oecto, ut anguli Ε, Θ Ε, aeqtiales diasius rectis e Erant istitem is an gula B, 9 D, dtiosus rectis aquatis . Igitur δεο angula E, E, ὰθtiales sint dushusae titis B, D. Ctiocirca ablato commiana B, remanebunt anguli D, ΘΕ, aqviatis: od es ah uiatim . Ducta enim diecto AC, h erit antius D , maior angulo E , mel contra, angultis Ε, maior angula D Transit istin circu- Ius per punctum D.Ωtiod eis propositim. SATIS autem es ,semere duos tan tim an Ios o ossetos κquales duobus rectis, ut 'Aeorema hoc mertim s)t: Dias duo oppositi sint ae Hos duo ue rectat errant neces aris o ν sequi duo oppositi duostis rediis aequales s ctim omnes quatuor sent quatuor rectis aquales, ut ad propos 3 a. Lb. I. demon-,basimus E A sae etiam propos facile demons bimus theorema Ase insequens, quod sequenter vjurpari sotiet, tanquam principium , a Mathematieis 'feci ei. baro mi.
S Ι ex semicirculis, aut circulis segmenta similia detrahantur; reliqua quoque segmenta si
422쪽
aquales erunt. Cum ergo duo an A ACE,EFA, duo ου angulis G IL,LMG, aquales is a qu)dram alii, quam si duo-bm ut rectis aquatis errant quoque anguli rati tit E F A, L MG aquati, e ac proinde, ex de . ilitim segmento-H- ά QM A E, G L, κHirui in semicirculis, itis exunt. Ω,od erat ostendendum.
laridit,non utimur omittenda hoc Ioco tria rheoremata tram Geometritis resurietimpraesertim Afronomicispernecessaria, quorumprimumsithoe, quod nos ad de . Io. huius lib. de-mmiserandum recipimm : Udeticer.
A N G V LI insistentes arcubus circulorum
similibus siue ad centra, siue ad circumfere tias,stini inter se aequales. Et contra,ar S,quibus anguli aequales siue ad centra, siue ad cir cumferentias insistunt, similes fiant.
SINT in circulis ABCD EFGH, quorum centra Lx, prim m
423쪽
Abiatis igitar kquati s in G, quoqtie reliqui A , E, aquatis. Quorum di cum dupli sine anguli I, X , ς erunt hi quoque aquales. Quod es prepositim. DEINDE sint tam avtili I, K. Drim A, E, in enses arcu ου BCD, FGH, interse aequades. Dico arc- BCD,
tem ram duo anguli A, C, quam duo E, G, duosus rectis aqtiatis; erunt se retiqui C,G, aqMaias ac propterea, ex de .s- mitium figmentoriam,arcus B C D , F G Η, quibus ianguli aequatis A, E, ad circumferentim in tine, similis Si mero anguli 1, K,ad e tra ne aquales, ς erunt quo se eorum di-mEdia aequalia sol os, anguli A , T. Luare ut pretis, arcus
BCD , FGH , sim lessent. Ωuod erat osende tim. SECUNDUM autem , quod nos etiam in se ara ad finem primi cap.demons ti tis, His odi sit.
SI duo aut plures circuli ex eodem centro describantur, atque ex centro duae aut plures rectae lineae ducantur; erunt arcus inter Iascunque duas lineas intercepti, similes .
424쪽
ac proinde segmenta Ap. B C. in quibus sunt,simi-α Neta erunt, ex de . similitim
FI tegmentorum. Luod erat osemdendum . B R E V I V s se. Qtioniam ς anguli A. D, aquales sunt, auod et treiusque d duplus se angvitis G , ad centrum ; ertim per antecedens Meorema, arcus AC, EF, quibuου ad circum-
fisentias in uni, similes . Quod es prustum. TER TIV M deniqtie. Dod Miser quoque in minoripolabis ostendimus , hocst.
sΙ duo, aut plures circuli se mutuo tangant interius in uno puncto, a quo duae, aut plures rectae educantur; erunt & arcus inter quascumque duas lineas intercepti,& arcus inter quamcunque lineam , & punctum contacciis intercepti, similes. n. τANGANT se mutuo
425쪽
proinde Metis D E, BC, miles retine, ex de . segmentorum similium .ERE VIM S H. moniam angulus A, communis virique arcui DE, BC, ad circumferentim in is, erunt, ex demonseratis ante proxime antecedens Meorema,arcus D E,
A quibus Usipit , miles. Luod e sprepositum . QV I A vero , sper eircti rum centra ducta cogitemrHAR AC, - fae in contactum A,cadit , sianti eodem pacto a II. tertis. arcu DE, BC, miles,sit,ue hisce mihbus aliaris ex smiscintilissimilistis,religis arcus A D, A B, similes quos trique his astatis ex roris circumferenti=s simitibus , mdes quoque ne rei qui aretis AED, AC B, me paulo ame demons uimus. Luta es pro stum. H V C etiam referri potes hoc Mesrema.
SI unum latus quadrilateri in circulo descri
pti producatur, erit angulus externus angulo, qui angulo ei deinceps opponitur, aequalis.
THEOR. 21. PROPOS. 23. SUPER eadem recta linea, duos egmenta circulorum similia, de inaequalia,
non constituentur ad easdem partes.
426쪽
ad easdem partes duo segmenta similia , 8 inaequalia ACB, ADB. Perspicuum est au-U Id tem , quod se solum interfecerit in punctis A,&- Circulus enim circulum non secat in pluribus punctis, quam duobus . unde
peripheria unius segmenti tota erit extra peripheriam alterius. Ducatur igitur recta AD, secans circumferentias in C, & D, & connectantur rectae CB, DB. niam igitur segmenta ponuntur similia, erit per Ici. de-sn. huius lib. angulus A C B, aequalis angulo ADB,e ternus interno tb quod est absurcium. Non igitur segmenta sunt similia r Quare super eadem recta linea, &c. Quod erat demonstrandum. SCHOLIUM.A A D s M Orione, ονε aassiversaspar tes super eadem reecta linea duo segmenta circulorum similia, ct in aqualia consistientur. Nam si alteram eorum inrati gatur moueri circa lineam A B, mi iam ambo snt ad easdem paries, in idem assin tim mei emtis, ut fora indicat , quoniam alterum alteri non congrues, Ropter inaeqtialitatem.
THEOR. 22. PROPOS. 24. S VPER aequalibus rectis lineis, similia circulorum segmenta sunt inter se aequalia.
s. SUPER rectis lineis aequalibus AB , C D, constituta sint segmenta similia
A B c , .equalia . Lineae enim AB; CD, cum sint aequales, congruent inter se, si altera alteri superp natur . Dico igitur & segmotu AEB, segmento
427쪽
segmento CFD, congruere. Si enim non congruit, cadet aut extra,aut intra, aut par tim extra partim intra . Qq si extra cadat, aut intra , costituentur super eadem recta C D duo segmenta AEB , AFB,similia,S inaequalia ; quod est absurdum. - Demonstratum enim est contrarium . Quod si partiara extra ea-dat,partim intra,secabui sese in pluribus punctis, quam duobus, nimirum in A, B,G. Quod est absurdum. ι Cir culi enim non se steant in pluribus punctis , quam duo bus. Congruet igitur segmentum AEB,segmento CFD, atque adeo ipsa inter se aequalia erunt. Quocirca super aequalibus rectis lineis,&c. Quod erat demonstrandum.
NON flum in hae ostione Osreditur Ismenta simitia AEE. CFD. esse aqualia, stiper aquatis bases AB, CD; verum etiam ipse,peripseri Atio Dodove demonseratum es,sbi mutuo congruant,
sis, faciti demonstrabitur . Nimiram , segmenta cistra rum qualia super aquatis lineas, meis est eandem consimia, esse ilia . Nam nouere agotitatem, alterum alteri congruet; quare mitia erunt, cum fac ratisne omnes anguli in
eongruere segmenta, secabit necessinu mna circti erantia aLteram . Una enim extra alteram non cadet. In agnalia nam
que forent segmenta,quod est contra synthesin.Sint ergo segmenta A FR, AGB, a Mia super eataem res am A R .fecentqtie se muttio in G. Igitur cir IS A F B, A G B, secanifes inpunsis A,G. B, urilus qtiam duo s. quod es assurdum. Cipetiti enim nons inlisseant in ptaribus j octis quam duosus . Eodem modo res demonstrabimν ,s aequalia segmenta super aquales rectas i consimia snimistim H-tera alteri superponatur,
428쪽
PROBL. 3. PROPOS. 27. CIR C V LI segmento dato, de scri
bere circulum, cuius est segmentum .
s 1 et segmhntum circuli ABC, quod perficere Opor teat. Subtendatur recta AC, quae bifariam secetur in I, puncto, per quod perpendicularis ducatur D B, connectaturque AB. Angulus igitur D B A, vel maior est an gulo DAB, vel aequalis , vel minori Sit primum maior,h quod quidem continget, quando segmentum ABC. minus fuerit semicirculo: Tunc enim,uuia BD, transi per centrum, eX co έ si rollario propos. 1. huius lib. quod est extra
segmentum , cum ponatur eue minus et erit D A, maior,quam D B, cum DB, persciens diametrum,4 sit omnium minima , quae ex puncto D,in circumferen tiam cadunt. Quare angulus D B A ,h maior erit angulo D A B. fiatque angulus B AE aequalis angulo DBA, & secet recta A E, rectam B D, productam in F Dico Ε, esse centrum circuli, cuius segmentum AB C. Ducta enim recta E C , erunt latera AD; DF. trianguli ADE, sequalia lateribus CD,DF, trianguli CDE,& anguli co- venti, recti. ς Quare bases EA, EC aequales erunt; d Est autem S EA, aequalis ipsi EB,quod anguli EAB . EBA ,
aequales sint.Igitur tres lineae E A,EB, EC, aequales eruis' ac propterea E, centrum erit circuli ABC. quandoquidem ex E, plures quam duae rectar aequales cadunt in
A SIT deinde angulus DBA,angulo DAs, requalis; uod demum conti get. quan I 4 do se mentum ABC, semicirculsis suerit. A D C Tunc enim erit A C, diameter,& D,cen trum . atque adeo rectae D A , D B . aequat s ; quare i &unguli DAB,DBA, aequales erunt .) g Erunt igitur rectae D A. DB, aequales : Erat autem &DC, aequalis ipsD A quod recta AC, secta si bifariam . Quapropter cum
429쪽
tres rectae D A, D B, D C, cadant ex D,in circumferentiam η, erit D, centrum .
SIT tertio angulus DBA,angulo DAB,minor, quod
quidem eueniet, si segmentum ABC, semicirculo maius extiterit. Tunc enim, quoniam BD, transit per cens trum, ex corollario propos. I. huius lib.quod quidem in tra segmentum, cum maius esse ponatur, existit 3 s erit DB, Omnium, quae ex D,in circumserentiam 3
cadu t,maxima;maior igitur urit quam DA, Z il
c ideoq; angulus D AB. maior angulo DBA.j in
fiatque angulus BAE, aequalis angulo DBA, H P& secet recta AE. rectam B D , in E , puncto, δε
quod ostendetur esse centrum eodem modo, quo idipsum ostendinatis , quando angulus DBA, maior erat angulo DAB , ut constat, s recta ducatur E C . Circuli igitur segmento dato,descripsimus circulum, cuius est segmentum . Quod facere oportebat. s CHOLTUM. I s D sisus D Lye rimis ratio Euellas, qua per smnia fria circuli Amenta pra editur, Ita faccitis mintuetur. Di- Misa stoecta AC. bifariam in D, erecta perpendicular. D R, ct ducta AR aiae DB, minor est, quam DA. aut aequaues, a tmrire. Si minor, d erit auti ου DEA, macior angvio BAD. Consituro igituν angulo BAE, aequali ipsi A B D ; Uend/mm, ut prim, E, centrum esse, Atque hoc eniri quando segmentum est femicirctilo minis SI et epo DB, aequatis es ipsi D A; retine omnes tres. DA, D E, D C, aequales ς ac proinde D , centrum . cratis Deum haset in semicirculo. S I dena e D B, maiores, qviam DA 3 se angulus DBA , minor angulo DAB. Consiliato ergo aviaD ME. aquati ipsi AR E ,ssendetur E. esse corrum, ura prius. Noe autem maioris eis arcadit. ALIT E R id pHblema hoc modo disita/ων p eisi dem, qua pr/w, at antiti DBA. aequalis an 'tis E A B. Et sytiidem secta A E, cadis infra A C . erat flamen m micis Io mirim , ut in prima AMO . Si vero A E , cait
430쪽
re punctam I in quo coetin', erit cem rem . siti datium linea E F, G Η, per centrum transeant, ita demonstrabitur. Durantur re a A E, A F, E E , B F , quae inter se aequatis erent,os aequalitatem tire Ioram. Utio