장음표시 사용
451쪽
scriptum, cui us duo latera opposita sunt parallela, & aequalia, parallelogrammam est recta gulum,hoc est, vel quadratum, vel altera par te longius.
drilaterum ARCD, Mitis duo o ossa Ia-t a AD, BG, parauelasn inaequalia. Dico ipsim esse pinalielogrammum, is re cran tam Ctim enim rectae AD, BC a steti sint, se aqtiales, g erunt quo Me AB. D Coa steti, Daquales.Paralielogrammum ergo es A E C D . aeuia i ob O arctis A I , arcui BC , ob retam aquatis AD, EC, ct arcus AB,arctii DC, os asciatis rectas AB, DC,ὰ agis emerit totus arcus BAD, fori arcui BCD, se tortis arctis ADC, toti arctii ABC, aquatissae proinde, ductis rectis AD , AC,
453쪽
aequalis erit. Quoniam vero in quadrilatero C D E G, 4 duo anguli C D E , C G E , duobus sunt rectis tequa les h Sunt autem & duo anguli ACE, BCE, ducibus rectis aequales; si auserantur aequales anguli ACE , CGE, remanebit angulus BCE, angulo C D E , aequalis. Si circulum igitur tetigerit aliqua recta linea , a contactu autem,&c.Qu*d erat Ostendendum. SCHOLIUM. POTEST Heorema hoc conuersi hoc modo.
S I linea recta ducta ad extremitatem lineae circulum secantis fecerit cum ipsa angulos aequales ijs,qui in alternis circuli segmentis consistunt,an gulis; Linea ducta circulum tanget.
IN eadem Aura priore transeat pγimum recta C E , per centrum, secans circulum C D E, O ducatur recta A L .per C faciens angulum ACE, a atem Rutilo CGE. Dira AB, tringere circulum . Luoniam M avtitas CGE, re ius es, eritis angulus ACE, ilii aquatis recus. Quare per coro 2 propost σι huius lib. A B, circulum tanget. Iam vero C E , non transeat per centrum,continuaturo seu poserior, misi a. QNon am igitur angultis ACE alis poni r anguia CGE, in alterno segmento maiore, ' Θ hie es aequalis avtilo CFE; erit ρο angulus AC E, aquatis an CFΕ. Addito regaram ni angulo ECF, erit an 'tis ACF, aqualis Δobis angulis L FC ECF Atqtii anuli EFG, ECF, aquatis sunt ni re cyo s quoue angultis C EF, reestis sit insemicirctilo, tres anguli tu trian is CFG aquatissint duobus re Firi An
455쪽
angulo Inaequalis angulus I AB,& agatur ad IA, perpendicularis AE,quae supra A B, cadet. Reliqua omnia fiant, ut prius,descriptumque erit super AB, segmentum AKB, in quo angulus x, aequalis est angulo dato obt G H. Nam angulus I A B, hoc est,angulus datus H, ae-i 3 a. ertiq. qualis est angulo Κ, in alterno segmento A K B. Eadem enim est demonstratio. Itaque super data recta linea de scripsimus segmentum, &c. Quod efficiendum erat .
scindere capiens angulum aequalem doto angulo rectilineo.
quo auferre oporteat segmentum, in --
quo angulus existens aequalis sit dato angulo D . b Ducatur recta E F . tan- V X .ionidi istens circulum in A . Fiat deinde an ulus F A B, aequalis angulo dato D. Dico igitur angulum ACB, in segmento ablato A C B, equalem essedato angulo D. Est enim ς angulus f AB, ς se. terriθ. aequalis angulo C, in alterno segmento A CB.Cum ergo angulo dato D,sactus sit aequalis angulus FAB erit quo- ue angulus C,angulo D , sequalis . A dato ergo circulo abscidimus segmentum ACB, &o. Quod erat faciendu
THEOR. ας. ΡROPOS. 3 S. 34, Si in eirculo duae rectae Iineae sese mu
tuo sec u erin si rectan gu l um coinprehensum sub segmentis unius, aequale est ei, quod sub segmentis alterius comprehenditur,rectangulo.
456쪽
IN circulo ACBD, secent se mutuo rectae A B, C D.
. in E. Dico rectangulum comprehensum, o sub segmentis A E, E B, aequale esse rectant in gulo comprehenso sub segmentis CE, ED.
Aut enim utraque linea transit per cen
trum, aut una tantum , aut neutra. Transeat primum utraque per centrum. Quoniam igitur Omnia quatuor segmenta inter se aequalia sunt,per picuum est, rectangulum comprehensum sub duobus unius lineaexquale esse et , quod sub duobus alterius lineae comprehenditur , rectangulo , ex ijs , quae ad initium lib. 2. scripsimus . TRANSEAT deinde C D, sola per centrDm F, s. feri j idiuidatque primum rectam AB, bifar4am, ' ac prCpterea ad angulos rectos,coniungaturque recta BF.Qu niae igitur C D , diuisa est per aequalia in F , &hs., o bd i. Q per inaequalia in E ;b erit rectangulum subt ὶ CE, ED, una cum quadrato rectae EF, aequail le quadrato rectae F D, ideoque quadrato rectae F B, cum rectae FD, FB, sint aequales: N primi. D Est autem quadratum rectae F B , ς aequale
quadratis rectarum FE, fB. Igitur rectangulum sub C E, E D. una cum quadrato rectar E F , aequale quoque erit quadratis rectarum s E, E B Quare ablato communi quadrato rectae F E . remanebit rectangtilum sub CE,ED, aequale quadrat rectae E B. hoc est, rectangulo sub AE,EB; cum A E , Ε Β , rectm sint aequales r ae proinde rectangulum sub eis comprehensum, sit quadratum , ex ijs.quae ad deliri I. lib r. scripsimus. DIU IDAT iam C D, transiens per centrum re ctam AB,non bifariam. Secetur ergo AB,bisariam in G, C si ducanturque rectae F G , F B; ἡ d eritque F G, perpendicularis
y ad A B. Quoniam vero rectan H stilum sub C Ε, E D, una cum
e ,.seMA. I B quadrato rectae FE, aequale est quadrato recte FD,hoc est, quadrato rectae s B Es autem quadratum rectae FE primi. aequale quadratis rectarum FG, GE;& quadratum rectae
457쪽
rectae FB, aequale quadratis rectarum FG,GB;Erit quoque rectangulum sub CE, ED, una cum quadratis rectarum IG,GE.requale quadratis rectarum FG, GB. Dempto ergo communi quadrato rectae FG, remanebit rectangulum sub C E, E D, una cum quadrato rectae G E, aequale quadrato rectae G B . Atqui etiam rectangulum sub AE, EB, una cum quadrato rectae G E , aequale esseidem quadrato rectae GB. Igitur rectangulum sub C E, ED, una cum quadrato rectae GE, aequale est rectangulo sub AE,EB,una cum quadrato eiusdem rectae GE. Quare ablato communi quadrato rectae GE, remanebi t rectangulum sub C E, E D , aequale rectangulo sub A E , E B.quod est propositum. TERTIO neutra per centrum transeat, sue una illarum bifariam diuidatur, siue neutra. Ducatur per centrum F,&punctum sectionis G GE,recta GH Quoniam itaque ostensum est, rectangulum sub I i, AE, EB, aequale esse rectangulo Q οῦ sub GE,EH siue A B, diuidatur bifariam,sue Don: Item rectam rigulum sub C E . E D. aequale esse quoque eidem rectangulo iub GE, Est, siue C D. secta iit bisariam, siue non ;Erit rectangulum sub AE,EB. aequale rectangulo sub C H. E D . quod est propositum. Si in circulo igitur duae rectae lineae sese mutuo secent, &α Quod demonstran
SI duae rechae ita se secent, ut Prectangulum sub unius segmentis comprehensum, aequale sit ei, quod sub segmentis alterius comprehenditur , rectangulo; describi poterit per quatuor illarum puncta extrema circulust hoc est, ct
458쪽
culus per quisitiet tria puncta earum extrema descriprus, per quartum quoque punctum transibit.
SI extra circulum sumatur punctum aliquod, ab eoque in circulum cadant duae rediis lineae, quarum altera quidem circulum secet, altera vero tangat: Quod sub tota secante, & exterius inter punctum & conuexam peripheriam assumpta comprehenditur rectangulum , aequale erit ei, quod a tangente describitur, quadrato.
EXTRA circulum Ap C, punimam sumatur D. a
459쪽
quo linea ducatur D A, secans circulum in C , & linea DB,circulum tangens in B.Dico rectangulum sub DA, DC, aequale esse quadrato rectae DB. DTranseat enim primum recta D A , per
centrum Ε, &iungatur recta EB, hquae γ Z Perpendicularis erit ad D B. Quoniam igitur CA diuisadu per aequalia in E &
ei addita in rectum & continuum C D ,e erit rectangulum sub DA, DC, una cuquadrato rectae EC, laoc est , cum quadrato rectae EB, aequale quadrato rectae DE: Est autem quadratum rect
DE , d aequale quadratis rectarum EB, BD .: Quare re ctangulum sub D A, D C, una cum quadrato rectar EB, aequale erit quadratis rectarum DB, BE Ablato igi tur communi quadrato rectae BE, remanebit rectangulum sub D A D C, quadrato tectae D B , aequale. Quod
est propositum , NUN transeat iam D A , secans per eontrum Γ.Diuiti ergo A C , bifariam in f,ducantur rectae EB, EC, E, D,EF;ς eritque ΕΒ, D
diuisa est per aequalia I in F, es ei addita recta
C D . g drit recta titu sub DA , DC, una cum quadrato rectae C F, aequale quaarato recti DF. Agatho
igitur comuni qua/rato rectae FE, erit rectangulum sub DA, DC,una cum quadratis rectarum C F, F Ε, aequale uadiatis rectarum DF, FEt Est autem quadratis recta rum C F , F Ε , b aequale quadratum rectae E C, ideoque & quadratum rectae E B ; Et i quadratis rectarum D F , F E , aequale est quadratum rectae D Ε . Quare rectangulum sub DA,DC,una cum quadrato rectae EB, aequale erit quadrato rectm D E . Cum igitur quadratum rectae DE, , aequale sit quadratis rectarum DB, BF; erit &rectangulum sub DA,DC, una cum quadrato rectae E B, aequale quadratis rectarum DB, B E. Ablato ergo com
460쪽
muni madrato rectae B E , remanebit rectangulum sub DA, DC , quadrato rectae D B, aequale di quod est pr postum . Si igitur extra circulum sumatur punctum ali quod , Sc. Guod erat demonstrandum.
COROLLAR IV M. LHINC manifestum vi, si ap--
α quouis extra circulum assumpto si plurima linea recitae circulum secan- Og res ducantur, rectangula comprehen
rioribus Herse esse aequalia. Misi ex A, ducantur recitae AC, AD, A E, soccntes circulum in F, G, H, erunt rectangula sub
aequalia inter se . Gam δε M A B , tangente circulum , a eruntqγadrato rectae AB, aequalia singula illa rectangula; quare ct inter se omnia aequalia
A. C ON ST A la etiam, δε- r Παι ab eodem puncto ductis, quae cis culum tangant, inter se esse aequales . I l s Ducantur enim ex A, rectae AB, i J A C, tangentes circulum; quas diss es ea uales inter se. Ducta enim re V cta AD , qua circulum secet in E , erit tam quadratum recta A B, quam quadratumr De A C, b aequale rectangulo sub AD, .ssu re sua rata rectarum A B , AC , inter se aequalia ertant, ac ropterea recta AE , AC, aequales quo