장음표시 사용
481쪽
erigantiar perpendiculares DG, FG, coibunt La in G , centro circuli inscribendi. Eme tigratia. Sit lautis A B, Glatus AC,δ.8c Iatus BC I s.palmorti. De so latere BC, I o palmorti ex duobus lateristis A B, AC, koc egeae I palmis elinqtiuntur salmi Tam ergo A D, quam A F, duos palmsscontinebit Segmentum euo D B, continebit palmos, totidemque segmentum E F, habebis. Segmentum autem EC, ac proinde C F, erit s. palmorum. Sic etiam dempto D tere A B, c almi meae lateribus AC, BC, ides, 'pa is, religi fiunt Ia palmi. Vtrumque ergo segmentiamCE,CF, erit coalmorume ac proinde inrtimqtie A E. AT , a parmorum, Θ mirumque BD, R F, o palmorum. Pol Demadempto Iaroe A C, F. Imorem ex Iateribus A B, C B, hoc est,expalmis r emanent δ .palmi. Vtrumque ergo segmen tum B D, E F, habebit primos r Asmerumque CR CE, coaImos: vratimque A D, A E, a. palmos.
P ROBL. s. PROPOS. S.CIRCA datum triangulum circulum describere.
describendus circa datum triag N
ra AB, AC, qua in triangulo rectangulo, vel obtusa gulo sumenda sunt facilitatis gratia , circa rectum , ve Iobtusum angulum, quamuis hoc non sit Omnino necessarium, ted duo quaevis latera bifariam possint secario bifariam in D,& F,punctis,ex quibus educantur D F, E P, perpendiculares ad dicta latera , coeuntes in F. Quod enim coeant, patet . Nam si ducta esset recta DE, Ferent anguli FDE, FED, duobus rectis minores . eritque F , vel intra triangulum , vel in latere BC, vel extra tria gulum .Ducantur rectae FA,FB FC. Quoniam i itur la
tera A D, D F, trianguli A D F, aequalia sucie lateribus
482쪽
aequales. Eoctan modo erunt FA FC, aequales. Cum ergo tres rectae FA, FB, FC, sint aequales, circulus descriptus ex F, ad in teruallum F A, transibit quooue per puncta B,& C. Cir ca datum ergo triagulum circulum descripsimus . Quod erat faciendum.
HINC manis tum est,si centrum intra triam gulam ca I, V omnes angulos esse acutos quoniam omnes sunt in maiori segmento circuli: si vero sit in latere B C, ς angulum RA C, esse rectum quod sit in semicircido 1 Si denique cadat extra triangultim , ψ angulum BA C , obtusum esse, cum sit in minori segmento circuli.
C O A T R A vero perspicuum est, si triangu
lum fuerit acutangulum, centrum cadere intra triangulion sirectangulum, in latus recito angulo oppositum: si denique obtusangultim fuerit, extra triangulum . Quod quidem facile okfendetur , ducendo ad incommodum aliquod, siue absurdum. Quia si
in acutangulo caderet centrum in unum latus, esset angulus ei oppositus reditus 1 si vero extra, esset idem angulus obtusus . Item si in rectangulo centrum caderet intra, es: m omnes anguli acuti si vero extra,
esset angulas oppositus, obtusus . Denique si in triamgtilo obtusangulo caderet in unum latus , esset amotus ei oppositus, rectas: si vero intra, omnes a Wli essem acuti. Quae omnia ex priori parte huius rosi coliguntum 2 pugnant cum hypothesi.
483쪽
COLLIGITVR etiam ex hoe problemate, quanam arte describendussit circulm quipedi data triapuncta non inina recta linea existentia transeat. ἀ
gantur , ut conserimamr trian tam,
data tria piancta A, B, C Ex Α, ΘΑ, quouis intinuasio eodem duo arcus δε- scribantur se intersecantes in D, θ E, punctis, per quae recta tinea ducatur D M. Item ex Α, Θ C, quouis agis interuallo eodem, mel etiam, splace priori Ho,alij duo arcus defineentur secates sese in M, G unctis,per qua recta ducatur FΗ, scans rectam T H, in A. Dico H, esse centram circuti granseuntis per data puncta A, B, ct C. Nam ducerentur recta AB,AC,BC, diuiderenturiatera AB, AC,trianguli ABC, bifariam a rectis D M. F H, ceu demon atum es in pν axillia propositionis asib, 3.Quare is in hoc s.probtimate Fia elides Vendit , Η, erit centrum circuli circa trian iam
AEC, descripti. Quod es propositum .
PROBL. 6. PROPOS. 6. IN dato circulo quadratum descri
SI T in dato eirculo A B C D, cuius Acentrum E , inscribendum quadratum. GDucantur dum diametri AC, BD, secantes sese ad angulos rectos in centro E.& 6 iungantur rectae AB. BC, CD. DA. Dico
A B C D, esse quadratum inscriptum in dato circulo . Nam quia latera EA,EB,trianguli AEB, aequalia sum lateribus E C. E B, trianguli C E B , cum G s omnia
484쪽
A omnia sint ex centro; & anguli contenti sunt recti ;α erunt bases AB, BC, aequales. Eadem ratione aequales erunt rectar
DA, AB. Omnia igitur latera quadrilateri ABCD, aequalia inter se sunt. Quod breuius ita concludemus . Quoniam quatuor anguli ad Ε, aequales sunt, nimirum recti; verunt quatuor arcus, quibus insistunt, aequales 3ς ac proinde & rectae quatuor subtensae aequales erunt. Omnia ergo latera quadril teri ABCD, inter se aequalia sunt. Sunt autem, a &anguli recti, cum Omnes in semicirculis existant. Quare quadratum erit A B C D ; proptereaque in dato circulo quadratum descripsimus . Qi d erat faciendum.
CIRCA datum circulum quadra tum describere.
SIT circa datum circulum ABCD, . cuius centrum E,describendum quadras j tum.Ducantur duae diametri A C. B D, is 4 secantes se in Ε, centro , ad angulos re B F ctos;& per A, B, C, & D, educantur ad diametros linee perpediculares FG,FH,: γ C I H I, I G, coeuntes in punctis F,H,Ι, G. Dico FHI G, esse quadratum Circa ci culum datum descriptum.Cum enim anguli ALB, FBE, sint recti , e erunt FH, AC, parallelae ; similiterque erunt GI, AC,parallelae. Quare & F H. GI, parallelae erunt. Eodem modo parallelae erunt FG, HI. Quoniam igitur parallelograminum est A CHF, gerunt latera opposi ta AC,FH,aequalia,&anguli oppositi A C H, A F H, aequalest sed A C H. est rectus . Igitur & A F H, rectus erit. Eadem ratione ostendomus angulos H, I, G, rectos esse,& latera HI, I G, G F, aequalia esse diametris BD, AC. Quare cum diametri sint aquales, erunt de quatuor
485쪽
latera FG,FH,HI,IG aequalia, ideoque FGIIJ,qua ratum eriti cuius quidem latera circulum tangunt, per Corollarium propos. 16.lib. 3. Circa datum igitur circulum quadratum descripsimus. Quod erat e sciendum .
PROBL. 8. PROPOS. 8.I N dato quadrato circulum describere.
S I T in dato quadrato ABCD, inscri- Dbendus circulus. Diuisis Iaaeribus bisa
riam in E, F, G, H, ducantur rectae E G, Y F Η, secantes se in I. Quoniam igitur AD, Vl
BC. rectae aequales sunt parallelae erunt l& dimidiae earum AH, BF aequales, & pa- I, V Crallelae . 'Quare & A B, parallela est,& mqualis ipsi FH. Eadem ratione erit DC,parallela,& aequalis eidem FH Itemque rectae AD, BC parallelae erunt, & aequales ipsi EG. Sunt igitur parallelogramma AI IB, O, ID; ideoque rectae IE,IF,IG. IIJ, aequales erunt rectis AH EB, DH; AE: Sunt autem lis inter se aequales,cum sint semi1ses aequalium AD. AB,&c. Quare Sr rectae I E, I F, I G, Ι Η, aequales erunt , ac propterea circulus descriptus ex I,ad interuallum ΙΕ, transibit quoque per puncta F , 33 Urimi. G,Η, qui cum contingat latera AB, BC CD. DA , per coroll.proposim lib. s.' quod anguli ad E,F,G, H, sint recti, descriptus erit in quadrato AC In dato ergo quadrato circulum descripsimus. Quod officiendum erat.
CIRCA datum quadratum circulum describere.
SIT describendus circulus circa quadratum ADCD. G a a Ducantur
486쪽
Ducantur diametri A C, B D, secantes se in E . Quoniam igitur latera A B, A D , trianguli A B D, squalia sunt , erunt anguli A B D. A D B, aequales: Est autem angulus B AD. rectus. h Quare ABD, ADB,semitecti erunt. Simili ter ostendemus,reliquos omnes angulos ad A, B, C, D, esse semirectos . & idcirco inter se aequales. Cum ergo anguli EAD EDA, sint aequales ;ς erunt rectae EA, ED, aequales. Eadem ratione EA. EB aequales erunt;nec non E B, E C; Item E C, E D . Quare circulus ex E, descriptus, interuallo E A , transibit per reliqua puncta B, C , D. Circa datum ergo quadratum circulum descrips-mus . Quod erat faciendum.
RV O D s eiria datam cirratum describatur quadratum, o in eodem circulo aliud quadratum inscribatur, erit quadratum circumscriptum Dadrati inserinu Num . Luoniam enim, Iatua quadrari ci msi ipti aruale es diametro circtili , mi ex I. vos ius tib. conseat hoc es, uiametro quadrata inser tit quadratum mers diametri δε-
plum est quadrati, cuius est diameter, ut ad M. propin lib. I. Uendimus: Constat propositum .
PROBL. io. PROPOS. I C. ISO SCELES triangulum constituere; quod habeat utrumque Corum,
qui ad basin sunt, angulorum, duplum reliqui.
s Q. SUMAT VR quaeuis recta linea AB,quae a diuidatur in C, ita ut rectangulum sub AB. BC, aequale sit quadrato rectae AC. Deinde centro A, interuallo vero AB, circulua
487쪽
es a rimi. t s. primi. g c. primi. h s. primi., s. ἰαί. 3aori .eirculus describatur, in quo a acco-modetur recta BD,equalis ipsi AC, iungaturque recta A D . Goniam autem rectae AB. AD,s quales sunt, erit triangulum A B D. Isosceles. Dico viruinque angulorum A B D, A D B. duplum cite reliqui anguli A. Ducta enim recta C D, o dei cribatur circa triangulum A C D, circulus D C A. Qi1 niam igitur rectangulum sub A B , B C , aequale est quadrato rectae B tarde recta AB, secat circulum DCA:- tanget recta B D, eundem circulum DCA, in D. Quare a gulus BDC, ὸ aequalis est angulo A, in alterno segmento C A D. Addito agitur communi CDA,erit totus an
fulus A D B, aequalis duobus angulis CAD, CDA Sed
is eisdem aequalis est etiam angulus externus B C D. Angulus ergo BCD, aequalis erit angulo ADB, hoc est, angulo A B D, i cum A B D, A D B , aequales sint i ac propterea g rectε CD, BD aequales erunt1Est autem BD, aequalis posta rectae A C. Igitur & C D, ipsi CA, aequalis erit ; ac propterea anguli CAD, C D A, aequales . Angulus igitur ADB. qui aequalis ostensus est duobus anguli; CAD, CDA, duplus erit alterius eorum , anguli nimirum A. Quare & angulus A B D , duplus erit eius dem anguli A. Isosceles ergo triangulum constituimus , habens, Sc. Quod erat efficiendum .
QV O N IA A ero tres angiali trianguli A B D , i aequalis tant duobus re is , hoc es, quin
488쪽
S I recta linea secetur, ut propos II. lib. 2.traditum est; Isosceles triangulum , cuius basis maiori segmento aequalis est, utrumuis vero laterum aequalium ipsi datae lineae aequale, habet utrumlibet angulorum aequalium ad basim, duplum reIi qui .
489쪽
Dico pentagonum ABCD E, in Λcirculo dato inscriptu,esse qui--7
laterum , & aequiangulum . Cum Σύ I x nil enim uterque angulorum A CD. R s ADC, duplus sit anguli C A D, x& diuisus bifariam ue erunt qui i. 1
DCE,ECA,aequales . 3 Quare arcus AB, BC, CD, DE, Eli, super quos ascenderunt, atque idcirco , b & rectae AB, BC, CD,DE, EA, aequales erunt. Aequilaterum est igitur pentagonum ABCDE . Rursus quia arcus A B , E D, aequales sunt; addito communi BCD , sent aequa les ABCD, FDCB. . Anguli ergo AED, BAE,dictis arcubus insistentes aequales erunt. Eodem modo aequales erunt cuilibet horum angulorum reliqui anguli. Insistunt enim aequalibus arcubus . Aequiangulum est ergo Untagonum ABCDE . Quare cum & aequilaterum esse 11t ostensum, inscriptum erit in dato circulo pensagonuaequilaterum,S aequiangulum: uvd iaciendum erat.
S E si T VR hiae, angulum pentagoni aequia
laeeri , ct aequianguli com plecti tres quintis partes Asram recti m vel sex quintis umin Vedii. ς Cum .
enim tres anguli BAC , C A D, D A E, aequales sint, it te qai aequalisus arrabis A C, C D , D E, Hiant; sit autem C AD, per coror. pracedentis
propos. quinta pars Horum rectir m, vel duae quintae Unitis recti; erit testis B A T, tres qnistκ duorum rectorum: tel sex quinta unius recti .s C N O L I V M. mr O D s defudi recta linea reseminata CD , μαεν ea
490쪽
3 a. Dimi . s. quarii. Λ constituantur anguli AC D ADC, H aequales angulis G, 'coeant recta
F A CIL T V s idem osHὰmus sae ratione . sesa recta proposita A B , supra quam pentagonum aquilateram ct aquisviatim consituen
D A ς B T aquatis. In ἡ ΛΓo deinde data recta AB, ex A, D, duo a=ctis describantuγ secantes sese in F.Item ex B,E,eodem interuallo alij duos inter fetantes in G. Denique ex F, G, eodem intertialio an= duo se doti dentes in N, eon ungamur recte AF, FH, ΗG. GA. Dico pentagonum AEGBF,Aper datam rectam AB,des Uriam esse aquilarinum,ar e a iangulum Quod enim se a Milateram, consar eae eonfractione, eum omnes uendia ipse A E , sumpta sint aquales, oc es, omnes arctis descripti sint ad inre alitim A S. Duod autem sit Θ aquian tam, ita offendetur. D ccta recta DF, eris ADF, Issetis,quisti as Euclide propos. 1 o.
confriaritim est, me refustio Φ, Eem pdispin manifestum est, propterea quod fasis AD, aetiistis es maiori segmento A C.